Hướng dẫn tìm tập nghiệm của bất phương trình

Buzz

Nội dung bài viết

1. Định nghĩa bất phương trình

2. Tập nghiệm S của bất phương trình

3. Lưu ý khi giải bất phương trình

4. Bài tập về tập nghiệm của bất phương trình

5. Bài tập thực hành về tập nghiệm của bất phương trình

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Hướng dẫn tìm tập nghiệm của bất phương trình là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, nhằm giúp học sinh nắm vững cách giải các dạng bài tập phức tạp.
- Bài viết tập trung vào lý thuyết và các ví dụ minh họa về cách tìm tập nghiệm của bất phương trình, từ đó củng cố kiến thức và giúp học sinh ôn tập hiệu quả.
- Các loại bất phương trình và cách giải được đề cập chi tiết, từ bất phương trình bậc nhất đến bậc hai, mũ và logarit.

Hướng dẫn tìm tập nghiệm của bất phương trình là một dạng bài tập phức tạp trong chương trình Toán lớp 10 mà nhiều học sinh chưa biết cách giải.

Vì vậy, trong bài viết này, Mytour chia sẻ toàn bộ lý thuyết và một số bài tập minh họa về cách tìm tập nghiệm bất phương trình. Mong rằng tài liệu này sẽ giúp bạn có thêm nguồn ôn tập, củng cố kiến thức và nhanh chóng nắm được cách giải các bài toán tập nghiệm bất phương trình. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm một số tài liệu như: tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 10, tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm, Các dạng bài tập về mệnh đề và tập hợp, tập nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn tìm tập nghiệm của bất phương trình

1. Khái niệm bất phương trình
2. Tập nghiệm của bất phương trình
3. Những lưu ý khi giải bất phương trình
4. Bài tập hướng dẫn tìm tập nghiệm
5. Bài tập tự luyện tìm tập nghiệm

1. Định nghĩa bất phương trình

- Không giống như phương trình, bất phương trình có hai vế không bằng nhau, có thể là lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Nghiệm của bất phương trình là một tập hợp các giá trị thỏa mãn điều kiện của bất phương trình.

- Có nhiều dạng bất phương trình như: bất phương trình bậc nhất, bậc hai, vô tỷ, chứa căn, logarit. Mỗi dạng bài có cách giải bất phương trình khác nhau tùy theo đặc điểm của nó.

2. Tập nghiệm S của bất phương trình

Đầu tiên, chúng ta xem xét định nghĩa bất phương trình một ẩn.

- Bất phương trình một ẩn là mệnh đề chứa biến x, so sánh giữa hai hàm số f(x) và g(x) trên tập số thực với các dạng so sánh như sau

f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x)

- Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) gọi là tập xác định của bất phương trình.

- Nếu với giá trị x = a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a là nghiệm đúng của bất phương trình f(x) > 0.

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình gọi là tập nghiệm hoặc lời giải của bất phương trình, đôi khi gọi là miền đúng của bất phương trình. Nhiều tài liệu cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Minh họa

Các loại bất phương trình:

- Bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.

- Bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa căn bậc hai.

- Bất phương trình mũ là dạng bất phương trình có chứa hàm số mũ (biến số nằm trong lũy thừa).

- Bất phương trình logarit là dạng bất phương trình có chứa hàm số logarit (biến số nằm trong dấu logarit).

3. Lưu ý khi giải bất phương trình

- Lưu ý khi giải bất phương trình bậc nhất một ẩn:

Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b > 0 là dạng tổng quát trong việc hướng dẫn học sinh giải toán. Trước tiên, học sinh cần tìm nghiệm của bất phương trình, rồi biểu diễn trên trục số và xác định tập nghiệm. Bất phương trình bậc nhất một ẩn thường dễ giải, người dạy cần đưa ra bài tập có mẹo và bài toán vô nghiệm để khuyến khích tư duy sáng tạo trong toán học của học sinh. Đừng quên xem xét điều kiện của bài toán trước khi giải nhé.

- Chú ý khi giải bất phương trình dạng tích

Dạng bất phương trình này khá phức tạp, đầu tiên cần sử dụng các phép biến đổi để đưa về dạng bất phương trình tích. Tìm nghiệm của từng phương trình bậc nhất trong tích, sau đó xét dấu thông qua bảng biến thiên. Xác định nghiệm tùy theo dấu của bất phương trình, nếu bất phương trình là < 0 thì chọn giá trị x ở những khoảng f(x) âm, và ngược lại. Học sinh cần nắm vững kiến thức về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn và sử dụng tốt kiến thức bổ trợ để giải bài tập này.

4. Bài tập về tập nghiệm của bất phương trình

Bài tập số 1:

Hướng dẫn giải bài tập

${x^2} - 5x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {6; + \infty} \right)$ $\begin{matrix} \sqrt{{x^2} - 5x - 6} + 2{x^2} > 10x + 15 \ \Rightarrow \sqrt{{x^2} - 5x - 6} > -2{x^2} + 10x + 15 \ \Rightarrow \sqrt{{x^2} - 5x - 6} > -2\left({x^2} - 5x - 6\right) + 3 \hfill \left(*) \ \end{matrix}$ $\sqrt{{x^2} - 5x - 6} = t;\left( {t \geq 0} \right)$ $\begin{matrix} \left(*) \Rightarrow t > -2{t^2} + 3 \ \Rightarrow 2{t^2} + t - 3 > 0 \ \Rightarrow t \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty} \right) \ \end{matrix}$ $\Rightarrow t \in \left[ {1; + \vô cùng } \right)$ $\begin{matrix} \Rightarrow \sqrt{{x^2} - 5x - 6} \geq 1 \Rightarrow {x^2} - 5x - 6 \geq 1 \\ \Rightarrow x \in \left( { - vô cùng ;\dfrac{{5 - \sqrt{53}}}{2}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5 + \sqrt{53}}}{2}; + vô cùng} \right) \\ \end{matrix}$ $x \in \left( { - vô cùng ;\dfrac{{5 - \sqrt{53}}}{2}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5 + \sqrt{53}}}{2}; + vô cùng} \right)$ Bài tập số 2: $\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} \leq 0$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x^2 – 6x + 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2, x ≠ 4

$\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 4)(x - 2)}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x - 4}} \leqslant 0$

Lập bảng xét dấu để giải quyết bài toán:

Từ bảng xét dấu, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ [ -2 ; 4)

Bài tập 3: Giải bất phương trình: (x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x – 3) ≥ 5 (*)

Hướng dẫn giải

Đặt x^2 + 3x – 3 = t ⟹ x^2 + 3x + 1 = t + 4

Bất phương trình (*) tương đương với t(t + 4) ≥ 5

⟺ t^2 + 4t - 5 ≥ 0

⟺ t ∈ (-∞; -5] ∪ [1; +∞)

$\begin{matrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} {{x^2} + 3x - 3 leq -5} \\ {{x^2} + 3x - 3 geq 1} \\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} {{x^2} + 3x + 2 leq 0} \\ {{x^2} + 3x - 4 geq 0} \\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x in [-2; -1] \\ x in (-∞; -4] cup [1; +∞) \\ \end{bmatrix} \end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (-∞; -4] ∪ [1; +∞)

5. Bài tập thực hành về tập nghiệm của bất phương trình

Câu 1: Xác định tập nghiệm S của bất phương trình x^2 - 4 > 0

A. S = (-2 ; 2).	B. S = (-∞ ; -2) ∪ (2; +∞)
C. S = (-∞ ; -2] ∪ [2; +∞)	D. S = (-∞ ; 0) ∪ (4; +∞)

Câu 2: Xác định tập nghiệm S của bất phương trình x^2 - 4x + 4 > 0.

A. S = R	B. S = R\{2}
C. S = (2; ∞)	D. S =R\{-2}

Câu 3: Tập nghiệm S = (-4; 5) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. (x + 4)(x + 5) < 0	B. (x + 4)(5x - 25) ≥ 0
C. (x + 4)(x + 25) < 0	D. (x - 4)(x - 5) < 0

Câu 4: Cho hàm f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0), với Δ = b^2 - 4ac. Chọn phát biểu đúng trong số các phát biểu sau?

$Phạm vi nghiệm: \mathbb{R}$

$Tập hợp các số thực: \mathbb{R}$

Câu 5: Xác định tập nghiệm của bất phương trình: -x^2 + 2017x + 2018 > 0

A. S = [-1 ; 2018]	B. S = (-∞ ; -1) ∪ (2018; +∞)
C. S = (-∞ ; -1] ∪ [2018; +∞)	D. S = (-1 ; 2018)

Câu 6: Giải bất phương trình sau đây:

${x^2} - x - 6 \leqslant 0$ $-3{x^2} + x + 4 \geqslant 0$ $\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \geqslant 0$

Câu 7: Xác định tập nghiệm của các bất phương trình sau đây:

$\frac{1}{{{x^2} - 4}} < \frac{3}{{3{x^2} + x - 4}}$

$Tìm tập nghiệm của bất phương trình: x + \frac{9}{{x + 2}} \geqslant 4$

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình 5x - 1 ≥ \frac{5x}{2} + 3 là:

Câu 9: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau $\frac{3x+5}2 - 1 \leq \frac{x+2}3 + x$

A. Đáp án 4

B. Đáp án 5

C. Đáp án 9

D. Đáp án 10

Câu 10: Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x(2 - x) ≥ x(7 - x) - 6(x - 1) trong khoảng (-10;10)

A. Đáp án 5

B. Đáp án 6

C. Đáp án 21

D. Đáp án 40

Câu 11: Bất phương trình (m-1)x > 3 vô nghiệm khi nào?

A. m khác 1

B. m nhỏ hơn 1

C. m = 1

D. m > 1

Câu 12. Trên đường thẳng d1 có 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với d1 có n điểm phân biệt. Tổng cộng 175 tam giác được tạo ra từ n + 5 điểm này. Tìm giá trị của n.

A. Giá trị của n là 10

B. Giá trị của n là 7

C. 8

D. 9

Câu 13: Xét bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x - 2y + 6 > 0.

a) Xem xét điểm (0;0) có phải là nghiệm của bất phương trình trên không?

b) Cho ba cặp số (x;y) thỏa mãn bất phương trình trên.

Các câu hỏi thường gặp

Bất phương trình là gì và có đặc điểm gì nổi bật?

Bất phương trình là một mệnh đề có hai vế không bằng nhau, thể hiện sự so sánh như lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Nó có nhiều dạng như bậc nhất, bậc hai, và các loại vô tỷ, chứa căn hay logarit.

Tập nghiệm của bất phương trình được xác định như thế nào?

Tập nghiệm của bất phương trình được xác định bằng cách tìm tất cả các giá trị thỏa mãn điều kiện của bất phương trình. Đây là tập hợp các nghiệm đúng của bất phương trình đó, thể hiện miền đúng của bài toán.

Khi nào bất phương trình được gọi là vô nghiệm?

Bất phương trình được gọi là vô nghiệm khi không tồn tại bất kỳ giá trị nào của biến khiến điều kiện bất phương trình trở thành đúng. Ví dụ, bất phương trình có thể có điều kiện mâu thuẫn.

Có những dạng bất phương trình nào và cách giải của chúng ra sao?

Có nhiều dạng bất phương trình như bậc nhất, bậc hai, và các dạng chứa căn, logarit. Mỗi dạng có cách giải riêng, thường dựa vào việc xác định dấu của các hàm số và sử dụng bảng biến thiên.

Những lưu ý quan trọng khi giải bất phương trình là gì?

Khi giải bất phương trình, cần chú ý đến các điều kiện xác định của bài toán, biểu diễn nghiệm trên trục số, và xem xét các trường hợp đặc biệt để tìm nghiệm đúng. Việc giải các dạng bài tập có mẹo cũng rất cần thiết.

Nội dung từ Mytour nhằm chăm sóc khách hàng và khuyến khích du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không áp dụng cho mục đích khác.

Nếu bài viết sai sót hoặc không phù hợp, vui lòng liên hệ qua email: [email protected]