Khái niệm hợp số và phương pháp phân tích số thành thừa số nguyên tố hiệu quả lớp 6

1. Số nguyên tố và hợp số là gì?

- Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, có duy nhất hai ước số là 1 và chính nó.

Ví dụ: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 19.....

- Hợp số là các số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước số.

Ví dụ:

• 4 có 3 ước số là 1, 2 và 4, do đó 4 là hợp số.
• 6 có 4 ước số là 1, 2, 3 và 6, vì vậy 6 là hợp số.

- Số 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng như hợp số.

- Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước số nguyên tố.

2. Những đặc điểm của số nguyên tố

- Có số lượng số nguyên tố là vô hạn.

- Nếu một số nguyên tố p chia hết cho một số nguyên tố q, thì p phải bằng q.

- Nếu tích abc chia hết cho một số nguyên tố p, thì ít nhất một trong các thừa số của tích abc phải chia hết cho số nguyên tố p.

- Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p, thì tích ab cũng không chia hết cho số nguyên tố p.

- Nếu A là một hợp số, thì A sẽ có ít nhất một ước số nguyên tố không lớn hơn căn bậc hai của A.

3. Phương pháp phân tích số ra thừa số nguyên tố

Khi phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 thành các thừa số nguyên tố, bạn sẽ viết số đó dưới dạng tích của các số nguyên tố.

* Hai phương pháp để phân tích số ra thừa số nguyên tố

- Phương pháp 1. Phân tích theo cách phân nhánh

Ví dụ:

Xác định ước số nguyên tố của 12, ví dụ như 2

Biểu diễn số 12 dưới dạng tích của 2 và một thừa số khác: 12 = 2 × 6

Tạo sơ đồ phân nhánh từ số 12 với hai thừa số 2 và 6

Tiếp tục tìm ước số nguyên tố của 6, ví dụ như 2

Biểu diễn số 6 dưới dạng tích của 2 và một thừa số khác: 6 = 2 × 3

Tiếp tục vẽ nhánh từ số 6 với hai thừa số 2 và 3

Vì các thừa số 2 và 3 đều là số nguyên tố, nên chúng ta kết thúc quá trình phân tích.

Tính tích của tất cả các thừa số ở cuối mỗi nhánh để có kết quả cuối cùng:

Các thừa số cuối cùng trong phân tích đều là số nguyên tố, từ đó số 12 đã được phân tích thành thừa số nguyên tố.

Kết quả phân tích là: 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

- Phương pháp 2. Phân tích theo cột dọc

Chia số 12 cho ước số nguyên tố 2

Chia số 6 cho ước số nguyên tố 2, ta được kết quả là 3

Chia số 3 cho ước số nguyên tố 3, ta được kết quả là 1

Vì vậy, ta có phân tích: 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

Chú ý:

• Luôn chia số cho ước số nguyên tố nhỏ nhất của nó
• Tiếp tục chia cho đến khi kết quả là 1.

Ví dụ: Phân tích số 72 thành các thừa số nguyên tố bằng phương pháp phân nhánh và phương pháp chia cột dọc

Giải pháp

Phương pháp 1: 'Phân nhánh'

Do đó, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

Phương pháp 2: 'Sử dụng cột dọc'

Do đó, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

4. Bài tập thực hành

Bài 1. Phân tích số 84 thành các thừa số nguyên tố

Hướng dẫn giải chi tiết

Xác định các ước nguyên tố của số 84, ví dụ là 2

Kết quả là:

Do đó, 84 = 2 × 2 × 3 × 7

Thông thường, người ta viết rút gọn bằng cách sử dụng lũy thừa:

84 = 2² × 3 × 7

Bài 2. Phân tích các số sau thành các thừa số nguyên tố:

45; 78; 270; 299; 60; 78; 285; 1035; 400; 1 000 000

Hướng dẫn giải chi tiết

45 được phân tích thành: 5 × 3 × 3 = 2³ × 5

78 phân tích được thành: 2 × 3 × 13

270 được phân tích thành: 2 × 3³ × 5

299 phân tích thành: 13 × 23

60 có thể viết dưới dạng tích: 2² × 3 × 5

285 phân tích được thành: 3 × 5 × 19

1035 phân tích thành: 3² × 5 × 23

400 có thể viết dưới dạng: 2⁴ × 5²

1.000.000 được phân tích thành: 2⁶ × 5⁶

Bài 3. Phân tích số 84 ra các thừa số nguyên tố và xác định tập hợp các ước số của nó

Hướng dẫn giải

84 phân tích thành: 2² × 3 × 7

Các ước số của 84 bao gồm: 1 × 84, 2 × 42, 3 × 28, 4 × 21, 6 × 14, 7 × 12

Tập hợp các ước số của 84 là: {1, 84, 2, 42, 3, 28, 4, 21, 6, 14, 7, 12}

Bài 4. Xác định xem tổng hoặc hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:

a. 3150 cộng 2125

b. 5163 cộng 2532

c. 19 × 21 × 23 cộng 21 × 25 × 27

d. 15 × 19 × 37 trừ 225

Hướng dẫn giải

a. Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5, nên đó là số hợp số

b. Hiệu lớn hơn 3 và chia hết cho 3, do đó hiệu là hợp số

c. Tổng lớn hơn 21 và chia hết cho 21, vì vậy tổng là hợp số

d. Hiệu lớn hơn 15 và chia hết cho 15, do đó hiệu là hợp số

Bài 5. Chứng minh rằng các số dưới đây là hợp số

a. 297; 39743; 987624

b. Số 111...1 có 2001 chữ số 1 hoặc 2007 chữ số 1

Hướng dẫn giải

a. Các số này đều chia hết cho 11

Sử dụng quy tắc chia hết cho 11: Nếu tổng các chữ số ở vị trí hàng chẵn bằng tổng các chữ số ở vị trí hàng lẻ (tính từ trái qua phải, số đầu tiên là hàng lẻ), thì số đó chia hết cho 11.

Ví dụ, số 561; 2574...

b. Nếu số đó có 2001 chữ số 1, tổng các chữ số sẽ là 2001, chia hết cho 3, nên số đó chia hết cho 3. Tương tự, nếu số đó có 2007 chữ số 1, tổng sẽ chia hết cho 9, nên số đó chia hết cho 9.

Bài 6. An phân tích các số 120, 306, 567 ra thừa số nguyên tố như sau:

120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5

306 = 2 . 3 . 51

567 = 3 . 3 . 3 . 7

An có làm đúng không? Nếu không, hãy điều chỉnh lại những chỗ An làm sai.

Hướng dẫn giải

An đã phân tích không chính xác vì một số thừa số trong kết quả không phải là số nguyên tố (4; 51; 92). Cần chỉnh sửa như sau:

120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5

306 = 2 . 3 . 3 . 17

567 = 3^4 . 7

Bài 7. Phân tích các số sau thành thừa số nguyên tố và xác định mỗi số chia hết cho những số nguyên tố nào?

225; 1800; 1050; 3060

Hướng dẫn giải

225 = 3^2 . 5^2

Số 225 chia hết cho các số nguyên tố 3 và 5

1800 = 2^3 . 3^2 . 5^2

Số 1800 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3 và 5

1050 = 2 . 3 . 5^2 . 7

Số 1050 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5 và 7

3060 được phân tích thành 2^2 . 3^2 . 5 . 17

Số 3060 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5 và 17

Bài 8. Xác định các số:

a. Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 42

b. Xác định hai số tự nhiên a và b sao cho tích của chúng là 30 và a < b

Hướng dẫn giải

a. Các số cần tìm là các ước của 42

với Ư (42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

Do đó, các cặp số phù hợp là 1 và 42, 2 và 21, 3 và 14, 6 và 7

b. Các số a và b là các ước của 30 (với a < b)

Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Dưới đây là bảng chi tiết:

Bài 9. Tâm có 28 viên bi và muốn chia đều số bi này vào các túi sao cho số viên bi trong mỗi túi là như nhau. Hãy xác định số cách Tâm có thể xếp 28 viên bi vào các túi, kể cả trường hợp xếp vào một túi.

Hướng dẫn giải

Số lượng túi cần tìm là các ước của 28.

Kết quả: 1; 2; 4; 7; 14; 28 túi

Bài 10. Xác định xem tổng sau đây là số nguyên tố hay hợp số?

a. A = 11 × 12 × 13 + 14 × 15

b. B = 11 × 13 × 15 + 17 × 19 × 23

c. C = 22 × 23 - 16 × 17

Hướng dẫn giải

a. Vì 12 chia hết cho 3 nên (11 × 12 × 13) cũng chia hết cho 3

Tương tự, vì 15 chia hết cho 3 nên (14 × 15) cũng chia hết cho 3

Do đó, tổng (11 × 12 × 13 + 14 × 15) chia hết cho 3, áp dụng quy tắc tổng chia hết cho 3

Vậy, (11 × 12 × 13 + 14 × 15) là hợp số

b. Ta có 11 × 13 × 15 là tích của ba số lẻ, nên kết quả là số lẻ

Tương tự, 17 × 19 × 23 cũng là tích của ba số lẻ, do đó cũng là số lẻ

Như vậy, tổng của (11 × 13 × 15 + 17 × 19 × 23) sẽ là số chẵn

Hơn nữa, vì tổng (11 × 13 × 15 + 17 × 19 × 23) lớn hơn 2 nên nó là hợp số

Vì vậy, tổng B là hợp số

c. Vì 22 chia hết cho 2 nên (22 × 23) cũng chia hết cho 2

Tương tự, 16 chia hết cho 2 nên (16 × 17) cũng chia hết cho 2

Vì vậy, hiệu của C chia hết cho 2 (theo tính chất chia hết của hiệu)

Do đó, hiệu C là hợp số.

Bài 11. Xét hai số nguyên tố p và 8p - 1. Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số

Hướng dẫn giải

* Trường hợp 1: Xem xét p = 3, ta có:

Khi đó 8p - 1 = 24 - 1 = 23, đây là số nguyên tố

Còn 8p + 1 = 24 + 1 = 25, đây là hợp số

Vì vậy, p = 3 đáp ứng yêu cầu của bài toán

* Trường hợp 2: Xem xét p khác 3, ta có:

Các số 8p - 1; 8p; 8p + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp

8p - 1 không chia hết cho 3 vì nó là số nguyên tố theo đề bài

8p cũng không chia hết cho 3 (vì trong ba số liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3)

Do đó, 8p + 1 không thể là số nguyên tố

Do đó, 8p + 1 là số hợp (như đã chứng minh)

Trên đây là bài viết về Khái niệm về hợp số và phương pháp phân tích số thành thừa số nguyên tố hiệu quả cho lớp 6 từ Mytour. Chúng tôi rất mong nhận được sự hợp tác và tin tưởng từ quý độc giả. Xin chân thành cảm ơn!