Khái niệm cơ bản về đại số tuyến tính

Cơ sở của không gian vectơ là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính và sinh ra toàn bộ không gian đó. Đây là một yếu tố cốt lõi trong đại số tuyến tính. Ví dụ, trong không gian vectơ $R^2$, nó thường được thể hiện qua các vectơ hình học trên mặt phẳng. Một cơ sở tiêu biểu là tập hợp hai vectơ đơn vị dọc theo hai trục tọa độ: i=(1,0) và j=(0,1). Mọi vectơ trong $R^2$ đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này. Trong không gian $R^2$, có nhiều cơ sở khác nhau, không chỉ một. Tổng quát cho bất kỳ không gian vectơ nào, ta có:

Định nghĩa

Một tập hợp B gồm các vectơ b₁,...,b_n trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như

1. B là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính
2. B tạo ra toàn bộ không gian V, tức là span(B) = V

Trong trường hợp này (với n hữu hạn), số n được gọi là kích thước của không gian vectơ V.

Khái niệm cơ sở cũng có thể áp dụng cho tập hợp vô hạn các vectơ $B=\{b_i|i\in <!--\; \in \; -->I\}$, với tập chỉ số I là tập vô hạn. Khi đó, không gian V được gọi là không gian vô hạn chiều.

Trong không gian $R^n$, số lượng vectơ trong cơ sở chính là số chiều của không gian, tức là n.

Đặc điểm

1. Hai cơ sở khác nhau của cùng một không gian V hữu hạn chiều luôn có số phần tử giống nhau.
2. Mỗi vectơ v trong B có thể được diễn tả duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong cơ sở B.
3. Hai không gian hữu hạn chiều được gọi là đẳng cấu nếu và chỉ nếu chúng có cùng số chiều và mọi biến đổi tuyến tính đẳng cấu biến đổi một cơ sở thành một cơ sở khác.

Toạ độ trong cơ sở và cách chuyển đổi cơ sở

Các hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B. Ví dụ

nếu v = $k_1.b_1+k_2.b_2+...+k_n.b_n$

thì $(k_1,k_2,...,k_n)$ là toạ độ của v trong cơ sở B.

Xét hai cơ sở B={b₁,b₂,...,b_n} và B' ={b' ₁,b' ₂,...,b' _n}. Giả sử vectơ v có toạ độ trong cơ sở B và B' lần lượt là $(k_1,k_2,...,k_n)$ và $(k_1^{\prime },k_2^{\prime },...,\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>k_n^{\prime })$. Đồng thời, các vectơ trong B được biểu diễn qua các vectơ trong B' như sau

.

Khi đó, v = $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{k}_i.b_i$ = $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{k}_i.\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_{i,j}.b_j^{\prime }\right)$ = $\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_{i,j}.k_i\right).b_j^{\prime }$.

Như vậy,

$k_j^{\prime }=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_{i,j}.k_i$

được gọi là công thức chuyển cơ sở.

Cơ sở cơ bản

Trong không gian $R^n$, chúng ta có một hệ gồm n vectơ đơn vị:

tạo thành một cơ sở được gọi là cơ sở chính tắc của $R^n$.

Ví dụ:

{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} là một cơ sở chính tắc của không gian vectơ $R^3$.

• Khái niệm độc lập tuyến tính
• Hệ số tuyến tính
• Không gian vectơ
• Chuyển đổi cơ sở

• Nguyễn Hữu Việt Hưng, 1999, Đại số tuyến tính