Buzz
Trong chương trình Toán lớp 6, chúng ta sẽ học về lũy thừa với số mũ tự nhiên. Đây là kiến thức thiết yếu vì lũy thừa xuất hiện thường xuyên trong nhiều dạng bài toán và có tính ứng dụng rộng rãi.
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là a^n, được tính bằng cách nhân n số a với nhau: a^n = a.a.a...a (n lần a), trong đó n là một số tự nhiên.
Số a được gọi là cơ số, còn n được gọi là số mũ.
Theo quy ước, a^1 = a; 1^n = 1; a^0 = 1.
Phép nhân nhiều lần của cùng một số được gọi là phép nâng lên lũy thừa.
Lưu ý: a^n có thể đọc là 'a mũ n', 'a lũy thừa n' hoặc 'lũy thừa bậc n của a'.
a^2 còn được gọi là 'a bình' hoặc 'bình phương của a'.
a^3 được gọi là 'a mũ ba' hoặc 'lập phương của a'.
0^n không có giá trị xác định.
Khi n là số tự nhiên khác 0, ta có: 10^n = 100....0 (với n chữ số 0)
2. Các đặc điểm của lũy thừa với số mũ tự nhiên
- Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: a^m . a^n = a^(m+n)
- Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số, giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: a^m : a^n = a^(m-n) (với a khác 0, m >= n)
Mở rộng:
(a.b)^n = (a.b) x (a.b) x ... x (a.b) (gồm n lần nhân a.b) = a^n x b^n
(a : b)^n = (a x a x a ... x a) : (b x b x b ... x b) (gồm n lần nhân a, n lần nhân b) = a^n : b^n (với b khác 0)
(a^n)^m = a^n x a^n x ... x a^n (gồm m lần nhân a^n) = a^(n.m)
3. Quy tắc ưu tiên thực hiện các phép toán
Quy tắc ưu tiên thực hiện các phép toán trong biểu thức có dấu ngoặc: ( ) -> [ ] -> { }
Quy tắc ưu tiên thực hiện các phép toán trong biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa -> nhân và chia -> cộng và trừ
4. Các loại bài tập phổ biến về lũy thừa với số mũ tự nhiên
4.1. Loại 1: Viết kết quả của phép nhân và chia dưới dạng lũy thừa
Cách giải: Để viết kết quả của phép tính dưới dạng lũy thừa, ta cần chuyển phép tính thành dạng nhân các lũy thừa có cùng cơ số hoặc chia hai lũy thừa có cùng cơ số, sau đó áp dụng quy tắc nhân hoặc chia lũy thừa để rút gọn kết quả.
Ví dụ 1: Rút gọn các tích sau bằng cách sử dụng lũy thừa
a) 3. 3. 3. 3. 7. 7. 7
b) 1000. 10000. 100000
Giải đáp:
a) 3. 3. 3. 3. 7. 7. 7 = 3^4. 7^3
b) 1000. 10000. 100000 = 10^3. 10^4. 10^5 = 10^{3+4+5} = 10^12
Ví dụ 2: Rút gọn kết quả của phép tính thành một lũy thừa duy nhất
a) 5^2. 5^3. 5^4
Giải: 5^2. 5^3. 5^4 = 5^{2+3+4} = 5^9
b) 8^7 : 8^3
Giải: 8^7 : 8^3 = 8^{7-3} = 8^4
c) 4^5 : 2^7
Giải: 4^5 : 2^7 = (2^2)^5 : 2^7 = 2^{10} : 2^7 = 2^{10-7} = 2^3
4.2. Dạng 2: So sánh các số dưới dạng lũy thừa và xác định số mũ của lũy thừa
Phương pháp giải: Để so sánh các số dưới dạng lũy thừa, chúng ta có thể áp dụng 3 phương pháp sau đây:
Phương pháp 1: Chuyển các lũy thừa về cùng một cơ số rồi so sánh các số mũ của chúng
Nếu m > n thì a^m > a^n
Phương pháp 2: Đưa các lũy thừa về cùng một số mũ rồi so sánh các cơ số của chúng
Nếu a > b thì a^m > b^m
Phương pháp 3: Tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện so sánh
Ví dụ 1: So sánh hai số dưới đây:
a) 2^100 và 1024^8
Kết quả:
1024^8 = (2^10)^8 = 2^(10×8) = 2^80
Do 80 < 100 nên 2^80 < 2^100, vậy 1024^8 < 2^100
b) 222^333 và 333^222
Kết quả:
222^333 = (222^3)^111; 333^222 = (333^2)^111
Cần so sánh 222^3 và 333^2
Chúng ta có: 222^3 = (2 x 111)^3 = 2^3 x 111^3 = 8 x 111^3 = 888 x 111^2; 333^2 = (3 x 111)^2 = 3^2 x 111^2 = 9 x 111^2
Vì 888 x 111^2 > 9 x 111^2 nên 222^3 > 333^2. Do đó, 222^333 > 333^222
Ví dụ 2: Xác định số nguyên n sao cho:
a) 3^n = 81
Kết quả: Vì 81 = 3^4 nên 3^n = 3^4. Suy ra n = 4
b) 5^n < 90
Kết quả: Vì 5^2 < 90 < 5^3 nên từ 5^n < 90 ta có thể kết luận n <= 2. Tức là n = 0; 1; 2
c) 14 < 6^n < 50
Kết quả: Vì 6 < 14 < 6^n < 50 < 6^3 nên 1 < n < 3. Tức là n = 2
4.3. Dạng 3: Tìm chữ số cuối cùng của một số dạng lũy thừa
Phương pháp giải: Sử dụng các đặc điểm sau đây để xác định chữ số cuối cùng của một số dạng lũy thừa
- Các số chính phương (bình phương của một số nguyên) có chữ số tận cùng có thể là 0, 1, 4, 5, 6, 9
- Các số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể kết thúc bằng 1, 3, 7, 9
- Chữ số tận cùng của a^n chính là chữ số cuối cùng của x^n (với x là chữ số tận cùng của a)
- Khi nâng lũy thừa các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì chữ số cuối cùng không thay đổi
- Các số kết thúc bằng 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số cuối cùng vẫn giữ nguyên
- Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (với n là số tự nhiên) sẽ có chữ số tận cùng là 1
- Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (với n là số tự nhiên) thì chữ số cuối cùng là 6
- Một số nguyên bất kỳ khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (với n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng không thay đổi
- Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số cuối cùng là 7; trong khi số kết thúc bằng 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số cuối cùng là 3
- Khi nâng một số có chữ số tận cùng là 2 lên lũy thừa bậc 4n + 3, chữ số tận cùng sẽ trở thành 8; ngược lại, số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ giữ nguyên chữ số tận cùng
- Để xác định chữ số cuối cùng của tổng các lũy thừa, ta chỉ cần tính tổng chữ số cuối cùng của từng lũy thừa trong tổng đó
Ví dụ 1: Xác định chữ số tận cùng của 7^99
Trả lời: Vì 99 = 4n + 1 (với n thuộc N), nên chữ số cuối cùng của 7^99 là 7
Ví dụ 2: Xác định chữ số cuối cùng của tổng A = 2^1 + 3^5 + 4^9 + ... + 2004^8009
Trả lời:
Tất cả các lũy thừa trong tổng A đều có số mũ dưới dạng 4n + 1, với n từ 0 đến 2002. Do đó, tất cả các lũy thừa và cơ số của chúng đều có chữ số cuối cùng giống nhau
Tính tổng: (2 + 3 + 4 + ... + 9) + 199.(1 + 2 + 3 + ... + 9) + (1 + 2 + 3 + 4) = 200.(1 + 2 + 3 + ... + 9) + (2 + 3 + 4) = 9009.
Vậy chữ số cuối cùng của tổng A là 9.
Bài viết của Mytour về chủ đề Lũy thừa là gì? Cách tính lũy thừa trong Toán lớp 6. Lũy thừa là một khái niệm cơ bản trong chương trình Toán lớp 6 và thường gây khó khăn cho học sinh khi học và giải bài tập. Chúng tôi hy vọng rằng những thông tin về lũy thừa được Mytour cung cấp sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết các bài toán về lũy thừa một cách dễ dàng hơn.
