Hợp của hai tập

Cho A và B là các tập hợp, khi đó hợp (còn được gọi là hội hoặc union) của A và B là tập chứa tất cả các phần tử của A và B, không chứa phần tử nào khác. Hợp của A và B được viết là 'A ∪ B'. Hợp là khi ta kết hợp hai tập lại với nhau.

Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B là tập các phần tử thuộc A, thuộc B hoặc cả hai A và B. Sử dụng ký hiệu xây dựng tập hợp,

$A\cup <!--\; \cup \; -->B=\{x:x\in <!--\; \in \; -->A\text{ hoặc }x\in <!--\; \in \; -->B\}$.

Ví dụ, nếu A = {1, 2, 3, 4} và B = {1, 2, 4, 6, 7} thì A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}. Một ví dụ bao gồm hai tập vô hạn là:

A = {x là số nguyên chẵn lớn hơn 1}

B = {x là số nguyên lẻ lớn hơn 1}

$A\cup <!--\; \cup \; -->B=\{2,3,4,5,6,\dots <!--\; \dots \; -->\}$

Một ví dụ khác về tính chất là phần tử của: số 9 không nằm trong hợp của các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số chẵn {2, 4, 6, 8, 10, ...}, vì 9 không phải là số nguyên tố và cũng không phải là số chẵn.

Tập hợp không chứa các phần tử trùng lặp, do đó hợp của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {1, 2, 3, 4}.

Tính chất của phép hợp tập hợp

Phép hợp hai tập là phép toán nhị phân có tính kết hợp; nghĩa là, với mọi tập $A,B,\text{ và }C,$ $A\cup <!--\; \cup \; -->(B\cup <!--\; \cup \; -->C)=(A\cup <!--\; \cup \; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->C.$

Do đó, có thể loại bỏ dấu ngoặc mà không làm mất đi giá trị: cả hai cách viết trên đều có thể viết thành $A\cup <!--\; \cup \; -->B\cup <!--\; \cup \; -->C.$ Ngoài ra, phép hợp còn có tính giao hoán, do đó có thể hoán vị các tập hợp trong biểu thức.

Tập rỗng là phần tử đơn vị cho phép hợp. Tức là, $A\cup <!--\; \cup \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=A$

, {\displaystyle A\cup \varnothing =A,} với mọi tập $A.$ Ngoài ra, phép hợp còn có tính lũy đẳng: $A\cup <!--\; \cup \; -->A=A.$ Tất cả các tính chất này tương tự như phép tuyển.

Phép giao phân phối trên phép hợp $A\cap <!--\; \cap \; -->(B\cup <!--\; \cup \; -->C)=(A\cap <!--\; \cap \; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->(A\cap <!--\; \cap \; -->C)$ và ngược lại, phép hợp phân phối trên phép giao $A\cup <!--\; \cup \; -->(B\cap <!--\; \cap \; -->C)=(A\cup <!--\; \cup \; -->B)\cap <!--\; \cap \; -->(A\cup <!--\; \cup \; -->C.$

Tính chất của hợp hữu hạn các tập hợp

Rộng hơn, ta có thể xét hợp của nhiều tập hợp cùng lúc. Ví dụ: hợp của ba tập A, B, và C chứa tất cả các phần tử thuộc A, B, và C, và không gì khác. Do đó, x thuộc A ∪ B ∪ C khi và chỉ khi x thuộc ít nhất một trong ba tập A, B, và C.

Hợp hữu hạn là hợp của một số hữu hạn các tập hợp; điều này không có nghĩa rằng phép hợp chỉ áp dụng với hữu hạn số tập hợp hoặc chỉ áp dụng với tập hợp hữu hạn.

Hợp của một họ tập hợp

Cách viết tổng quát nhất là hợp của một họ tùy ý các tập hợp, đôi khi được gọi là họ vô hạn. Nếu M là một tập hợp hoặc lớp mà các phần tử là các tập hợp, thì x thuộc hợp của M khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một phần tử A thuộc M sao cho x là phần tử của A. Dưới dạng biểu thức:

$x\in <!--\; \in \; -->\bigcup <!--\; \bigcup \; -->M⟺<!--\; ⟺\; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}A\in <!--\; \in \; -->M,x\in <!--\; \in \; -->A.$

Cách viết này tổng quát hóa cho ví dụ trước, A ∪ B ∪ C là hợp của họ {A, B, C}. Ngoài ra, nếu họ M rỗng, thì hợp của M cũng rỗng.

Ký hiệu

Ký hiệu cho hợp của một họ có thể khác nhau. Đối với họ hữu hạn các tập $S_1,S_2,S_3,\dots <!--\; \dots \; -->,S_n$, ta có thể viết $S_1\cup <!--\; \cup \; -->S_2\cup <!--\; \cup \; -->S_3\cup <!--\; \cup \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\cup <!--\; \cup \; -->S_n$ hoặc $\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}{S}_i$. Các cách ký hiệu khác bao gồm $\bigcup <!--\; \bigcup \; -->M$, $\underset{A\in <!--\; \in \; -->M}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}A$, và $\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_i$. Cách ký hiệu cuối $\left\{A_i:i\in <!--\; \in \; -->I\right\}$ được dùng khi I là tập chỉ số và $\left\{A:A\in <!--\; \in \; -->M\right\}$ để biểu diễn hợp của tất cả các tập con M. Ví dụ, {$\left\{1,2,3\right\}$} là một hợp một phần của {1, 2, 3}, trong khi $\left\{\left\{\right\}\right\}$ là một hợp một phần của {∅}. Cũng giống như vậy, hợp của ∅ không có chứa những thành phần này.

[text](Hợp của một họ),,Hỗn hợp của một họ:::

Trong bảng mã Unicode, phép hợp được biểu diễn bằng ký tự U+222A ∪ Union. Trong TeX, $\cup <!--\; \cup \; -->$ được viết là \cup còn $\bigcup <!--\; \bigcup \; -->$ được viết từ \bigcup.