Buzz
1. Cách viết phương trình tham số cho đường thẳng
Phương trình tham số được xác định thông qua các hàm số của một hay nhiều biến độc lập, được gọi là các tham số. Đây là cách thường dùng để mô tả tọa độ của các điểm trên đối tượng hình học như đường cong hoặc mặt phẳng, với các đối tượng này được gọi là biểu diễn theo tham số hoặc được tham số hóa.
Chẳng hạn, phương trình: {x = cos t ; y = sin t} là dạng tham số của đường tròn đơn vị, trong đó t là tham số.
- Véc tơ chỉ phương
+ Đối với đường thẳng d, vecto u khác vecto 0 được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu vecto này song song hoặc trùng với d.
+ Nếu vecto u là vecto chỉ phương của đường thẳng d, thì mọi bội số k của vecto u cũng là vecto chỉ phương của d.
+ Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến luôn vuông góc với nhau. Cụ thể, nếu vecto chỉ phương của d là u (a, b), thì vecto pháp tuyến sẽ là n (-b, a).
- Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng qua điểm A (x0; y0) và có vecto chỉ phương u (a, b) được xác định như sau:
Điểm B (x, y) thuộc đường thẳng d nếu AB = t. u, từ đó ta có hệ phương trình {x - x0 = at; y - y0 = bt}, dẫn đến {x = x0 + at; y = y0 + bt}, với a² + b² khác 0 và t thuộc R
Đường thẳng d đi qua điểm A(x0; y0) và có vecto chỉ phương u (a, b), thì phương trình chính tắc của đường thẳng là (x - x0)/a = (y - y0)/b, với điều kiện a ≠ 0 và b ≠ 0
=> M (x0 + at; y0 + at)
2. Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng
Để thiết lập phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, ta cần xác định
- Điểm A (x0, y0) thuộc đường thẳng ∆
- Một vecto chỉ phương u→(a; b) với ab ≠ 0 của đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc là (x - x0)/a = (y - y0)/b. Nếu ab = 0, đường thẳng không có phương trình chính tắc.
Lưu ý:
- Hai đường thẳng song song có cùng vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến.
- Nếu hai đường thẳng vuông góc, vecto chỉ phương của đường thẳng này là vecto pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
- Nếu đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u→ = (a; b), thì vecto pháp tuyến của ∆ là n→ = (-b; a).
3. Một số bài tập về việc viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Bài 1: Cho điểm A (1; -3) và B (-2; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng cho các trường hợp sau:
a. Đường thẳng đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến là n (1; 2).
b. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB.
c. Đoạn thẳng AB có đường trung trực là đường thẳng này
Hướng dẫn giải:
a. Do đường thẳng có vectơ pháp tuyến là n (1; 2) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng này là u (-2; 1)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là {x = 1 - 2t; y = -3 + t}
b. Đoạn thẳng AB có vectơ chỉ phương là (-3; 6) và đường thẳng song song với AB sẽ có vectơ chỉ phương là u (-1; 2). Do đó, phương trình tham số của đường thẳng này là { x = -t; y = 2t}
c. Đường thẳng này là đường trung trực của đoạn AB, nên có vectơ pháp tuyến là AB (-3; 6) và đi qua trung điểm I của đoạn AB
Trung điểm I của đoạn AB là (-1/2; 0) và đường thẳng này có vectơ chỉ phương là u (-1; 2), do đó phương trình tham số của nó là { x = -1/2 - t; y = 2t}
Bài 2: Xác định phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A (1; 2) và có vectơ pháp tuyến là u (1; -1).
b. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm B (0; 1) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1.
c. Tìm phương trình của đường thẳng song song với 4x + 3y - 1 = 0 và đi qua điểm M (0, 1).
Hướng dẫn giải:
a. Xét điểm M (x, y) nằm trên đường thẳng d, ta có: AM = t. u => {x - 1 = t; y - 2 = -t} => {x = 1 + t; y = 2 - t}
Phương trình chính tắc của đường thẳng là: (x - 1)/1 = (y - 2)/-1
b. Đường thẳng y = 2x + 1 có vectơ pháp tuyến là n = (2; -1)
Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 nên vectơ pháp tuyến n của y = 2x + 1 chính là vectơ chỉ phương của d, tức là n = u = (-2; 1)
Phương trình tham số của đường thẳng d được xác định như sau: {x = 0 + 2t; y = 1 - t}
Phương trình chính tắc của d là: x/-2 = (y - 1)/-1
c. Đường thẳng d song song với đường thẳng 4x + 3y - 1 = 0 nên phương trình tham số của d là: {x = -3t; y = 1 + 4t}. Phương trình chính tắc của d là: x/-3 = (y - 1)/4
Bài 3: Xác định phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a. Đường thẳng d đi qua hai điểm A(-1;1) và B(2; -1).
b. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng { x = 3t; y = 1 + 2t}.
Hướng dẫn giải
a. Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B, nên vecto chỉ phương của d là AB = (3; -2).
Phương trình tham số của đường thẳng d là: {x = -1 + 3t; y = 1 - 2t}.
Phương trình chính tắc của đường thẳng là: (x + 1)/3 = (y - 1)/-2.
b. Đường thẳng d song song với vecto u = (3; 2).
Phương trình tham số của đường thẳng d là: {x = 3t; y = 2t}.
Phương trình chính tắc của d là: x/3 = y/2.
Bài 3: Cho ba điểm A(-2; 1), B(-1; 5), C(-2; -3).
a. Xác định phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.
b. Xác định phương trình tham số của đường trung trực của cạnh BC.
c. Viết phương trình của đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải
a. Đường thẳng AB có phương trình với vecto pháp tuyến là AB = (1; 4).
Phương trình tham số của đường thẳng AB là: {x = -2 + t; y = 1 + 4t} và phương trình chính tắc của nó là: (x + 2)/1 = (y - 1)/4.
Tương tự, phương trình tham số của đường thẳng AC là: {x = -2; y = -3 - 4t}.
b. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC và có vecto pháp tuyến là BC = (-1; -8). Do đó, vecto chỉ phương của đường thẳng trung trực là u = (8; -1).
Gọi M là trung điểm của BC, ta có: {x = (-1 - 2)/2 = -3/2; y = (5 - 3)/2 = 1}.
Phương trình tham số của đường trung trực BC là: {x = -3/2 + 8t; y = 1 - t}.
c. Đường thẳng d song song với AB nên vecto chỉ phương của d là u = (1; 4).
Theo câu b, trung điểm của BC là M (-3/2; 1).
Do đó, phương trình tham số của d là: {x = -3/2 + t; y = 1 + 4t}.
Bài 4: Xác định phương trình của đường thẳng y = ax + b với điều kiện sau.
a) Đường thẳng đi qua hai điểm A(-3,2) và B(5,-4). Tính diện tích của tam giác được tạo bởi đường thẳng và hai trục tọa độ.
b) Đường thẳng đi qua điểm A (3,1) và song song với đường thẳng y = -2x + m - 1.
Hướng dẫn giải
a. Đặt phương trình tổng quát là: y = ax + b. Vì đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên ta có: (a; b) = (-3/4; -1/4).
Do đó, phương trình tổng quát cần tìm là y = -3/4x - 1/4.
b. Đặt phương trình tổng quát là: y = ax + b.
Vì đường thẳng song song với y = -2x + m - 1 nên a = -2.
Do đó, phương trình của đường thẳng là y = -2x + b.
Vì đường thẳng đi qua điểm A(3; 1) nên ta có: 1 = 3*(-2) + b, từ đó b = 7.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: y = -2x + 7.
Bài 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm M (-2; 0) và có vecto chỉ phương u→(2; -3). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải
Đường thẳng d đi qua điểm M (-2; 0) và có vecto chỉ phương u = (2; -3).
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: (x + 2)/2 = y/3.
Bài 6: Cho hai điểm A (-2; 3) và B (4; 5). Tìm phương trình chính tắc của đường trung trực của đoạn AB.
Lời giải:
Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn AB, do đó d và AB vuông góc với nhau.
Vì vậy, đường thẳng d có vecto pháp tuyến là AB→(6; 2), và một vecto pháp tuyến của d là u→(1; -3).
Gọi M là trung điểm của AB, tọa độ của M là (1; 4).
Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 4) và có vecto chỉ phương u (1; -3).
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: (x - 1)/1 = (y - 4)/-3.
