Hình tứ giác nội tiếp

Trong hình học phẳng, một tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên cùng một đường tròn, gọi là đường tròn ngoại tiếp. Các đỉnh này được gọi là đồng viên, và tâm cũng như bán kính của đường tròn lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Thường thì tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi, nhưng cũng có thể là tứ giác lõm. Các công thức trong bài viết áp dụng cho tứ giác lồi.

Tất cả các tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp, nhưng không phải tất cả các tứ giác đều là tứ giác nội tiếp. Một ví dụ về tứ giác không nội tiếp là một hình bình hành không phải là hình chữ nhật.

Những trường hợp đặc biệt của tứ giác nội tiếp

Tất cả các hình vuông, hình chữ nhật và hình thang cân đều là hình tứ giác nội tiếp.

Một tứ giác lưỡng tâm không chỉ là tứ giác nội tiếp mà còn có thể ngoại tiếp một đường tròn.

Các đặc điểm, tính chất và cách nhận diện

Cách nhận diện

Một tứ giác lồi sẽ là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi bốn đường trung trực của các cạnh giao nhau tại một điểm. Điểm giao nhau này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

Tứ giác ABCD sẽ là tứ giác nội tiếp nếu và chỉ nếu tổng của hai cặp góc đối diện bằng nhau, tức là

Trong đó

Định lý này được nêu trong bộ Cơ bản của Euclid. Từ định lý này, ta có thể khẳng định rằng một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi góc nội tiếp và góc đối diện của nó cùng nằm trên một đường tròn là bằng nhau.

Một dấu hiệu nhận biết quan trọng khác của tứ giác ABCD nội tiếp là khi có hai góc bằng nhau cùng nhìn về một cạnh của tứ giác đó. Ví dụ: $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACB=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB.$

Định lý Ptoleme khẳng định rằng một tứ giác sẽ là tứ giác nội tiếp nếu và chỉ nếu tích của hai đường chéo bằng tổng của các tích của hai cặp cạnh đối diện, cụ thể là:

$ef=ac+bd.$

Nếu hai đường thẳng chứa các đoạn AC và BD cắt nhau tại P, thì các điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn nếu và chỉ nếu:

$AP\cdot <!--\; \cdot \; -->PC=BP\cdot <!--\; \cdot \; -->PD.$

Điểm giao P có thể nằm trên hoặc ngoài đường tròn. Nếu nằm trên, tứ giác nội tiếp là ABCD; nếu nằm ngoài, tứ giác nội tiếp là ABDC.

Một dấu hiệu khác để nhận diện tứ giác ABCD là nó nội tiếp khi và chỉ khi:

Các đặc điểm và tính chất

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác nội tiếp là điểm giao nhau của các đường trung trực của các cạnh của tứ giác.

Khi một tứ giác nội tiếp có hai góc đối diện là góc vuông, thì tâm đường tròn ngoại tiếp sẽ là trung điểm của đường chéo nối hai đỉnh đó.

Trong một tứ giác nội tiếp, nếu hai góc vuông cùng hướng về một cạnh thì tâm của đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh mà hai góc đó cùng hướng tới.

Diện tích

Diện tích S của tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d được tính theo công thức Brahmagupta:

$S=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)}$

Trong đó p là nửa chu vi của tứ giác, hay p = 1/2(a + b + c + d). Đây là một hệ quả của công thức Brahmagupta cho bất kỳ tứ giác nào. Nếu d = 0, tứ giác trở thành tam giác và công thức này sẽ chuyển thành công thức Heron.

Tứ giác nội tiếp có diện tích lớn nhất trong số các tứ giác có các cạnh tương ứng bằng nhau. Đây là một hệ quả từ công thức Brahmagupta.

Với bốn cạnh khác nhau, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng ba cạnh còn lại, chúng ta có ba tứ giác nội tiếp khác nhau. Theo công thức Brahmagupta, tất cả ba tứ giác này đều có cùng diện tích. Trong đó, một cạnh a có thể là cạnh đối của một trong ba cạnh còn lại b, c, d.

Diện tích của một tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d, trong đó cạnh a đối cạnh c, cạnh b đối cạnh d và góc B tạo bởi hai cạnh a và b, có thể được biểu diễn bằng công thức sau:

$S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin <!--\; \; -->B$

hoặc

$S=\frac{1}{2}(ac+bd)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

với θ là góc giữa hai đường chéo của tứ giác. Nếu góc trong A không phải là góc vuông, công thức tính diện tích tứ giác sẽ là:

$K=\frac{1}{4}(a^2-<!--\; -\; -->b^2-<!--\; -\; -->c^2+d^2)\tan <!--\; \; -->A.$

trong đó a và d là hai cạnh tiếp giáp với góc A.

Một công thức khác có thể áp dụng là

$S=2R^2\sin <!--\; \; -->A\sin <!--\; \; -->B\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

với R là bán kính của đường tròn nội tiếp. Kết quả thu được là:

$S\le <!--\; \le \; -->2R^2$

điều kiện để đạt dấu bằng là khi tứ giác trở thành hình vuông.

Đường chéo của tứ giác

Trong một tứ giác nội tiếp với các đỉnh A, B, C, D và các cạnh a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, chiều dài của các đường chéo p = AC và q = BD có thể được tính bằng công thức sau

và

Tích của hai đường chéo được xác định theo định lý Ptoleme:

$pq=ac+bd.$

Ngoài ra, theo định lý Ptoleme thứ hai, ta có

Với tổng của hai đường chéo, ta có bất đẳng thức sau:

$p+q\ge <!--\; \ge \; -->2\sqrt{ac+bd}.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai đường chéo có độ dài bằng nhau. Bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng bất đẳng thức AM-GM.

Từ bất đẳng thức trên, chúng ta có kết quả sau:

$(p+q{)}^2\le <!--\; \le \; -->(a+c{)}^2+(b+d{)}^2.$

Với bất kỳ tứ giác lồi nào, hai đường chéo cắt nhau chia tứ giác thành bốn tam giác. Trong trường hợp tứ giác nội tiếp, hai tam giác đối nhau qua giao của hai đường chéo là đồng dạng.

Nếu M và N là trung điểm của hai đường chéo AC và BD, thì

trong đó E và F là các điểm giao nhau của hai cặp cạnh đối của tứ giác.

Nếu tứ giác ABCD nội tiếp có đường chéo AC cắt đường chéo BD tại điểm E, thì

Khi làm việc với một bộ bốn cạnh của một tứ giác nội tiếp, bạn có thể hoán đổi vị trí các cạnh theo bất kỳ cách nào. Điều này có thể tạo ra một trong hai tứ giác nội tiếp khác nhau và khác với tứ giác ban đầu. Tất cả ba tứ giác này đều có diện tích giống nhau nhờ công thức Brahmagupta, đều nội tiếp cùng một đường tròn, và bất kỳ hai trong số ba tứ giác đều có một cặp đường chéo bằng nhau.

Công thức cho các góc và mối quan hệ giữa các góc trong tứ giác

Với tứ giác nội tiếp có bốn cạnh a, b, c, d, nửa chu vi s, và góc A nằm giữa hai cạnh a và d, ta có các công thức lượng giác sau đây:

Công thức Parameshvara liên quan đến bán kính của đường tròn ngoại tiếp

Đối với một tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d và nửa chu vi là s, bán kính của đường tròn ngoại tiếp được tính như sau:

Công thức này được nhà toán học Ấn Độ Vatasseri Parameshvara phát hiện vào thế kỷ XV.

Bằng cách sử dụng công thức Brahmagupta, công thức Parameshvara có thể được diễn đạt lại như sau:

$4KR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}$

trong đó K đại diện cho diện tích của tứ giác nội tiếp.

Các đặc điểm và định lý khác

• Trong một tứ giác nội tiếp ABCD, các tâm của đường tròn nội tiếp M₁, M₂, M₃, M₄ (như mô tả trong Hình 3) của các tam giác DAB, ABC, BCD, và CDA tạo thành các đỉnh của một hình chữ nhật. Đây là nội dung của định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp. Thêm vào đó, các trực tâm của bốn tam giác này cũng tạo thành một tứ giác nội tiếp đồng dạng với tứ giác ABCD, và các trọng tâm của các tam giác này cũng tạo thành một tứ giác nội tiếp.
• Trong một tứ giác nội tiếp ABCD với tâm ngoại tiếp O, nếu P là giao điểm của AC và BD, thì số đo góc APB bằng trung bình cộng của hai góc AOB và COD. Đây là một kết quả suy ra từ định lý góc trong và định lý góc ngoài.
• Không thể tìm thấy một tứ giác nội tiếp nào có diện tích và độ dài bốn cạnh khác nhau đều là số hữu tỉ.
• Nếu hai cặp cạnh đối của tứ giác giao nhau tại E và F, thì các tia phân giác của hai góc có đỉnh tại E và F là vuông góc với nhau.

Tứ giác Brahmagupta

Tứ giác Brahmagupta là loại tứ giác nội tiếp có các cạnh, đường chéo và diện tích đều là số nguyên. Tất cả các tứ giác Brahmagupta với các cạnh a, b, c, d, đường chéo e, f, diện tích K, và bán kính đường tròn ngoại tiếp R có thể được tính toán từ các biểu thức sau bằng cách quy đồng các mẫu số liên quan đến các số hữu tỉ t, u, v:

$a=\left[t\right(u+v)+(1-<!--\; -\; -->uv\left)\right][u+v-<!--\; -\; -->t(1-<!--\; -\; -->uv\left)\right]$

$b=(1+u^2)(v-<!--\; -\; -->t)(1+tv)$

$c=t(1+u^2)(1+v^2)$

$d=(1+v^2)(u-<!--\; -\; -->t)(1+tu)$

$e=u(1+t^2)(1+v^2)$

$f=v(1+t^2)(1+u^2)$

$K=uv\left[2t\right(1-<!--\; -\; -->uv)-<!--\; -\; -->(u+v\left)\right(1-<!--\; -\; -->t^2\left)\right]\left[2\right(u+v)t+(1-<!--\; -\; -->uv\left)\right(1-<!--\; -\; -->t^2\left)\right]$

$4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Trường hợp hai đường chéo vuông góc

Chu vi và diện tích

Đối với một tứ giác nội tiếp với hai đường chéo vuông góc, nếu giao điểm của chúng chia một đường chéo thành các đoạn p1 và p2, và đường chéo kia thành các đoạn q1 và q2, thì: (đẳng thức đầu tiên là Mệnh đề thứ 11 trong cuốn 'Book of Lemmas' của Archimedes)

$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2$

Trong đó, D là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Điều này đúng vì đường chéo là các dây vuông góc của một vòng tròn. Các phương trình này chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp R có thể được tính bằng

$R=\frac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}$

hoặc, khi tính theo các cạnh của tứ giác, như

$R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.$

Tương đương với:

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

Theo định lý Euler về tứ giác, bán kính của đường tròn ngoại tiếp có thể tính bằng các đường chéo p và q, cùng khoảng cách x giữa các trung điểm của chúng:

Diện tích K của một tứ giác nội tiếp với hai đường chéo vuông góc có thể được tính trực tiếp từ độ dài của 4 cạnh bằng cách áp dụng định lý Ptoleme kết hợp với công thức diện tích tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc. Kết quả thu được là

$K=\frac{1}{2}(ac+bd).$

Những đặc điểm khác

Trong một tứ giác nội tiếp với hai đường chéo vuông góc, điểm giao nhau của các đường chéo chính là trung tâm của đường tròn nội tiếp.

1. Theo định lý Brahmagupta, trong một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc, đường vuông góc từ bất kỳ cạnh nào qua điểm giao nhau của các đường chéo sẽ chia đôi cạnh đối diện.
2. Nếu một tứ giác với hai đường chéo vuông góc cũng là tứ giác nội tiếp, khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đến bất kỳ cạnh nào là một nửa chiều dài của cạnh đối diện.
3. Trong tứ giác có hai đường chéo vuông góc, khoảng cách giữa các trung điểm của đường chéo bằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến điểm giao nhau của hai đường chéo.

Ngược lại, nếu trong một tứ giác nội tiếp, tổng bình phương của hai cạnh đối bằng tổng bình phương của hai cạnh đối còn lại, thì hai đường chéo của tứ giác này vuông góc với nhau. (Điều này có thể chứng minh định lý 4 điểm)

Hình cầu ngoại tiếp tứ giác

Một tứ giác nằm trên một mặt cầu, với các giao điểm của các đường tròn lớn, sẽ là tứ giác nội tiếp nếu và chỉ nếu tổng của các góc đối diện bằng nhau, nghĩa là α + γ = β + δ, với α, β, γ, δ là các góc liên tiếp của tứ giác. I.A.Lexell đã chứng minh một phần của định lý này vào năm 1786, chỉ ra rằng trong một tứ giác nội tiếp một đường tròn nhỏ trên mặt cầu, tổng các góc đối diện là bằng nhau. Trong khi đó, tổng các cạnh đối diện trong tứ giác ngoại tiếp cũng bằng nhau. Định lý đầu tiên của các kết quả này là sự tương đồng hình cầu của một định lý phẳng, và định lý thứ hai là kết quả của việc trao đổi các vòng tròn lớn và cực của chúng. Kiper và cộng sự đã chứng minh định lý đảo: Nếu tổng các cạnh đối diện trong một tứ giác nằm trên mặt cầu bằng nhau, thì tứ giác đó có một đường tròn nội tiếp.

• Định lý con bướm
• Đa giác nội tiếp

Chú thích

• Phát triển công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp
• Tâm đường tròn nội tiếp trong tứ giác nội tiếp từ cut-the-knot
• Bốn đường thẳng đồng quy trong tứ giác nội tiếp từ cut-the-knot
• Weisstein, Eric W., 'Tứ giác nội tiếp' từ MathWorld.
• Tâm Euler và các đoạn đường của tứ giác nội tiếp từ Dynamic Geometry Sketches, bản vẽ hình học động tương tác.