Hướng dẫn đơn giản về công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

1. Khái niệm về đường trung tuyến trong tam giác

Trong hình học, đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến tương ứng với ba đỉnh khác nhau, tạo thành ba đoạn thẳng. Các đường trung tuyến giao nhau tại một điểm duy nhất, gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm này chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, với đoạn từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn từ trung điểm của cạnh đối diện đến trọng tâm. Trọng tâm không chỉ là điểm giao của ba đường trung tuyến mà còn là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, tạo nên sự cân đối trong hình học.

2. Công thức để tính độ dài đường trung tuyến

Để tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, ta áp dụng Định lý Apollonius. Công thức này cho phép xác định độ dài của đường trung tuyến dựa trên độ dài ba cạnh của tam giác.

Trong đó: ma: Đường trung tuyến nối đỉnh A với trung điểm của cạnh BC.

mb: Đường trung tuyến nối đỉnh B với trung điểm của cạnh AC.

mc: Đường trung tuyến nối đỉnh C với trung điểm của cạnh AB.

Công thức tính độ dài các đường trung tuyến được trình bày như sau:

Các ký hiệu a, b, và c trong công thức biểu thị độ dài của ba cạnh của tam giác. Với những công thức này, bạn có thể xác định độ dài đường trung tuyến từ bất kỳ đỉnh nào tới trung điểm của cạnh đối diện, hỗ trợ việc giải các bài toán hình học liên quan đến tam giác một cách chính xác.

3. Ví dụ minh họa

Câu 1: Chọn phát biểu sai:

A. Một tam giác có ba đường trung tuyến

B. Các đường trung tuyến của tam giác giao nhau tại một điểm duy nhất

C. Điểm giao của ba đường trung tuyến trong tam giác được gọi là trọng tâm

D. Một tam giác có hai trọng tâm

Giải đáp:

Một tam giác chỉ có một điểm trọng tâm, do đó đáp án D là sai.

Lựa chọn đáp án D.

Câu 2: Điền số phù hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng … độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó”

Giải thích:

Định lý: Vị trí của trọng tâm trong một tam giác là cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến từ đỉnh đó.

Lựa chọn đáp án A.

Câu 3: Xem hình vẽ dưới đây:

Điền số phù hợp vào chỗ trống: BG = ....BE

Giải đáp:

Chúng ta có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng giao nhau tại G, do đó G là trọng tâm của tam giác ABC.

Theo tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác, ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 4: Xét tam giác ABC với M là trung điểm của cạnh BC. G là trọng tâm của tam giác và AG = 12 cm. Tính độ dài của đoạn AM.

A. 18 cm

B. 16 cm

C. 14 cm

D. 13 cm

Giải thích:

M là trung điểm của cạnh BC, vì vậy AM là đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC.

G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó:

Vậy, AG = 18 cm.

Câu 5: Cho tam giác ΔABC cân tại đỉnh A. Gọi G là trọng tâm của tam giác và I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác. Khi đó, ta có

A. I cách đều ba đỉnh của ΔABC

B. A, I, G thẳng hàng

C. Điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ΔABC

D. Tất cả ba đáp án trên đều chính xác

Giải thích:

Điểm I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác, do đó I cách đều ba cạnh của ΔABC. Loại đáp án A

Chọn đáp án B

Câu 6: Xét tam giác ABC với hai đường phân giác CD và BE giao nhau tại điểm I. Khi đó

A. AI là trung tuyến từ đỉnh A

B. AI là đường cao vẽ từ đỉnh A

C. AI là đường trung trực của một cạnh

A. AI là phân giác góc

Giải thích:

Hai đường phân giác CD và DE giao nhau tại điểm I, và vì ba đường phân giác của tam giác cùng cắt nhau tại một điểm, do đó AI là phân giác góc của A

Chọn đáp án D

Câu 7: Hãy chọn câu trả lời chính xác nhất

A. Ba tia phân giác của một tam giác luôn hội tụ tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác

B. Điểm giao nhau của ba tia phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác

C. Trong một tam giác, đường trung tuyến từ một đỉnh đồng thời là phân giác của cạnh đối diện

D. Điểm giao nhau của ba tia phân giác trong tam giác chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Giải thích:

+ Trọng tâm là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến, vì vậy đáp án A không đúng. Loại bỏ đáp án A

+ Điểm giao nhau của ba tia phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác là chính xác.

+ Đường trung tuyến từ một đỉnh đồng thời là phân giác của cạnh đối diện chỉ đúng với tam giác cân tại đỉnh đó, nên C là sai

+ Điểm giao nhau của ba tia phân giác không phải là tâm đường tròn ngoại tiếp mà là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Chọn đáp án B

Câu 8: Cho đoạn thẳng AB nằm trong nửa mặt phẳng bờ d. Tìm điểm M trên d sao cho M cách đều hai điểm A và B.

Giải thích:

Vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB

Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

+ Nếu AB vuông góc với d, thì xy song song với d, và điểm M không thể xác định

+ Trong trường hợp AB không vuông góc với d, điểm M luôn có thể xác định và nó là duy nhất.

Câu 9: Xét tam giác ABC với AC > AB và phân giác AD. Trên AC, chọn điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Giải thích:

Kết nối các đoạn BE và ED

Xem xét tam giác ΔADB và ΔADE với các điều kiện sau:

AD là cạnh chung

AB = AE (giả thiết)

Do đó, DB = DE ⇒ D nằm trên đường trung trực của đoạn BE

Hơn nữa, AB = AE (giả thiết) ⇒ A nằm trên đường trung trực của đoạn BE

Vậy AD là đường trung trực của BE

Do đó, AD vuông góc với BE

a) Chứng minh rằng MI ⊥ NP;

b) Tính chiều dài của MI.

Hướng dẫn giải:

a) Vì MI là đường trung tuyến của tam giác MNP, nên IP = IN.

Hơn nữa, tam giác MNP là tam giác cân tại M.

Do đó, MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao, tức là MI ⊥ NP.

b) Ta có:

NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.

MN = MP = 17 cm.

Xét tam giác MIP vuông tại I.

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

Bài viết trên Mytour đã cung cấp thông tin chi tiết về công thức tính độ dài đường trung tuyến. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết.