Hình tứ diện

Trong hình học không gian, tứ diện (tiếng Anh: Tetrahedron) hay còn gọi là hình chóp tam giác, là một khối đa diện với bốn mặt là hình tam giác, 6 cạnh và 4 đỉnh. Đây là hình đa diện lồi đơn giản nhất và là khối đa diện duy nhất có số mặt ít hơn 5.

Tứ diện có thể coi là một dạng đặc biệt của hình chóp, tức là một hình đa diện có đáy là một đa giác trên mặt phẳng và một đỉnh nối với tất cả các đỉnh của đa giác đó. Đối với tứ diện, đáy của nó luôn là hình tam giác. Giống như mọi hình đa diện lồi khác, tứ diện có thể được hình thành bằng cách gấp một bản thiết kế sẵn có.

Mỗi tứ diện đều có một mặt cầu ngoại tiếp, tức là mặt cầu đi qua tất cả 4 đỉnh của tứ diện, và một mặt cầu nội tiếp, tức là mặt cầu tiếp xúc với tất cả 4 mặt của tứ diện.

Tứ diện đều

Một tứ diện đều (tiếng Anh: Regular tetrahedron) là loại tứ diện mà tất cả bốn mặt của nó đều là các tam giác đều, dẫn đến hai đặc điểm chính:

• Tất cả các mặt của tứ diện đều là các tam giác đều, với kích thước bằng nhau.
• Tất cả các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.

Tứ diện đều là một trong năm loại khối đa diện đều đã được biết đến từ lâu do Plato mô tả.

Các công thức liên quan

Các công thức dưới đây áp dụng cho tứ diện đều với cạnh dài a:

Ký hiệu

Tứ diện với các đỉnh A, B, C, D thường được ký hiệu là (ABCD). Bất kỳ đỉnh nào trong số A, B, C, D đều có thể được coi là đỉnh chính; mặt tam giác đối diện với đỉnh đó gọi là đáy. Ví dụ, nếu chọn A làm đỉnh chính, thì mặt (BCD) là đáy của tứ diện.

• Đường cao của tứ diện là đoạn thẳng hạ vuông góc từ một đỉnh xuống mặt đáy.
• Thể tích của tứ diện được tính giống như thể tích của hình chóp, bằng một phần ba tích của chiều cao và diện tích mặt đáy.

Các công thức của tứ diện

Xét tứ diện ABCD với các cạnh BC = a, AC = b, AB = c, AD = d, BD = e, CD = f và thể tích là V.

• Công thức tính thể tích của tứ diện dựa trên 6 cạnh:

$V=\frac{1}{12}\sqrt{a^2{d}^2(b^2+e^2+c^2+f^2-<!--\; -\; -->a^2-<!--\; -\; -->d^2)+b^2{e}^2(a^2+d^2+c^2+f^2-<!--\; -\; -->b^2-<!--\; -\; -->e^2)+c^2{f}^2(a^2+d^2+b^2+e^2-<!--\; -\; -->c^2-<!--\; -\; -->f^2)-<!--\; -\; -->(abc{)}^2-<!--\; -\; -->(aef{)}^2-<!--\; -\; -->(bdf{)}^2-<!--\; -\; -->(cde{)}^2}$ Công thức Euler.

• Công thức tính thể tích hình chóp dựa trên các cạnh:

$cos(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{CD},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{EF},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{GH})=\frac{A^2-B^2+C^2-D^2+E^2-F^2+G^2-H^2)}{4(\frac{A^2-B^2)(\frac{C^2-D^2}{4\left(\frac{E^2-F^2}{4}\right)}\left(\frac{G^2-H^2}{4}\right)}{}}$ Công thức tính cosin của bốn vector.

• Công thức tính cosin của bốn vector:

$d(AB,CD)=\frac{12V}{\sqrt{4c^2{f}^2-<!--\; -\; -->(a^2+d^2-<!--\; -\; -->b^2-<!--\; -\; -->e^2{)}^2}}$

• Công thức tính góc nhị diện: Gọi diện tích hai tam giác BCD và ACD lần lượt là S₁ và S₂. Ta có:

$cos\left[CD\right]=\frac{f^2(a^2+e^2+b^2+d^2-<!--\; -\; -->f^2-<!--\; -\; -->2c^2)-<!--\; -\; -->(a^2-<!--\; -\; -->e^2)(b^2-<!--\; -\; -->d^2)}{16S_1{S}_2}$

• Công thức xác định đường vuông góc chung:

Đường vuông góc chung của AB và CD cắt AB tại điểm I. Đặt $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AI}=k\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}$. Khi đó:

$k=\frac{f^2(2c^2+b^2+d^2-<!--\; -\; -->a^2-<!--\; -\; -->e^2)+(b^2-<!--\; -\; -->d^2)(a^2-<!--\; -\; -->e^2-<!--\; -\; -->b^2+d^2)}{4c^2{f}^2-<!--\; -\; -->(a^2+d^2-<!--\; -\; -->b^2-<!--\; -\; -->e^2{)}^2}$

• Thể tích của tứ diện SABC với các cạnh SA = a, SB = b, SC = c và các góc $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BSC}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{ASC}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{ASB}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$: