Khái niệm hệ số góc là gì? Phương pháp tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án

1. Giới thiệu về hệ số góc

Giả sử điểm A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục hoành Ox và điểm M nằm trên đường thẳng này với tung độ dương. Khi đó, ∠MAx là góc giữa đường thẳng y = ax + b và trục hoành Ox.

1. Trong trường hợp α < 90°:

- Góc α nhỏ hơn 90 độ, nghĩa là thuộc về góc nhọn.

- Hệ số a là một số dương (a > 0).

- Hệ số a chính là tanα, tức là a = tanα.

2. Khi α > 90°:

- Góc α lớn hơn 90 độ, tức là thuộc góc tù.

- Hệ số a là một số âm (a < 0).

- Hệ số a được xác định bởi - tan(180° - α), tức là a = - tan(180° - α).

3. Góc nhọn và góc tù:

Khi a > 0, góc α là góc nhọn và luôn nhỏ hơn 90 độ (0 < α < 90°).

Khi a < 0, góc α là góc tù và nằm trong khoảng từ 90° đến 180° (90° < α < 180°).

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0).

Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để xác định số đo của ∠MAx.

Tìm số đo của góc (180° - ∠MAx), sau đó tính toán ∠MAx.

+ Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) sẽ tạo với trục Ox các góc giống nhau.

+ Khi b = 0, hàm số trở thành y = ax. Trong trường hợp này, a chính là hệ số góc của đường thẳng y = ax.

2. Phương pháp tính hệ số góc

Hệ số góc của đường thẳng đo lường góc giữa đường thẳng và trục hoành. Để tính hệ số góc, cần biết hai điểm trên đường thẳng.

Dưới đây là cách tính hệ số góc của đường thẳng:

Bước 1: Xác định hai điểm trên đường thẳng: Gọi tọa độ của hai điểm này lần lượt là (x1, y1) và (x2, y2).

Bước 2: Tính sự chênh lệch tọa độ theo trục hoành và trục tung: Δy = y2 - y1 và Δx = x2 - x1.

Bước 3: Tính hệ số góc của đường thẳng bằng cách chia Δy cho Δx: a = Δy/Δx.

Sau khi thực hiện các bước trên, bạn sẽ có hệ số góc của đường thẳng, có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hoặc phân số. Hệ số góc cho biết độ dốc của đường thẳng; nếu là dương, đường thẳng nghiêng lên, còn nếu âm, đường thẳng nghiêng xuống.

3. Các loại bài tập

Phương pháp giải:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b (với a ≠ 0).

Dựa vào lý thuyết về hệ số góc, ta có thể xác định giá trị của a. Sau đó, sử dụng các dữ liệu khác từ đề bài để tìm b.

4. Các bài tập ví dụ kèm đáp án

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Xác định a và b biết rằng (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Giải đáp:

Do đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ nên b = 0.

Vì (d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1.

Do đó, ta có a = 1 và b = 0.

Câu 2. Cho hàm số y = x + 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox (làm tròn đến phút).

Giải pháp:

Vẽ đồ thị của hàm số y = x + 2.

Khi x = 0, y = 2, ta có điểm A (0; 2).

Khi y = 0, x = -2, ta có điểm B (-2; 0).

Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(0; 2) và B(-2; 0).

Số đo góc α là α = 45°

Câu 3: Viết phương trình đường thẳng d biết rằng d đi qua điểm B (−1; 1) và tạo góc 45° với trục Ox.

A. y = x – 2

B. y = x + 2

C. y = −x – 2

D. y = x + 1

Đáp án: B

Giải thích:

Xét phương trình đường thẳng d:

y = ax + b (với a ≠ 0)

Do góc giữa đường thẳng d và trục Ox là 45° nên

a = tan45° = 1 → y = x + b

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d, ta có

−1 + b = 1 → b = 2

Vậy phương trình d là: y = x + 2

Câu 4: Xác định phương trình đường thẳng d biết rằng d tạo với đường thẳng y = 2 (theo chiều dương) một góc 135° và cắt trục tung tại điểm có tung độ 4.

A. y = x – 4

B. y = −x – 4

C. y = x + 4

D. y = −x + 4

Đáp án: D

Giải thích: Xét phương trình đường thẳng d: y = ax + b (với a ≠ 0)

Do góc giữa đường thẳng d và đường thẳng y = 2 là 135° nên góc giữa đường thẳng d và trục Ox cũng là 135° (vì đường thẳng y = 2 song song với trục Ox), do đó

a = tan135° = −1

⇒ y = −x + b

Vì đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4, nên b = 4

Do đó, phương trình của d là: y = −x + 4

Câu 5: Cho đường thẳng d: y = mx + 3. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết d đi qua điểm A (3; 0)

A. 120°

B. 150°

C. 60°

D. 90°

Đáp án: B

Giải thích: Thay tọa độ của điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có

Đáp án B

2. Bài tập tự luận

Câu 1. Chứng minh rằng với một đường thẳng đi qua điểm A(x1; y1) và có hệ số góc a, phương trình của nó là y - y1 = a(x - x1)

Lời giải

Đường thẳng d có hệ số góc a, vì vậy phương trình của nó là (d): y = ax + b. Do (d) đi qua điểm A(x1; y1), ta có y1 = ax1 + b, suy ra b = y1 - ax1. Do đó, phương trình của d là: y = ax + (y1 - ax1) hoặc y - y1 = a(x - x1) (đpcm)

Bài 2.

a) Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A(2; 1).

b) Xác định hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm B(1; −2).

Lời giải: Đường thẳng qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b.

a) Đường thẳng y = ax đi qua điểm A(2; 1), nên điểm A thỏa mãn phương trình này.

Suy ra: 1 = a × 2 ⟹ a = 1/2.

Vậy hệ số góc của đường thẳng qua gốc tọa độ và điểm A(2; 1) là a = 1/2.

b) Đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1; −2), nên điểm B cũng thỏa mãn phương trình này.

Ta có: −2 = a × 1 ⟹ a = −2.

Do đó, hệ số góc của đường thẳng qua gốc tọa độ và điểm B(1; −2) là a = −2.

Câu 3. Tính hệ số góc của đường thẳng khi biết hai điểm thuộc đường thẳng đó.

Thông tin trên chỉ mang tính chất tham khảo.