Hình vòng nhẫn

Trong toán học, hình vòng nhẫn (tiếng Anh: annulus, từ tiếng Latinh anulus / annulus, có nghĩa là 'chiếc nhẫn nhỏ', số nhiều là anuli / annuli) là một hình hình nhẫn, phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.

Những hình vòng nhẫn mở tương đương với cả hình trụ mở S × (0,1) và mặt phẳng thủng (punctured plane).

Diện tích

Diện tích của hình vòng nhẫn là sự khác nhau giữa diện tích của hình tròn lớn có bán kính R và hình tròn nhỏ có bán kính r:

$A=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{R}^2-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(R^2-<!--\; -\; -->r^2\right).$

{displaystyle A=pi R^{2}-pi r^{2}=pi left(R^{2}-r^{2} ight).}

Diện tích của hình vòng nhẫn được xác định dựa trên độ dài của dây cung dài nhất, tức là đoạn thẳng tiếp tuyến với đường tròn trong, có độ dài 2d như minh họa. Phân tích này có thể được biểu diễn bằng định lý Pythagoras vì đoạn thẳng này tiếp tuyến với đường tròn nhỏ và vuông góc với bán kính r tại điểm tiếp xúc, do đó d và r là các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền R và diện tích của hình vòng nhẫn được tính theo công thức:

$A=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(R^2-<!--\; -\; -->r^2\right)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{d}^2.$

Có thể sử dụng phép tích phân để tính diện tích bằng cách chia hình vòng cung thành nhiều phần vòng cung vô hạn với độ rộng dρ tiến về vô cùng và diện tích 2πρ dρ, sau đó tính phân tích từ ρ = r đến ρ = R.

Diện tích của phần vòng cung được tính theo công thức: A = ∫_{r}^{R} 2πρ dρ = π(R^{2} - r^{2}).

Diện tích của phần vòng quạt với góc θ, trong đó θ được đo bằng radian, được tính bằng công thức:

Diện tích là A = θ/2 × (R^{2} - r^{2}).

Cấu trúc phức tạp

Trong toán phức học, hình vành khăn ann(a; r, R) trên mặt phẳng phức được định nghĩa là một tập mở:

Khi r bằng 0, tập này trở thành đĩa thủng có bán kính R, tâm a.

Là một phần của mặt phẳng phức, hình vành khăn có thể được coi như một mặt Riemann. Cấu trúc phức của hình vành khăn chỉ phụ thuộc vào tỷ lệ r/R. Mỗi hình vành khăn ann(a; r, R) có thể được ánh xạ thành hình vành khăn chuẩn tương ứng, dựa trên tâm cũ và với bán kính ngoài 1.

Trong thời điểm này, bán kính là r/R < 1.

Định lý ba vòng tròn Hadamard là một khẳng định về giá trị tối đa mà một hàm hình học có thể nhận được trong một vòng tròn cô lập.