Buzz
1. Khái niệm về đường trung tuyến
Trong tam giác, đường trung tuyến là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba đường trung tuyến khác nhau.
Với tam giác cân và tam giác đều, mỗi đường trung tuyến chia đôi góc ở đỉnh, làm cho hai cạnh kề có độ dài bằng nhau.
2. Đặc điểm của đường trung tuyến
- Ba đường trung tuyến của tam giác giao nhau tại một điểm duy nhất, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.
Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng 2/3 chiều dài của đường trung tuyến nối từ đỉnh đó.
- Tam giác vuông, với một góc 90°, có hai cạnh tạo thành góc vuông, khiến cho đường trung tuyến của nó mang những đặc điểm riêng biệt của tam giác vuông.
Trong tam giác bất kỳ, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa chiều dài của cạnh huyền đó.
- Mỗi đường trung tuyến trong tam giác phân chia diện tích tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba đường trung tuyến sẽ chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
- Đặc điểm của đường trung tuyến trong tam giác cân
Đường trung tuyến từ đỉnh đến cạnh đáy trong tam giác cân luôn vuông góc với cạnh đáy, đồng thời chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng có diện tích bằng nhau.
- Đặc điểm của đường trung tuyến trong tam giác đều
Ba đường trung tuyến của tam giác đều phân chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ có diện tích tương đương.
Trong tam giác đều, bất kỳ đường thẳng nào đi qua một đỉnh và trọng tâm của tam giác đều sẽ chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
3. Định lý về đường trung tuyến trong tam giác
Định lý 1: Ba đường trung tuyến của tam giác đều cắt nhau tại một điểm duy nhất, điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.
Định lý 2: Đường trung tuyến trong tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau, và khi ba đường trung tuyến cắt nhau sẽ tạo thành sáu tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
Định lý 3: Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 chiều dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
4. Công thức để tính độ dài đường trung tuyến
Độ dài của đường trung tuyến trong một tam giác có thể được xác định dựa trên độ dài của các cạnh và được tính theo định lý Apollonius.
Trong đó:
- a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác
- ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến của tam giác
5. Bài tập ứng dụng
Câu 1: Xét tam giác ABC cân với AB = AC = 10 cm và BC = 12 cm. M là trung điểm của BC. Hãy tính độ dài của đường trung tuyến AM:
A. 22 cm
B. 2 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
Câu 2: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9 cm và trọng tâm G. Đoạn AG có độ dài là:
A. 4,5 cm
B. 3 cm
C. 6 cm
D. 4 cm
Câu 3: Trong tam giác ABC với hai đường trung tuyến BM và CN, nếu BM = CN thì tam giác ABC thuộc loại nào?
A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Câu 4: Hai đường thẳng xx' và yy' giao nhau tại điểm O. Trên tia Ox, chọn hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, với AB = 2 OA. Trên yy', chọn hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L và M, gọi P là trung điểm của đoạn MB, Q là trung điểm của đoạn LB. Chứng minh rằng các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A.
Câu 5: Trong tam giác ABC với hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Kéo dài BM để có đoạn ME = MG. Kéo dài CN để có đoạn NF = NG. Chứng minh rằng:
a. EF = BC
b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm của đoạn BC.
Câu 6: Xét tam giác cân ABC với AB = AC = 17 cm và BC = 16 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
a. Tính độ dài AM
b. Chứng minh rằng AM vuông góc với BC
Câu 7: Trong tam giác đều ABC, G là trọng tâm. Chứng minh rằng các đoạn GA, GB, GC đều có độ dài bằng nhau.
Câu 8: Xét tam giác ABC. Trên cạnh đối diện của cạnh AB, lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC, lấy điểm E sao cho AE = 1/3 AC. Đoạn BE cắt CD tại M. Chứng minh rằng:
a. Đoạn AM = 1/2 đoạn BC
b. Điểm M là trung điểm của đoạn CD
Câu 9: Trong tam giác DÈ cân tại D, với đường trung tuyến DI
a. Chứng minh rằng tam giác DEI bằng tam giác DFI
b. Các góc DIE và DIF thuộc loại góc nào?
c. DE = DF = 13 cm và EF = 10 cm. Tính độ dài DI
Câu 10: Xét tam giác ABC vuông tại A với đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA, chọn điểm D sao cho MD = MA
a. Xác định số đo của góc ABD
b. Chứng minh rằng góc ABC bằng góc BAD
c. So sánh độ dài của AM và BC
Câu 11: Trong tam giác nhọn ABC với AB < AC, có đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA, chọn điểm D sao cho MD = MA.
a. Chứng minh rằng tam giác AMB bằng tam giác DMC và AB // CD
b. Gọi F là trung điểm của CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn KF
c. Gọi E là trung điểm của AC, BE cắt AM tại điểm G, và I là trung điểm của AF. Chứng minh rằng ba điểm K, G, I thẳng hàng
Câu 12: Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến BD và CE có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại điểm G.
a. Tam giác BGC thuộc loại tam giác nào?
b. So sánh hai tam giác BCD và CBE
c. Tam giác ABC thuộc loại tam giác nào?
Câu 13: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, chọn hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.
a. Chứng minh rằng B, G, E thẳng hàng và so sánh độ dài của BE và GE
b. Khi CI cắt GE tại O, O thuộc loại điểm nào của tam giác ABC? Chứng minh rằng BE = 9 OE
Câu 14: Trong tam giác vuông ABC tại A với AB = 8 cm và BC = 10 cm, chọn điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm. Chọn điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn DC.
a. Tính độ dài đoạn AD
b. Điểm M thuộc loại điểm gì trong tam giác BCD?
c. Gọi E là trung điểm của BC, chứng minh rằng các điểm D, M, E nằm trên cùng một đường thẳng
Câu 15: Trong tam giác vuông ABC tại A với đường trung tuyến AM, chọn điểm D trên tia đối của MA sao cho MD = MA
a. Xác định số đo của góc ABD
b. Chứng minh rằng góc ABC bằng góc BAD
c. So sánh độ dài AM với BC
Câu 16: Xét tam giác nhọn ABC với AB < AC, có đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA, chọn điểm D sao cho MD = MA
a. Chứng minh rằng tam giác AMB đồng dạng với tam giác DMC và AB song song với CD
b. Gọi F là trung điểm của CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn KF
c. Gọi E là trung điểm của AC, BE cắt AM tại G, và I là trung điểm của AF. Chứng minh rằng ba điểm K, G và I nằm trên cùng một đường thẳng
Câu 17: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, chọn hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.
a. Chứng minh rằng các điểm B, G và E thẳng hàng và so sánh độ dài của BE và GE
b. Tia CI cắt GE tại điểm O. Xác định O là điểm gì trong tam giác ABC và chứng minh BE bằng 9 lần OE
Câu 18: Trong tam giác vuông ABC tại A với AB = 8 cm và BC = 10 cm, chọn điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm, và điểm D sao cho A là trung điểm của DC.
a. Tính độ dài của AD
b. Xác định điểm M trong tam giác BCD
c. Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng D, M và E nằm trên cùng một đường thẳng
Trên đây là bài viết của Mytour giải thích về đường trung tuyến, bao gồm tính chất và công thức tính toán. Hy vọng thông tin này sẽ hữu ích cho bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
