Buzz
1. Định nghĩa về hình thang
Trong hình học Euclid, hình thang là một tứ giác với hai cạnh đối song song.
Hai cạnh song song này được gọi là đáy của hình thang, trong khi hai cạnh còn lại được gọi là cạnh bên.
Hình thang với một cạnh bên vuông góc so với hai đáy được gọi là hình thang vuông.
2. Đặc điểm của hình thang
- Đặc điểm về góc
Hai góc kề cạnh bên trong hình thang có tổng là 180 độ (Hai góc nằm trong cùng một phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy).
Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy là bằng nhau.
- Đặc điểm về cạnh
- Trong một hình thang, nếu hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên cũng sẽ song song và có độ dài bằng nhau.
- Nếu hai cạnh bên của hình thang song song, thì hai cạnh đáy cũng bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau.
- Ở hình thang cân, các đường chéo đều có chiều dài bằng nhau.
- Đường trung bình: là đoạn nối hai điểm giữa của hai cạnh bên trong hình thang
Đường trung bình của hình thang có chiều dài bằng tổng của hai cạnh đáy.
3. Các loại hình thang đặc biệt
- Hình thang vuông là hình thang có một góc là góc vuông.
- Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên kề của một đáy bằng nhau.
- Hình bình hành là hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau và hai cạnh bên song song cũng bằng nhau.
- Hình chữ nhật là hình thang vừa có góc vuông vừa có hai cạnh bên bằng nhau.
4. Tính diện tích của hình thang
Diện tích của hình thang được tính bằng nửa tích của tổng hai cạnh đáy nhân với chiều cao.
S = (a + b) x h / 2
Diện tích hình thang cũng có thể tính bằng cách nhân đường trung bình với chiều cao.
S = (a + b) / 2 x h
5. Tính chu vi của hình thang
Chu vi của hình thang là tổng của độ dài hai cạnh đáy cộng với độ dài hai cạnh bên (tức là tổng của tất cả các cạnh).
P = a + b + c + d
6. Bài tập thực hành về hình thang
* Phân loại bài tập
Dạng 1: Tính toán góc
Cách giải: Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song và tổng của bốn góc trong một tứ giác, kết hợp với kiến thức về hình thang, hình thang cân và hình thang vuông.
Câu 1. Xét hình thang ABCD với AB // CD, biết góc A = 3 lần góc D, và góc B - góc C = 30 độ. Tính số đo của các góc trong hình thang.
Câu 2. Xét hình thang cân ABCD với AB // CD và góc A = 2 lần góc D. Tính các góc của hình thang.
Dạng 2. Chứng minh các loại hình thang: hình thang, hình thang cân, hình thang vuông
Cách giải: Áp dụng định nghĩa và tính chất của hình thang, hình thang cân và hình thang vuông.
Câu 1. Cho tam giác ABC cân tại A với BD và CE là hai đường trung tuyến. Chứng minh rằng BCDE là hình thang cân.
Câu 2. Xét tam giác ABC vuông cân tại A và vẽ tam giác ACD vuông cân tại D ra ngoài. Xác định hình dạng của tứ giác ABCD và giải thích.
Dạng 3. Sử dụng các tính chất của hình thang, hình thang cân và hình thang vuông để giải quyết bài toán.
Cách giải: Sử dụng các tính chất về cạnh và góc của hình thang và hình thang vuông để chứng minh bài toán.
Câu 1. Xét hình thang vuông ABCD với góc A = góc D = 90 độ, AB = CD, DC = 2 AB và BE vuông góc với CD tại E.
a) Chứng minh rằng tam giác ABD bằng tam giác EDB.
b) Chứng minh rằng tam giác BEC là tam giác vuông cân tại E.
Câu 2. Xét hình thang cân ABCD với AB // CD và AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC, và F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Tam giác AGB là tam giác cân với đỉnh cân tại G
b) Các tam giác ABD và BAC là bằng nhau
c) FC = FD
* Bài tập ứng dụng
Câu 1. Xét hình thang ABCD với AB // CD và CD = AD + BC. Gọi K là điểm trên đáy CD sao cho KD = AD. Chứng minh rằng:
a) AK là tia phân giác của góc A
b) KC = BC
Câu 2. Xét tam giác ABC vuông cân tại A với AB = 4 cm. Vẽ tam giác ACD vuông cân tại D ra ngoài. Tính diện tích của tứ giác ABCD.
Câu 3. Xét hình thang cân ABCD với đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc BCD.
Câu 4. Xét hình thang ABCD với AB // CD, trong đó E và F lần lượt là trung điểm của hai đáy AB và CD. Chứng minh rằng EF vuông góc với AB.
Câu 5. Cho hình thang ABCD với góc vuông tại A và D. Biết AB = AD = 3 cm, CD = 6 cm. Tính góc B và góc C.
Câu 6. Trong hình thang ABCD với AB // CD, hai đường phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại điểm I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng độ dài của hai cạnh bên bằng độ dài của đáy AB.
Câu 7. Xét hình thang cân ABCD với đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.
Câu 8. Trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A, đường cao AH. Trên BC, chọn điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng qua M song song với CA cắt AB tại I.
a) Tứ giác ACMI là hình gì?
b) AB + AC < AH + BC
Câu 9. Xét tam giác vuông tại A với kẻ đường cao AH. Từ H, vẽ các đoạn HD vuông góc với AC và HE vuông góc với AB. Đặt M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC. Chứng minh rằng tứ giác DEMN là hình thang vuông.
Câu 10. Xét hình thang ABCD với AB // CD. Hai đường phân giác của góc A và góc B giao nhau tại điểm K trên đáy CD. Chứng minh rằng AD + BC = DC.
Câu 11. Xét tứ giác ABCD vuông tại A và D, với AD = 20, AC = 52 và BC = 29. Tính chiều dài của AB.
Câu 12. Xét tứ giác ABCD, trong đó các tia phân giác của góc A và góc D giao nhau tại M, và các tia phân giác của góc B và góc C giao nhau tại N. Biết rằng góc AMD bằng 90 độ. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là một hình thang.
b) NB vuông góc với NC.
Câu 12. Trong một hình thang vuông, chứng minh rằng hiệu bình phương của hai đường chéo bằng hiệu bình phương của hai đáy.
Câu 13. Trong hình thang ABCD vuông tại A và D, M là trung điểm của AD và MB vuông góc với MC.
a) Chứng minh rằng BC = AB + CD.
b) Vẽ MH vuông góc với BC và chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.
Câu 14. Trong tam giác ABC cân tại A, với các phân giác BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh rằng tứ giác BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Câu 15. Trong tam giác vuông tại A với đường cao AH, chọn điểm M trên BC sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I.
a) Tứ giác ACMI thuộc loại hình gì?
b) Chứng minh rằng AB + AC < AH + BC.
Câu 16. Xét tam giác ABC, với các phân giác của góc B và góc C giao nhau tại I. Vẽ đường thẳng qua I song song với BC, cắt AB tại D và AC tại E.
a) Vẽ hình và xác định các hình thang xuất hiện trong hình vẽ.
b) Chứng minh rằng tứ giác BCED là hình thang có một đáy bằng tổng hai cạnh bên.
Câu 17. Trong tam giác ABC với BC = 4 cm, các trung tuyến BD và CE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Xác định giao điểm của MN với CE là P và Q.
a) Tính độ dài của đoạn MN.
b) Chứng minh rằng MP = PQ = QN.
Câu 18. Trong tam giác cân ABC tại A, với D và E lần lượt thuộc AB và AC sao cho AD = AE.
a) Tứ giác BDEC thuộc loại hình gì? Giải thích.
b) Tính các góc của hình thang BEDC, biết rằng góc A bằng 70 độ.
c) Xác định vị trí của D và E sao cho BD = DE = EC.
Câu 19. Xét hình thang cân ABCD với AB // CD, và E là điểm giao nhau của hai đường chéo. Hãy chứng minh rằng EA = EB và EC = ED.
Câu 20. Trong tam giác cân ABC với đỉnh A, trên các cạnh bên AB, ta có các điểm D và E sao cho AD = AE.
a) Hãy chứng minh rằng tứ giác BDEC là hình thang cân.
b) Tính các góc của hình thang cân BDEC, biết rằng góc A là 50 độ.
Trên đây là toàn bộ nội dung bài viết của Mytour về hình thang. Chúng tôi hy vọng bài viết đã mang lại thông tin hữu ích cho bạn đọc. Xin cảm ơn và trân trọng.
