Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số - Bí quyết truy hồi

Buzz

Nội dung bài viết

1. Nội dung chính của tài liệu Bí quyết truy hồi

2. Phương pháp tìm công thức truy hồi

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Tài liệu Bí quyết truy hồi cung cấp công thức quan trọng cho học sinh lớp 11 và 12 để giải các bài toán truy hồi, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
- Tài liệu hướng dẫn cách tìm công thức tổng quát của dãy số, bao gồm các dạng cơ bản như dãy số không đổi, cấp số cộng, và cấp số nhân.
- Nó cũng chỉ ra phương pháp giải nhanh và đề xuất tham khảo bộ đề ôn thi để chuẩn bị tốt cho kỳ thi.

Bí quyết truy hồi là những công thức quan trọng giúp các bạn học sinh lớp 11, lớp 12 nắm vững để áp dụng trong việc giải các bài toán truy hồi và đạt kết quả chính xác.

Trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán, kiến thức về các công thức truy hồi rất quan trọng. Đối với các bài thi trắc nghiệm, việc nắm vững kiến thức và sử dụng phương pháp giải nhanh là yếu tố quyết định cho việc đạt điểm cao. Ngoài việc học các công thức truy hồi, các bạn cũng nên tham khảo bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán và các dạng câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

1. Nội dung chính của tài liệu Bí quyết truy hồi

Dạng 1: Tìm công thức tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên

Dạng 2: Dạng cơ bản: Cho dãy (un) với u1 = a và un+1 = q.un + d với mọi n ≥ 1 với q, d là các hằng số thực

Bao gồm 4 trường hợp, dạng này được gọi là dạng cơ bản vì:

+ Trong 3 trường hợp 1, 2 và 3, dãy số trở thành các loại đặc biệt như: dãy số không đổi, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đã tìm ra công thức tổng quát của chúng.

+ Dựa trên 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng cách sử dụng một dãy số mới (vn) liên kết với dãy số (un) thông qua một biểu thức nào đó để chuyển dãy số (vn) thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân.

+ Câu hỏi đặt ra là: Mối quan hệ giữa (un) và (vn) qua biểu thức nào có thể biến dãy số (vn) thành dãy số không đổi hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường hợp 4.

2. Phương pháp tìm công thức truy hồi

Dạng 1: Tìm công thức tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên

$left(u_{n} ight)$

Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?

Giải bài

Nhận xét: Với 10 số hạng đầu như vậy, việc tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Thông thường, để giải quyết vấn đề này, chúng ta thường áp dụng các phương pháp sau đây:

Đặt:

$egin{aligned} &Delta u_{k}=u_{k+1}-u_{k} \ &Delta^{2} u_{k}=Delta u_{k+1}-Delta u_{k} \ &Delta^{3} u_{k}=Delta^{2} u_{k+1}-Delta^{2} u_{k} end{aligned}$ $Delta u_{k}, Delta^{2} u_{k}, Delta^{3} u_{k} ldots$

Dạng 2: Cơ sở:

$left(u_{n} ight) biết left{egin{array}{l}u_{1}=a \ u_{n+1}=q u_{n}+d, quad n geq 1end{array} ight.$

Với q,d là các hằng số thực.

GIẢI:

$q=0 Rightarrowleft{egin{array}{l}u_{1}=a \ u_{n+1}=d, n geq 1end{array} ight. Rightarrow u_{1}=a, u_{n}=d, orall n in mathbb{N}^{*}, n geq 2$

$Dãy số được xác định bởi left(unright)\left(u_{n}\right)left(unright)$ $với u1=au_{1} = au1=a$ $Ta có công thức tổng quát un=a+(n−1)du_{n} = a + (n - 1) dun=a+(n−1)d$

$Dãy số được biểu diễn bởi left(unright)\left(u_{n}\right)left(unright)$ $với u1=au_{1} = au1=a$ $Ta có công thức tổng quát un=acdotqn−1u_{n} = a \cdot q^{n-1}un=acdotqn−1$ $Khi qneq0q \neq 0qneq0, qneq1q \neq 1qneq1, và dneq0d \neq 0dneq0$ $Dãy số left(vnright)\left(v_{n}\right)left(vnright) được xác định sao cho un=vn+fracd1−q(1)u_{n} = v_{n} + \frac{d}{1-q}(1)un=vn+fracd1−q(1)$

Bỏ ct(1) vào phương trình tái phát, ta có:

$\begin{aligned} &v_{n+1}+\frac{d}{1-q}=q\left(v_{n}+\frac{d}{1-q}\right)+d \\ &\Rightarrow v_{n+1}=q v_{n}, n \geq 1 \end{aligned}$ $\Rightarrow\left(v_{n}\right)$ $v_{1}=u_{1}-\frac{d}{1-q}=a-\frac{d}{1-q}$ Ví dụ 2.1 $\left(u_{n}\right)$ $1) \left\{\begin{array}{l}u_{1}=-1 \\ u_{n+1}=u_{n}+3, n \geq 1\end{array}\right. 2) \left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=2 u_{n}+3, n \geq 1\end{array}\right. \left(\right. Giải: \left.u_{n}=3 n-4\right)$ $u_{n}=4.2^{n-1}-3$

Giải:

$1) \left\{\begin{array}{l}u_{1}=-1 \\ u_{n+1}=u_{n}+3, n \geq 1\end{array}\right.$ $u_{n+1}=u_{n}+3, n \geq 1$ $\Rightarrow\left(u_{n}\right)$ $u_{1}=-1$ $\Rightarrow u_{n}=u_{1}+(n-1) d=-1+3(n-1)=3 n-4$ $2) \left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=2 u_{n}+3, n \geq 1\end{array}\right.$

Nhận xét: Dãy này có cấu trúc 1 với q=1, d=3

$\left(v_{n}\right)$ $u_{n}=v_{n}+\frac{d}{1-q}=v_{n}-3 (1)$

Thay (1) vào công thức tái phát ta có

$v_{n+1}-3=2\left(v_{n}-3\right)+3 \Rightarrow v_{n+1}=2 v_{n}$ $\Rightarrow\left(v_{n}\right)$ $v_{1}=u_{1}+3=1+3=4$ $\Rightarrow v_{n}=4.2^{n-1}=2^{n+1}$ $\Rightarrow u_{n}=v_{n}-3=2^{n+1}-3$ $\left\{\begin{array}{l}u_{1}=-1 \\ u_{n+1}=u_{n}+3, n \geq 1\end{array}\right.$

Còn các phương pháp khác như sau:

Phương pháp 2:

Chúng ta có:

$\begin{aligned} &u_{1}=-1 \\ &u_{2}=u_{1}+3 \\ &u_{3}=u_{2}+3 \end{aligned}$ $4. u_{n}=u_{n-1}+3$

Cộng hai vế của các phương trình trên, ta thu được:

$\begin{aligned} &u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots \ldots+u_{n}=-1+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots . .+u_{n-1}+3(n-1) \\ &\Rightarrow u_{n}=-1+3(n-1) \\ &\Rightarrow u_{n}=3 n-4 \end{aligned}$

..............

Mời bạn tải Tài liệu để biết thêm về Công thức tái phát

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Tại sao kiến thức về công thức truy hồi lại quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia?

Kiến thức về công thức truy hồi rất quan trọng trong kỳ thi THPT Quốc gia vì nó giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp một cách chính xác. Sự nắm vững các công thức này là yếu tố quyết định để đạt điểm cao, đặc biệt trong các bài thi trắc nghiệm.

Các dạng bài toán truy hồi nào thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán?

Trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán, học sinh thường gặp các dạng bài toán truy hồi như tìm công thức tổng quát của dãy số, cũng như các trường hợp đặc biệt như cấp số cộng và cấp số nhân. Nắm rõ các dạng này giúp học sinh có thể áp dụng đúng công thức trong bài thi.

Làm thế nào để tìm công thức tổng quát của dãy số trong bài toán truy hồi?

Để tìm công thức tổng quát của dãy số trong bài toán truy hồi, bạn cần xác định các số hạng đầu tiên và áp dụng các phương pháp như thiết lập mối quan hệ giữa các số hạng. Việc sử dụng biểu thức liên kết giữa các dãy số cũng là một kỹ thuật hiệu quả.

Có phương pháp nào giúp giải nhanh bài toán truy hồi không?

Có nhiều phương pháp giúp giải nhanh bài toán truy hồi, bao gồm việc sử dụng các công thức đã học để xác định nhanh chóng số hạng tiếp theo hoặc sử dụng các dãy số liên kết. Thực hành nhiều bài tập cũng giúp cải thiện tốc độ giải quyết vấn đề.