Hình tam giác đều

Trong lĩnh vực hình học, tam giác đều là một hình tam giác với ba cạnh có độ dài bằng nhau và ba góc bằng nhau, mỗi góc là 60°. Đây là một loại đa giác đều với ba cạnh.

Các đặc điểm

Giả sử độ dài của ba cạnh của tam giác đều là $a$, có thể dùng định lý Pytago để chứng minh.

• Diện tích: $A=a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$
• Chu vi: $p=3a$
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=a\frac{\sqrt{3}}{3}$
• Bán kính đường tròn nội tiếp $r=a\frac{\sqrt{3}}{6}$
• Trọng tâm của tam giác đều cũng đồng thời là trực tâm và tâm của cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
• Chiều cao của tam giác đều $h=a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, ta có:

$3(p^4+q^{}$

4 + t 4 + a 4 ) = ( p 2 + q 2 + t 2 + a 2 ) 2 {\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}} .

Với một điểm P bất kỳ nằm trong tam giác, khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh của tam giác là d, e, và f, thì tổng d+e+f chính là chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

Khi điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác, các khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác lần lượt là p, q, và t, thì

$4(p^2+q^2+t^2)=5a^2$

và

$16(p^4+q^4+t^4)=11a^4$.

Khi điểm P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với các khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, ta có:

$p=q+t$

và

$q^2+qt+t^2=a^2;$

Thêm vào đó, nếu D là điểm giao nhau của BC và PA, với DA có độ dài z và PD có độ dài y, thì

$z=\frac{t^2+tq+q^2}{t+q},$

và cũng có thể tính bằng $\frac{t^3-<!--\; -\; -->q^3}{t^2-<!--\; -\; -->q^2}$ nếu t ≠ q; và

$\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y}.$

Những dấu hiệu nhận diện

• Tam giác có ba cạnh đều nhau là tam giác đều.
• Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác cân với một góc bằng 60° là tam giác đều.
• Tam giác có hai góc bằng 60 độ là tam giác đều.
• Tam giác có ba đường cao bằng nhau, hoặc ba đường phân giác bằng nhau, hoặc ba đường trung tuyến bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác có hai trong bốn điểm đồng quy (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp) trùng nhau là tam giác đều.

• Những kiến thức lượng giác cơ bản
• Định lý Viviani
• Công thức Heron

Các liên kết bên ngoài

• Weisstein, Eric W., 'Tam Giác Đều', MathWorld.