Buzz
I. Công thức tính tỉ số lượng giác cho góc nhọn
1. Với góc nhọn α, chọn một điểm bất kỳ trên một cạnh của góc và kẻ đường vuông góc đến cạnh còn lại.
Trong trường hợp đó:
+ Tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, ký hiệu là sinα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cosin của góc α, ký hiệu là cosα.
+ Tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề được gọi là tang của góc α, ký hiệu là tanα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối diện được gọi là cotang của góc α, ký hiệu là cotα.
2. Nếu hai góc bù nhau (có tổng bằng 90 độ) thì: sin của góc này bằng cos của góc kia, và tan của góc này bằng cot của góc kia
• Xác định các loại cạnh: đối, kề, huyền và viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa.
• Tính toán cạnh còn lại bằng cách sử dụng định lý Pytago hoặc các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao.
• Tính các tỉ số lượng giác còn lại dựa vào định lý các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
B. Các bài tập ứng dụng liên quan
Bài 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức dưới đây:
A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5
Hướng dẫn cách giải:
A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5
= (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5
Áp dụng các tính chất của tỉ số lượng giác, ta có:
15° + 75° = 90° nên sin15° = cos75°
30° + 60° = 90° nên sin60° = cos30°
⇒ (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5
= 0 + 0 + 5
= 5
Bài 2: Rút gọn và tính toán biểu thức dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Áp dụng tính chất của tỉ số lượng giác cho góc nhọn, ta có:
24° + 66° = 90° nên cot66° = tan24°
⇒ cot24° · cot66° = tan24° · cot24° = 1
⇒ A = 1 + 1 = 2
Bài 3: Xét tam giác ABC với góc ABC bằng 90 độ. Biết AC = 10cm, cosBAC = 1/2. Tính sinBAC và độ dài các cạnh AB và BC.
Giải chi tiết:
Vì sinBAC > 0 nên góc BAC là góc nhọn
Do đó, cosBAC = AB / AC
Vậy AB = AC · cosBAC
AB = 10 · 1/2 = 5 (cm)
+) Vì sinBAC = BC / AC
Do đó, BC = AC · sinBAC
Bài 4: Xét tam giác ABC với góc BAC bằng 90 độ. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính sinABC, cosABC, tanABC, cotABC.
Hướng dẫn giải:
Thay các giá trị AB = 6cm và AC = 8cm vào, ta có:
Áp dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
Bài 4: Xét tam giác vuông ABC với góc vuông tại C, trong đó AC = 0,9m và BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.
Giải chi tiết:
⇒ AB = 1,5
SinB = AC / AB = 0,9 / 1,5 = 0,6
cosB = BC / AB = 1,2 / 1,5 = 0,8
tanB = AC / BC = 0,9 / 1,2 = 0,75
Vì góc A và góc B là hai góc phụ nhau, nên sin của góc này bằng cos của góc kia, và tan của góc này bằng cot của góc kia:
CosA = 0,6
SinA = 0,8
CotA = 0,75
Bài 5:
Vẽ góc nhọn α, với điều kiện:
a) sin α = 2/3
Do sin α = đối/huyền nên cần thiết phải vẽ cạnh đối và cạnh huyền theo tỷ lệ 2/3.
Chúng ta xây dựng một tam giác vuông với cạnh góc vuông dài 2 cm và cạnh huyền dài 3 cm. Góc đối diện với cạnh góc vuông là góc α.
b) cos α = 0,6
cos α = 0,6 tương đương với 3/5, tức là tỉ lệ giữa cạnh kề và cạnh huyền là 3/5.
Chúng ta tạo một tam giác vuông với cạnh góc vuông dài 3 cm và cạnh huyền dài 5 cm. Góc α kề với cạnh góc vuông vừa tạo.
c) tan α = 3/4
tan α = đối/cạnh kề, do đó chúng ta cần vẽ các cạnh đối và kề với tỷ lệ 3/4.
Chúng ta xây dựng một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông dài 3 cm và 4 cm. Góc α đối diện với cạnh góc vuông dài 3 cm.
d) cot α = 3/2
cot α = kề/đối, vì vậy cần vẽ các cạnh kề và đối với tỷ lệ 3/2.
Chúng ta dựng một tam giác vuông với các cạnh góc vuông dài 3 cm và 2 cm. Góc α đối diện với cạnh góc vuông dài 2 cm.
Bài 6: Trong tam giác ABC với AB = 26 cm, AC = 25 cm và đường cao AH = 24 cm, hãy tính độ dài cạnh BC
Bài 7: Trong tam giác ABC cân (AB = AC), đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB và AC tại B và C. Từ điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C), kẻ các đường vuông góc MD, ME, MF lần lượt với các cạnh BC, CA, AB
A, Chứng minh rằng các tứ giác MDBF và MBCE nội tiếp
B, Chứng minh các tam giác DBM và ECM đồng dạng
C, Với góc BAC = 60 độ và AB = 2, hãy tính bán kính của đường tròn tâm O
Bài 8: Xem xét hình thang ABCD với đáy AB = a và CD = 2a; cạnh bên AD = a và góc A = 90 độ
a, Chứng minh rằng tang C = 1
B, Tính tỷ số giữa diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD
C, Tính tỷ số giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC
Bài 9: Trong tam giác ABC vuông tại A, với cos B = 0,8, hãy tính các tỷ số lượng giác của góc C.
Hướng dẫn giải quyết bài toán:
Nhận thấy góc B và góc C là hai góc bổ sung, do đó sin C = cos B = 0,8.
Theo định lý Pythagoras, sin² C + cos² C = 1
Vì vậy, cos² C = 1 – 0,8² = 0,36
Do đó, cos C = 0,6
tan C = sin C/cos C = 4/3
cot C = 1/tan C = 3/4
Bài 10: Xét tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Tính sin B và sin C, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư trong các trường hợp sau:
a) AB = 13 cm, BH = 0,5 dm;
b) BH = 3 cm, CH = 4 cm
Bài 11: Xét tam giác ABC vuông tại A với góc C = 30º và BC = 10 cm.
a) Tính các cạnh AB và AC
b) Vẽ từ A các đường thẳng AM và AN vuông góc với các phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh rằng MN = AB.
c) Chứng minh các tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Bài 12: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:
A, sin 78º, cos 14º, sin 47º, cos 87º
B, tg 73º, cot 25º, tan 62º, cot 38º
Hướng dẫn giải:
a) Chuyển đổi tất cả các tỉ số lượng giác về cùng một loại: cos 14º = sin 76º; cos 87º = sin 3º
Vì sin a tăng khi a từ 0º đến 90º, do đó:
sin 3º < sin 47º < sin 76º < sin 78º
b) Chuyển đổi tất cả các tỉ số lượng giác về cùng một loại: cot 25º = tan 65º; cot 38º = tan 52º
Vì tan a tăng khi a từ 0º đến 90º, nên:
Vì sin a tăng khi a từ 0º đến 90º, nên:
tan 52º < tan 62º < tan 65º < tan 73º
Bài viết từ Mytour trên đây hy vọng đã cung cấp thông tin hữu ích cho bạn, giúp bạn củng cố và nắm vững kiến thức về 'Công thức và cách tính tỷ số lượng giác của góc nhọn'. Nhờ đó, bạn có thể áp dụng và giải quyết hiệu quả các bài tập lượng giác liên quan đến góc nhọn. Cảm ơn bạn đã theo dõi!
