Hình tròn đơn vị

Trong toán học, hình tròn đơn vị hoặc vòng tròn đơn vị là hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị. Thường được sử dụng trong lượng giác, vòng tròn đơn vị là hình tròn với bán kính 1 và tâm tại gốc tọa độ (0,0) trong mặt phẳng 2 chiều. Ký hiệu thường thấy là S.

Công thức xác định hình tròn đơn vị

Có nhiều phương pháp để định nghĩa hình tròn đơn vị.

Trên mặt phẳng R, hình tròn đơn vị có thể được mô tả bằng các phương trình sau:

$x^2+y^2=1$

$\Vert <!--\; \Vert \; -->r\Vert <!--\; \Vert \; -->=1$

V.v...

Trên mặt phẳng phức C, hình tròn đơn vị có thể được biểu diễn bằng phương trình sau:

$|z|=1$

Vùng đơn vị

Vùng đơn vị là phần bên trong (tức là chứa gốc tọa độ) của hình tròn đơn vị. Nói cách khác, trên mặt phẳng thực:

$x^2+y^2\le <!--\; \le \; -->1$

$\Vert <!--\; \Vert \; -->r\Vert <!--\; \Vert \; -->\le <!--\; \le \; -->1$

$\{\begin{array}{c}|x|\le <!--\; \le \; -->|cos\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)|\\ |y|\le <!--\; \le \; -->|sin\end{array}$

( θ ) | {displaystyle {egin{cases}|x|leq |cos( heta )|\|y|leq |sin( heta )|end{cases}}}

V.v.

Trên mặt phẳng số phức C:

$|z|\le <!--\; \le \; -->1$

Đường tròn đơn vị trong lượng giác

Đường tròn đơn vị đóng vai trò quan trọng trong lượng giác vì từ đó có thể tính toán tất cả các hàm lượng giác.

Nếu A là một điểm trên đường tròn đơn vị, thì $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$ là góc giữa trục $x$ và đường OA (như trong hình), thì:

$cos\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$ = giá trị của điểm A trên trục $x$, tương ứng với đoạn OC trong hình.

$sin\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$ = giá trị của điểm A trên trục $y$, tương ứng với đoạn AC trong hình.

$tan\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$ = độ dài đường tiếp tuyến từ A đến trục $x$, tương ứng với đoạn AE trong hình.

$cot\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$ = độ dài đường tiếp tuyến từ A đến trục $y$, tương ứng với đoạn AF trong hình.

$sec\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$ (secant) = chiều dài từ tâm theo trục $x$ đến đường tiếp tuyến, tương ứng với đoạn OE trong hình.

$csc\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$ (cosecant) = chiều dài từ tâm theo trục $y$ đến đường tiếp tuyến, tương ứng với đoạn OF trong hình.

Có hai hàm lượng giác ít phổ biến nhưng dễ nhận thấy trong đường tròn đơn vị là $\text{versin}$ và $\text{coversin}$.

Hàm $\text{versin}$ của góc $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$ là giá trị đoạn thẳng từ điểm A đến đường tròn, trên trục $x$, tương ứng với đoạn AE trong hình. Vì vậy:

Hàm $\text{coversin}$, còn gọi là coversed sine, trên trục $y$: Đoạn từ điểm $sin\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$ đến hết đoạn bán kính.

Hai hàm này có ứng dụng hữu ích như sau:

$\text{coversin}\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)=1-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)=\text{versin}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$

Đường cycloid

Đặt một đường tròn bán kính 1 lên trục $x$. Chọn một điểm A cố định trên đường tròn. Khi đường tròn lăn mà không trượt trên trục $x$, điểm A sẽ quay và vẽ ra hình cung gọi là đường cycloid.

Nếu điểm không nằm trên đường tròn mà ở bên trong, đường vẽ ra sẽ gọi là curtate cycloid.

Năm 1658, Christopher Wren đã chứng minh rằng nếu đường tròn có đường kính $d$, thì chu kỳ của đường cycloid sẽ có chiều dài là $4d$.

• Hình tròn
• Trục sin
• Trục cosin
• Trục tang
• Trục cotang

Chú thích