Buzz
1. Tổng quan về các dạng bài toán liên quan đến vòi nước
Các bài toán về vòi nước thường bao gồm ba yếu tố chính:
Thể tích nước: Được đo bằng lít, mét khối, hoặc đêximet khối, tương ứng với khoảng cách s.
Lưu lượng (hay sức chảy): Được đo bằng các đơn vị như lít/phút, lít/giây, hoặc lít/giờ, tương tự như vận tốc (v).
Thời gian chảy của vòi nước: Được đo giống như thời gian t trong bài toán chuyển động.
Có ba quy tắc hoặc công thức chính:
Thể tích nước = Lưu lượng x Thời gian
Thời gian = Thể tích nước : Lưu lượng
Lưu lượng = Thể tích nước / Thời gian
Khi giải các bài toán kiểu này, cần chú ý đến sự tương quan giữa các đơn vị đo lường, chẳng hạn như 1 lít bằng 1 đêximet khối. Để dễ hiểu hơn, ta có thể thay từ 'sức chảy' bằng 'lưu lượng của vòi nước' trong các công thức, giúp ngôn ngữ trong bài toán chính xác và rõ ràng hơn.
2. Các dạng bài toán liên quan đến vòi nước
Dạng 1: Bài toán 'Vòi nước chảy vào bể' có điểm tương đồng với bài toán 'Hai chuyển động ngược chiều gặp nhau'.
Ví dụ 1: Giả sử có một bể có dung tích 2500 lít và ban đầu trống rỗng. Hai vòi nước được mở cùng lúc, với vòi đầu tiên chảy vào bể 45 lít mỗi phút, và vòi thứ hai chảy 55 lít mỗi phút. Hãy tính thời gian để bể đầy nước.
Phân tích: Nếu chúng ta coi sức chứa của bể như là quãng đường và hai vòi nước như hai động tử, cả hai vòi nước đều đổ vào bể. Do đó, chúng ta có thể hình dung chúng như hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau.
Giải:
Tổng lưu lượng nước từ hai vòi mỗi phút là 45 + 55 = 100 lít, tương tự như tổng tốc độ của hai động tử.
Thời gian cần thiết để làm đầy bể là: 2500 : 100 = 25 phút.
Đáp số: 25 phút.
Ví dụ 2: Có một bể có thể chứa 5400 lít nước, và trong khoảng thời gian từ 7 giờ đến 8 giờ 30 phút, cả hai vòi nước đều được mở. Nếu vòi đầu tiên đổ vào bể 20 lít mỗi phút, thì vòi thứ hai chảy vào bể bao nhiêu lít mỗi phút?
Phân tích: Xem thể tích bể như khoảng cách ban đầu giữa hai động tử. Thời gian hai động tử (nước từ hai vòi) gặp nhau là từ 7 giờ đến 8 giờ 30 phút, tức là 90 phút.
Giải: Tổng lưu lượng nước vào bể mỗi phút từ cả hai vòi là 5400 : 90 = 60 lít. Lưu lượng của vòi thứ hai mỗi phút là 60 − 20 = 40 lít.
Đáp số: 40 lít.
Dạng 2: Bài toán 'Vòi nước chảy vào bể' tương tự như bài toán 'Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau'.
Ví dụ 1: Giả định có một bể nước hình chữ nhật với kích thước dài 1,2m, rộng 1m, và cao 0,8m. Vào lúc 6 giờ, nước bắt đầu được chảy vào bể với lưu lượng 46 lít mỗi phút, trong khi một vòi nước khác xả ra với lưu lượng 22 lít mỗi phút. Hỏi bể sẽ đầy nước vào lúc mấy giờ?
Phân tích: Nếu chúng ta xem thể tích của bể như quãng đường, thì hai vòi nước tương tự như hai động tử di chuyển trên quãng đường đó. Bài toán này giống với bài toán hai động tử chuyển động cùng chiều, một động tử chậm lại trong khi một động tử khác tiếp tục di chuyển.
Giải: Thể tích của bể hình chữ nhật là 1.2 × 1 × 0.8 = 0.96 m³.
Lưu lượng nước chảy vào bể mỗi phút là 46 − 22 = 24 lít.
Thời gian cần để bể đầy nước là 960 : 24 = 40 phút.
Bể được đầy nước vào lúc 6 giờ 40 phút.
Kết quả là: 6 giờ 40 phút.
Ví dụ 2: Giả định có một bể nước hình hộp chữ nhật với chiều dài 2m, rộng 1.2m, và cao 1.5m. Bể hiện đang chứa 1600 lít nước. Vào lúc 7 giờ 25 phút, vòi nước được mở với tốc độ chảy vào là 15 lít mỗi phút. Vì có một lỗ hổng ở đáy bể, nên nước chỉ đầy bể sau 10 giờ 45 phút. Tính lượng nước chảy ra qua lỗ hổng mỗi phút?
Phân tích: Bài toán này là dạng hai động tử chuyển động cùng chiều và đuổi nhau. Khoảng cách giữa hai động tử chính là thể tích bể còn trống. Cần tính lưu lượng nước chảy qua lỗ hổng, tương tự như vận tốc của động tử chậm hơn.
Giải quyết:
Thể tích của bể nước hình hộp chữ nhật là 2 × 1.2 × 1.5 = 3.6 m³, tương đương với 3600 lít.
Thể tích nước còn lại trong bể là 3600 − 1600 = 2000 lít.
Thời gian để bể đầy nước là 10 giờ 45 phút trừ đi 7 giờ 25 phút, tương đương với 3 giờ 20 phút hay 200 phút.
Lượng nước chảy vào bể mỗi phút là 2000 chia 200 = 10 lít.
Lượng nước rò rỉ qua lỗ là 15 − 10 = 5 lít mỗi phút.
Kết quả: 5 lít.
Khi giải bài toán liên quan đến 'Vòi nước vào bể' với cả vòi chảy vào và chảy ra, chúng ta có thể áp dụng phương pháp phân tích giống như bài toán 'Hai động tử chuyển động cùng chiều, đuổi nhau.' Ở đây, lưu lượng nước chảy vào giống như vận tốc của động tử chạy nhanh, còn lưu lượng nước chảy ra giống như vận tốc của động tử chạy chậm. Thể tích bể còn trống được coi là khoảng cách giữa hai động tử, và thời gian để bể đầy là thời gian để hai động tử đuổi kịp nhau.
3. Một số bài tập ứng dụng liên quan đến vòi nước
Bài 1: Có 4 vòi nước được mở vào một bể bơi rỗng. Nếu chỉ mở vòi I, II và III, bể đầy trong 10 giờ. Nếu mở vòi II, III và IV, bể đầy trong 12 giờ. Nếu chỉ mở vòi I và IV, bể đầy trong 15 giờ. Vậy, nếu mở tất cả 4 vòi, bể sẽ đầy sau bao lâu?
Hướng dẫn giải:
(1) Trong 1 giờ, vòi I, II và III cùng chảy được phần bể là: 1 : 11 = 1/10 (bể).
(2) Trong 1 giờ, vòi II, III và IV chảy được phần bể là: 1 : 13 = 1/12 (bể).
(3) Trong 1 giờ, vòi I và IV chảy được phần bể là: 1 : 15 = 1/15 (bể).
Chúng ta thấy rằng tổng của (1), (2) và (3) cho thấy các vòi I, II, III và IV đều được tính hai lần.
Do đó, trong 1 giờ, nếu mở cả 4 vòi, chúng chảy được: (1/10 + 1/12 + 1/15) : 2 = 1/8 (bể).
Thời gian để cả 4 vòi làm đầy bể là: 1 : 1/8 = 8 (giờ).
Kết quả: 8 giờ.
Bài 2: Nếu bể trống và mở vòi thứ nhất, bể sẽ đầy sau 4 giờ. Nếu mở vòi thứ hai, bể sẽ đầy sau 5 giờ. Khi bể rỗng, nếu mở vòi thứ nhất trong 2 giờ rồi tiếp tục mở vòi thứ hai cùng lúc, thì hai vòi cần chảy thêm bao lâu nữa để bể đầy?
Hướng dẫn giải:
Vòi thứ nhất trong 1 giờ cung cấp 1/4 bể nước.
Vòi đầu tiên chảy trong 2 giờ, tương đương với 1/4 nhân 2 bằng 2/4, tức là 1/2 bể.
Phần bể còn thiếu là: 1 trừ 1/2 bằng 1/2 bể.
Vòi thứ hai có thể làm đầy 1/5 bể trong 1 giờ.
Cả hai vòi cùng chảy được: 1/4 cộng 1/5 bằng 9/20 bể trong 1 giờ.
Thời gian để cả hai vòi làm đầy 1/2 bể còn lại là: 1/2 chia cho 9/20, tức là 10/9 giờ.
Kết quả: 10/9 giờ
Bài 3: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể rỗng thì sau 7 giờ 12 phút bể sẽ đầy. Nếu chỉ mở vòi đầu tiên trong 4 giờ rồi mở vòi thứ hai trong 8 giờ nữa thì bể cũng sẽ đầy. Hãy tính thời gian cần thiết để vòi thứ hai làm đầy bể nếu bể bắt đầu từ trạng thái rỗng.
Hướng dẫn giải quyết:
7 giờ 12 phút tương đương với 7,2 giờ.
Nếu cả hai vòi cùng hoạt động trong 4 giờ, chúng đã làm đầy được: 4 chia cho 7,2 bằng 5/9 bể.
Phần nước cần để làm đầy bể là: 1 trừ 5/9 bằng 4/9 bể.
Thời gian cần để vòi thứ hai làm đầy 4/9 bể là: 8 giờ trừ 4 giờ bằng 4 giờ.
Thời gian để vòi thứ hai làm đầy toàn bộ bể là: 4 chia 4/9 bằng 9 giờ.
Kết quả là: 9 giờ
