Hướng dẫn công thức tính diện tích và thể tích khối cầu một cách chính xác và dễ hiểu

Buzz

Nội dung bài viết

1. Khối cầu là gì?

2. Công thức tính thể tích khối cầu:

3. Công thức tính diện tích khối cầu:

3.1. Công thức tính diện tích mặt cầu

3.2. Công thức tính diện tích bề mặt của khối cầu:

4. Bài tập luyện tập

Xem thêm

Việc tính thể tích khối cầu là một phần khó trong hình học lớp 12. Hãy cùng Mytour tìm hiểu cách tính diện tích và thể tích khối cầu để nắm rõ hơn kiến thức này.

1. Khối cầu là gì?

- Khối cầu bao gồm toàn bộ không gian từ mặt cầu đến tâm của nó. Mặt cầu là tập hợp các điểm cách đều tâm hình cầu (O) một khoảng cố định là R (bán kính), tức R = OA.

- Đặc điểm của hình cầu:

+ Trục đối xứng của hình cầu là bất kỳ đường thẳng nào cắt qua hình cầu và đi qua tâm của nó. Khi xoay một quả cầu quanh trục này ở bất kỳ góc độ nào, nó sẽ vẫn giữ hình dạng như cũ.

+ Mặt phẳng phản xạ là mặt phẳng cắt qua hình cầu tại tâm, chia hình cầu thành hai phần bằng nhau.

2. Công thức tính thể tích khối cầu:

$V = rac{4pi r^{3}}{3}$

Trong đó:

- V: thể tích khối cầu (đơn vị m³)

- r: bán kính của khối cầu

3. Công thức tính diện tích khối cầu:

3.1. Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu được tính bằng 4 lần diện tích của hình tròn lớn, hoặc bốn lần số Pi nhân với bình phương bán kính của khối cầu:

$S = 4pi r^{2} = pi d^{2}$

Trong đó:

- S: Diện tích mặt cầu

- r: Bán kính của mặt cầu/khối cầu

- d: đường kính của mặt cầu/khối cầu

3.2. Công thức tính diện tích bề mặt của khối cầu:

$S_{xq} = 4pi r^{2}$

Trong đó:

- S_{xq}: Diện tích bề mặt của khối cầu

- r: bán kính của khối cầu.

4. Bài tập luyện tập

Bài 1: Có hình cầu với tâm O và bán kính là 9m. Tính diện tích của khối cầu?

Giải:

Diện tích khối cầu S = 4 . 3,14 . 9² = 1017,36 (m²)

Vậy diện tích của khối cầu là 1017,36 m²

Bài 2: Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương với cạnh 9 cm là bao nhiêu?

Giải
Gọi R là bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.EFGH

Ta có: CE = AB . √3 = 9 cm. Suy ra R = 1/2 CE = 4,5 cm

Thể tích khối cầu là: V = 4/3 . 3,14 . 4,5³ = 381,7 cm³

Vậy thể tích của khối cầu là 84,78 cm³

Bài 3: Hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SA = a, AB = b, AC = c. Tính bán kính r của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, S.

Giải: Gọi M là trung điểm của BC, khi đó MC = MB = MA => M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Dựng Mt vuông góc với mặt phẳng ABC, ta có Mt // SA và Mt là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng (SA, Mt), đường trung trực của SA cắt Mt tại I, ta có:

IS = IA và IA = IB = IC => IS = IA = IB = IC => I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

$sqrt{AM^{2} + MI^{2}}$ $sqrt{b^{2}+c^{2}}$ $sqrt{a^{2} +b^{2}+c^{2}}$

Bài 4: Cho một hình cầu có bán kính 10cm, tính diện tích bề mặt của hình cầu này:

Giải: Áp dụng công thức tính diện tích của hình cầu, ta có:

S = 4. π. r² = 4. 3,14 . 10² = 1256 cm²

Như vậy, diện tích bề mặt của hình cầu là 1256 cm².

Bài 5: Cho hình cầu có đường kính d = 6cm. Diện tích bề mặt của hình cầu là:

A. 36π (cm²)

B. 9π (cm²)

C. 12π (cm²)

D. 6π (cm²)

Giải: Chọn đáp án: A. Diện tích bề mặt của hình cầu là 36π (cm²)

Vì đường kính d = 6cm

Bán kính của hình cầu là R = d/2 = 3 cm

Diện tích bề mặt của cầu được tính theo công thức: S = 4πR² = 4π × 3² = 36π (cm²)

Bài 6: Cho mặt cầu với diện tích bằng thể tích của nó. Tính bán kính của mặt cầu:

A. Bán kính mặt cầu là 3

B. Bán kính mặt cầu là 6

C. Bán kính của mặt cầu là 9

D. Bán kính của mặt cầu là 12

Giải đáp: Chọn A. Bán kính mặt cầu là 3.

Bài 7: Một hình cầu có bán kính 3 cm. Một hình nón có bán kính đáy bằng 3 cm và diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.

a. Chiều cao của hình nón là 3 cm

$6\sqrt{3}$

Chiều cao của hình nón là 7 cm

$6\sqrt{2}$ $6\sqrt{2}$

Gọi I là độ dài của đường sinh hình nón. Vì bán kính của hình cầu và bán kính đáy hình nón bằng nhau nên từ giả thiết, ta có:

4 . π . R² = π . R . I + π . R² dẫn đến 4 . R² = R . I + R²

=> 3R² = R . I => I = 3R = 3 . 3 = 9 cm

²²²²² $6\sqrt{2}$

Bài 8: Cho một hình trụ có bán kính đáy là 3 cm và chiều cao h = 4 cm. Tìm bán kính của hình cầu có diện tích xung quanh bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

A. Bán kính của hình cầu là 3 cm

B. Bán kính của hình cầu là 2 cm

C. Bán kính của hình cầu là 6 cm

$\sqrt{6}$

Giải thích:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Diện tích xung quanh = 2 . π . R . h = 2 . π . 3 . 4 = 24 . π (cm²)

²² $\sqrt{6}$

Bài 9: Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỷ số giữa thể tích của hình cầu và thể tích của hình trụ.

A. Tỷ lệ thể tích của hình cầu so với hình trụ là 2/3

B. Tỷ lệ thể tích của hình cầu so với hình trụ là 3/2

C. Tỷ lệ thể tích của hình cầu so với hình trụ là 1/2

D. Tỷ lệ thể tích của hình cầu so với hình trụ là 2

Giải thích: Chọn A. Tỷ lệ thể tích của hình cầu so với hình trụ là 2/3.

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ đều bằng nhau và cũng bằng đường kính của hình cầu, nên chiều cao h của hình trụ là 2R, với R là bán kính của hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích của hình cầu được tính bằng công thức: V cầu = 4/3 . π . R³

Thể tích của hình trụ là: V trụ = π . R² . 2R = 2 . π . R³

Tỉ số thể tích giữa hình cầu và hình trụ là: V cầu / V trụ = 2/3

Bài 10: Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích toàn phần của hình lập phương là 24cm², thì diện tích mặt cầu là:

A. 4 π

B. 4

C. 2 π

D. 2

Lời giải: Chọn A. Diện tích bề mặt của hình cầu là 4π (cm²)

Vì hình cầu nội tiếp trong hình lập phương nên bán kính hình cầu R = a/2, với a là cạnh của hình lập phương. Diện tích toàn phần của hình lập phương là: S toàn phần = 6 . a² = 24, từ đó a = 2 (cm).

Do đó, bán kính R = 2/2 = 1 (cm).

Vậy diện tích bề mặt của hình cầu là: S = 4 . π . R² = 4 . π . 1² = 4 . π (cm²)

Bài 11: Giả sử trái chanh vàng có hình dạng tương tự như mặt cầu, bạn Lan cắt trái chanh làm đôi và đo đường kính của nửa trái chanh vừa vắt, đo được bán kính cả vỏ chanh là 2 cm. Biết vỏ chanh dày 3mm, tính thể tích thực của quả chanh đó.

Bài 12: Quả bóng đá được sử dụng trong các giải đấu tại Việt Nam có chu vi qua tâm là 68,5 cm. Quả bóng được làm từ các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích 49,82 cm². Hãy tính số miếng da tối thiểu cần để làm quả bóng này?

Đáp án: Cần tối thiểu 30 miếng da để làm quả bóng đá này.

Bài 13: Một chậu nước bằng nhôm có hình bán cầu với bán kính R = 10 cm đặt trong một khung chữ nhật. Trong chậu đã có một khối nước hình chóp cầu với chiều cao h = 2 cm. Khi thả viên bi kim loại vào chậu, mặt nước dâng lên vừa đủ để viên bi chìm hoàn toàn. Công thức tính thể tích của khối chóp cầu (O;R) với chiều cao h là: V chóp cầu = π . h² . (R - h/3). Xác định bán kính r của viên bi.

Đáp án: Bán kính viên bi là 1,019 cm.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Khối cầu được định nghĩa như thế nào trong hình học?

Khối cầu là toàn bộ không gian từ mặt cầu đến tâm của nó, với mặt cầu là tập hợp các điểm cách đều tâm hình cầu một khoảng cố định, gọi là bán kính R.

Công thức tính thể tích khối cầu là gì?

Thể tích khối cầu được tính bằng công thức V = 4/3 * π * r³, trong đó V là thể tích và r là bán kính của khối cầu.

Làm thế nào để tính diện tích bề mặt của khối cầu?

Diện tích bề mặt của khối cầu được tính bằng công thức S = 4 * π * r², với S là diện tích mặt cầu và r là bán kính của khối cầu.

Có bao nhiêu cách để tính diện tích mặt cầu?

Có hai công thức để tính diện tích mặt cầu: S = 4 * π * r², và S = 4 lần diện tích của hình tròn lớn, trong đó r là bán kính của mặt cầu.

Tỷ lệ thể tích của hình cầu so với hình trụ là bao nhiêu?

Tỷ lệ thể tích của hình cầu so với hình trụ là 2/3, khi đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu.