Buzz
1. Những điều cần ghi nhớ
Khi hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm, các quy tắc sau đây được áp dụng:
- Điểm giao của hai tiếp tuyến trên đường tròn sẽ chia đều khoảng cách giữa các điểm tiếp xúc mà chúng kết nối.
- Tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến là tia xuất phát từ điểm giao của chúng và đi qua tâm đường tròn, chia góc thành hai phần bằng nhau. Tia này từ điểm giao qua tâm chính là tia phân giác của góc đó.
- Tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính nối qua các điểm tiếp xúc là tia xuất phát từ tâm đường tròn và đi qua điểm giao của hai tiếp tuyến, chia góc thành hai phần bằng nhau.
Đường tròn nội tiếp tam giác:
- Đây là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các điểm tiếp xúc của nó với tam giác.
- Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm nằm bên trong tam giác.
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là điểm giao của ba tia phân giác trong tam giác: Tâm này là nơi ba tia phân giác gặp nhau; Mỗi tia phân giác chia một góc trong tam giác thành hai góc bằng nhau; Tâm đường tròn nội tiếp nằm tại trung điểm của các đoạn nối từ tâm đến các đỉnh của tam giác.
Đường tròn bàng tiếp của tam giác:
- Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
- Mỗi tam giác có thể có ba đường tròn bàng tiếp tương ứng với ba cạnh của nó.
- Tâm của đường tròn bàng tiếp: Tâm của đường tròn này được xác định bởi điểm giao của hai tia phân giác ngoài của hai đỉnh mà đường tròn tiếp xúc; Tâm của đường tròn nằm trên đoạn nối giữa hai đỉnh tạo thành cạnh mà đường tròn tiếp xúc; Đây là tâm của đường tròn bàng tiếp trong tam giác.
2. Hướng dẫn chứng minh tiếp tuyến của đường tròn
Nhận diện tiếp tuyến của đường tròn
- Dấu hiệu 1: Nếu một đường thẳng đi qua điểm trên đường tròn và tạo góc vuông với bán kính tại điểm đó, thì đường thẳng chính là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm đó. Điều này có nghĩa là đường thẳng chỉ chạm vào đường tròn tại một điểm cụ thể và vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
- Dấu hiệu 2: Tiếp tuyến có thể được nhận diện qua tiếp điểm. Nếu đường thẳng tạo góc vuông với bán kính và đi qua một điểm trên đường tròn, điểm đó là tiếp điểm của đường thẳng với đường tròn. Điều này có nghĩa là đường thẳng chạm vào đường tròn tại một điểm cụ thể và vuông góc với bán kính tại điểm đó.
Hướng dẫn chứng minh tiếp tuyến của đường tròn:
- Cách 1: Để chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất góc vuông trong tam giác vuông được tạo bởi đường thẳng và bán kính. Sử dụng định nghĩa của góc vuông và đặc điểm của tam giác vuông, ta có thể xác nhận rằng đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn.
- Cách 2: Để chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn, ta có thể sử dụng hình vẽ hình học và định nghĩa bán kính. Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d phải bằng bán kính R của đường tròn.
- Cách 3: Để chứng minh hệ thức MA² = MB · MC, ta có thể dựa vào định nghĩa tiếp tuyến và các hệ thức liên quan đến các điểm trên đường tròn. Áp dụng các quy tắc trong tam giác ADE, ta có thể chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE khi hệ thức này đúng.
AO = OB = R
OD: giống nhau
Do đó: OH = OB = R
Ta có: OH vuông góc với CD và OH = OB = R
Vậy CD chính là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3. Bài tập tự luyện về tiếp tuyến của một đường tròn
Câu 1: Cho tam giác IMN với hai cạnh IM và IN bằng nhau. Kẻ hai đường cao IH và MK, chúng cắt nhau tại A. Hãy chứng minh rằng:
a. Đường tròn có đường kính IA đi qua điểm K
b. Đường tròn có đường kính IA có tiếp tuyến là HK
Câu 2: Cho đường tròn với tâm I, AB là đường kính. Hai tia Ax và By là các tiếp tuyến của đường tròn. Lấy hai điểm C và D với C trên tia Ax và D trên tia By sao cho góc CID bằng 90 độ. Hãy chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn với tâm I.
a. IA là tiếp tuyến của đường tròn với tâm O
Câu 4: Cho đường tròn với tâm O và hai điểm A, B trên đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến từ B và C cắt nhau tại A.
a. Chứng minh rằng đoạn AO là đường trung trực của đoạn BC.
b. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Chứng minh rằng đoạn BD song song với đoạn OA.
a. Tính chiều dài của đoạn EF
b. Tính diện tích của tam giác MEF.
Câu 6: Cho hai tiếp tuyến tại các điểm A và B của đường tròn tâm O giao nhau tại M. Đường thẳng vuông góc với đoạn OA tại O cắt đoạn MB tại điểm C. Chứng minh rằng đoạn CM bằng đoạn CO.
Câu 8: Cho nửa đường tròn với tâm O và MN là đường kính. Vẽ hai tiếp tuyến Mx và Ny. Điểm I nằm trên đường tròn sao cho tiếp tuyến tại I cắt Mx tại C và Ny tại D. Chứng minh rằng:
a. MC + MD = CD
c. MC x ND = OM2
Bài viết trên Mytour đã cung cấp thông tin chi tiết về cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn. Xin cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết một cách cẩn thận.
