Hướng dẫn giải phương trình trùng phương một cách dễ dàng và rõ ràng

Buzz

Nội dung bài viết

1. Kiến thức cơ bản về phương trình trùng phương

2. Phương pháp giải phương trình trùng phương

3. Bài tập thực hành

Xem thêm

Các bài tập về phương trình trùng phương thường gặp trong học tập. Cùng Mytour tìm hiểu chi tiết cách giải phương trình trùng phương để ôn tập hiệu quả và nắm vững kiến thức.

1. Kiến thức cơ bản về phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là một loại phương trình bậc bốn với các hệ số đứng trước x² và x bằng 0. Theo định nghĩa, đây là phương trình có dạng:

ax⁴ + bx² + c = 0 với a khác 0.

2. Phương pháp giải phương trình trùng phương

Hướng dẫn giải phương trình trùng phương:⁴²

Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn t

Bước 3: Giải phương trình x² = t để tìm nghiệm

Bước 4: Đưa ra kết luận

Xem xét số lượng nghiệm của phương trình trùng phương

- Nếu phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) sẽ có hai nghiệm dương phân biệt

- Nếu phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) sẽ có một nghiệm dương và một nghiệm t = 0

- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) sẽ có hai nghiệm trái dấu hoặc một nghiệm kép dương

- Nếu phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất, thì phương trình (2) sẽ có nghiệm kép x = 0 hoặc một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm

- Nếu phương trình (1) không có nghiệm, thì phương trình (2) cũng không có nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

* Số nghiệm của phương trình trùng phương có dạng

ax⁴ + bX² + c = 0

$Δ = b² - 4ac$

Khi đó:

$\left\{\begin{matrix} c=0\\ \frac{b}{a} \leq 0 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} Δ = 0\\ \frac{b}{a} < 0 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} Δ = 0\\ \frac{c}{a} < 0 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} Δ = 0\\ \frac{b}{a} < 0 \end{matrix}\right.$

3. Bài tập thực hành

Bài 1: Tìm giá trị của m để phương trình x⁴ + 2mx² + 8 = 0 có bốn nghiệm phân biệt sao cho tổng của bình phương các nghiệm bằng 32

$-2\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$

C. m = -8

D. m = 8

Giải đáp: Đáp án đúng là C

Gọi phương trình x⁴ + 2mx² + 8 = 0 là (1)

² $x \geq 0$

t² + 2mt + 8 = 0 (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Gọi x₁, x₂, x₃, x₄ là bốn nghiệm phân biệt của phương trình (1), và t₁, t₂ là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2). Ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ ₁₂₁₂

Dựa vào bài toán, chúng ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$

Do đó, m = -8

Bài 2: Điều kiện để các hệ số a và b sao cho phương trình x⁴ - 2x(a² + b²)x² + (a² - b²)² = 0 có ba nghiệm phân biệt là

Bài 3: Giải các phương trình trùng phương:

a, x⁴ - 5x² + 4 = 0

b, 2x⁴ - 3x² - 2 = 0

c, 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

Giải pháp:

a, x⁴ - 5x² + 4 = 0 (1)

Vậy phương trình (1) trở thành t² - 5t + 4 = 0 (2)

Giải phương trình (2) ta có: Với a = 1; b = -5; c = 4 => a + b + c = 0

=> Phương trình có hai nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 4

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện

+ Với t = 1 => x² = 1 => x = 1 hoặc x = -1

+ Với t = 4 => x² = 4 => x = 2 hoặc x = -2

Do đó, phương trình (1) có nghiệm S = {-2; -1; 1; 2}

b. 2x⁴ - 3x² - 2 = 0 (1)

=> Phương trình có hai nghiệm t₁ = 2; t₂ = -0,5

c, 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 (1)

₁₂

Bài 4: Số nghiệm của phương trình 3x⁴ - 2x² - 5 = 0 (1) là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

$\sqrt{\frac{5}{3}}$ $-\sqrt{\frac{5}{3}}$

Bài 5: Số nghiệm âm của phương trình 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 là

A. 0

B. 4

C. 2

D. 3

Giải thích: Chọn đáp án A

Do đó, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

t = -1/3 < 0 (Loại)

t₂ = -3 < 0 (Loại)

Vì vậy, phương trình (1) không có nghiệm âm, tức là phương trình (1) vô nghiệm

Bài 6: Số nghiệm của phương trình -15x⁴ - 26x² + 10 = 0 là

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, trong đó t₁ < 0 (loại) và t₂ > 0 (hợp lệ). Do đó, phương trình có 2 nghiệm.

Bài 7: Tìm giá trị của m để phương trình (m + 1)⁴ + 5x² - m - 1 = 0 có chính xác hai nghiệm phân biệt.

A. -1 < m < 1 và m khác 0

B. -1 < m < 1

C. -1 < m < 2

D. Không có giá trị m nào thỏa mãn

Giải: Lựa chọn đáp án D

- Trường hợp 1: Khi m = -1, phương trình (1) trở thành phương trình bậc 2 5x² = 0 ⟹ x² = 0 ⟹ x = 0.

Phương trình chỉ có một nghiệm nên m = -1 không phù hợp.

Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm trái dấu hoặc nghiệm kép dương

Tình huống phương trình (2) có nghiệm kép dương không xảy ra với mọi m.

- Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: (m + 1)(-m -1) < 0 ⟹ (m + 1)² < 0, không có m nào thỏa mãn.

Do đó, không tồn tại giá trị nào của m đáp ứng yêu cầu bài toán.

Bài 8: Xét phương trình m²x⁴ + x² - m² - 1 = 0 với m là tham số. Chọn khẳng định không đúng

A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m khác 0

B. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m khác 0

C. x = -1 và x = 1 đều là nghiệm của phương trình

D. X=2 không phải là nghiệm của phương trình

Giải thích: Chọn đáp án A. Phương trình luôn có nghiệm phân biệt với mọi m khác 0

- Trường hợp 1: m = 0, phương trình (1) trở thành phương trình bậc hai ⇔ x = 1 và x = -1

Bài 9: Các nghiệm của phương trình x⁴ + 5x² - 6 = 0 là

A. x = -2

B. x = 3

C. x = 2 hoặc x = -3

D. Phương trình không có nghiệm

Bài 10: Số nghiệm của phương trình (x +1)⁴ - 5(x + 1)² - 84 = 0 là

A. Phương trình không có nghiệm

B. Phương trình có một nghiệm

C. Phương trình có hai nghiệm

D. Phương trình có bốn nghiệm

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: t₁ = -7 (không hợp lệ), t₂ = 12 (hợp lệ)

Trên đây là bài viết của Luật Mytour giải đáp câu hỏi về cách giải bài tập phương trình trùng phương. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn đọc hiểu rõ và nắm vững kiến thức về phương trình trùng phương, cũng như áp dụng hiệu quả vào các bài tập. Xin chân thành cảm ơn!

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]