Buzz
1. Số nguyên là gì?
Trong toán học, số nguyên bao gồm số 0, các số tự nhiên (số nguyên dương) và các số đối của chúng (số nguyên âm).
Tập hợp số nguyên là vô hạn và có thể đếm được. Ký hiệu cho tập số nguyên là Z.
2. Phân loại số nguyên
Số nguyên được chia thành hai nhóm chính: số nguyên dương và số nguyên âm. Cụ thể:
- Số nguyên dương: là các số nguyên lớn hơn 0, ký hiệu là Z+.
- Số nguyên âm: là các số nguyên nhỏ hơn 0, ký hiệu là Z-.
- Nhóm số nguyên dương và âm không bao gồm số 0.
Ví dụ:
- Số nguyên dương: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…
- Số nguyên âm: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8,…
- Các số 1; 5; 67; -94; -978 đều là số nguyên.
- -26 ∈ Z; 0 ∈ Z
3. Số 0 thuộc loại số nguyên âm hay số nguyên dương?
Số 0 là một số đặc biệt trong tập số nguyên. Nó nằm giữa số nguyên âm và số nguyên dương nhưng không thuộc vào cả hai nhóm này. Vì vậy, số 0 không phải là số nguyên âm cũng không phải là số nguyên dương.
Trên trục số ngang, các số nguyên dương nằm bên phải số 0, còn các số nguyên âm nằm bên trái số 0. Trục số là một đường thẳng vô hạn với chiều dương được chỉ định từ trái sang phải. Số 0 đóng vai trò là gốc của trục số, phân chia giữa số nguyên âm và số nguyên dương.
Ngoài ra, trục số cũng có thể được vẽ theo chiều dọc. Trong trường hợp này:
- Chiều dương được chỉ theo hướng từ dưới lên trên (được đánh dấu bằng mũi tên).
- Điểm 0 là điểm gốc của trục số thẳng đứng, nằm chính giữa trục số (đại diện cho số 0).
- Đơn vị đo trên trục số được xác định bởi độ dài đoạn thẳng từ điểm 0 đến điểm 1 (đại diện cho số 1 và nằm phía trên số 0).
Từ điểm gốc 0 trên trục số, khái niệm số đối được hình thành. Hai số được coi là đối nhau khi chúng nằm ở hai bên của điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng nhau (theo đơn vị đo).
Tính chất:
- Số đối của một số nguyên dương là số nguyên âm tương ứng.
- Số đối của một số nguyên âm là số nguyên dương tương ứng.
- Số đối của 0 chính là 0.
Để xác định số đối của một số nguyên dương, ta chỉ cần thêm dấu “-” trước số đó. Ngược lại, để tìm số đối của một số nguyên âm, chỉ cần loại bỏ dấu “-” trước số đó. Ví dụ:
- Số đối của 1 là -1
- Số đối của 2 là -2
- Số đối của 3 là -3
- Số đối của -4 là 4
- Số đối của -5 là 5
- Số đối của -6 là 6
- Số đối của 0 là 0 (trường hợp đặc biệt).
Do đó, tập số tự nhiên (N) và tập số đối của nó kết hợp lại tạo thành tập số nguyên.
4. Tính chất của số nguyên
Số nguyên có bốn tính chất cơ bản như sau:
- Tập số nguyên là vô hạn, vì vậy không có số nguyên dương lớn nhất và số nguyên âm nhỏ nhất.
- Ngược lại, chỉ có số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất (gần 0). Cụ thể, số nguyên âm lớn nhất là -1 và số nguyên dương nhỏ nhất là 1.
- Số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0 và các số nguyên dương.
- Tất cả các số nguyên dương đều lớn hơn 0.
- Tập số nguyên chứa vô số tập con hữu hạn. Trong mỗi tập con hữu hạn của Z, luôn có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
- Khác với các tập số khác (như số hữu tỉ Q, số thực R), giữa hai số nguyên liên tiếp không có số nguyên nào khác nằm giữa.
5. Phân biệt tập số nguyên và tập số thực
| Tập số nguyên Z | Tập số thực R | |
| Định nghĩa | Tập số nguyên gồm tập hợp các số 0, số tự nhiên (số nguyên dương) và số đối của chúng (số nguyên âm). Ký hiệu: Z | Số thực là những số không đếm được bao gồm tập hợp số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Ký hiệu: R |
| Tính chất | Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được | Tập hợp các số thực là vô hạn và không đếm được. |
| Đặc điểm |
Do bản chất tập số nguyên là vô hạn nên không tồn tại số nguyên dương lớn nhất và số nguyên âm nhỏ nhất. Ngược lại, chỉ tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất (cận 0). Cụ thể, số nguyên âm lớn nhất là -1 và số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Nếu xét trong một tập con hữu hạn của Z bất kỳ thì luôn có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. Khác với tập số học khác (như số hữu tỉ Q, số thực R), giữa 2 số nguyên liên tiếp sẽ không có bất kỳ số nguyên nào nằm giữa. | Số thực khác 0 bất kỳ sẽ là số dương hoặc số âm. Tổng và tích của 2 số thực không âm cũng sẽ là một số thực không âm. Có nhiều số thực hơn so với những phần tử trong tập hợp số đếm được bất kỳ. Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được của những số thực (số hữu tỉ, số nguyên, số đại số, số tính được). Phần bù của các số này (số siêu việt, số vô tỉ, số không tính được) trong số thực đều là tập hợp vô hạn không đếm được. Số thực có thể dùng để biểu thị kết quả đo lường đại lượng liên tục. |
Cần lưu ý rằng, tập số nguyên là một tập con của tập số thực.
6. Một số bài tập ôn tập
Bài tập 1: Điền các số nguyên còn thiếu vào trục số dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Bài tập 2: Xác định tính đúng sai của từng phát biểu dưới đây:
a) 25 thuộc tập số nguyên (Z)
b) -67 thuộc tập số tự nhiên (N)
c) 0 thuộc tập số tự nhiên không âm (N*)
d) 0 không thuộc tập số nguyên (Z)
Hướng dẫn giải: a. Đúng b. Sai c. Sai (N* chỉ các số tự nhiên lớn hơn 0) d. Sai
Bài tập 3: Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau đây:
a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Nếu a thuộc tập số nguyên (Z) và không phải số nguyên dương, thì a là số nguyên âm.
c) Tất cả các số nguyên đều là số tự nhiên.
d) Tập số nguyên bao gồm cả số tự nhiên và số nguyên âm.
e) Tất cả các số tự nhiên khác 0 đều thuộc số nguyên dương.
f) Số 0 không phải là số nguyên dương.
Hướng dẫn giải:
a) Đúng
b) Sai. Số 0 thuộc tập Z nhưng không phải là số nguyên dương hay số nguyên âm.
c) Sai. Các số nguyên âm không thuộc tập số tự nhiên.
d) Đúng
e) Đúng
f) Sai. Số 0 không thuộc số nguyên dương cũng không phải số nguyên âm.
Bài tập 4: Tìm số đối của các số sau đây:
a) 23, 96, 35, 34
b) -124, -674, -5633, -45
c) -1, 0, 1
Hướng dẫn giải:
a) Số đối của 23 là -23.
Số đối của 96 là -96.
Số đối của 35 là -35.
Số đối của 34 là -34.
b) Số đối của -124 là 124.
Số đối của -674 là 674.
Số đối của -5633 là 5633.
Số đối của -45 là 45.
c) Số đối của -1 là 1.
Số đối của 0 là 0.
Số đối của 1 là -1.
Bài tập 5: Sắp xếp các số nguyên dưới đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
a) 23; -4; 0; 5; -67; -675; 123
b) -12578; 567; 43; -41; -1
c) -2; 1; -9; -54; -27
Hướng dẫn giải:
a) Các số nguyên được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là: -675; -67; -4; 0; 5; 23; 123
b) Thứ tự tăng dần của các số nguyên là: -12578; -41; -1; 43; 567
c) Các số nguyên sắp xếp từ nhỏ đến lớn là: -54; -27; -9; -2; 1
Bài tập 6: Cho tập hợp A = {2; -5; -9; 4; -12}
a) Xác định tập hợp B chứa tất cả các phần tử của A cùng với số đối của chúng.
b) Tạo tập hợp C gồm những số lớn hơn các phần tử của B một đơn vị.
c) Xây dựng tập hợp D chứa các số nhỏ hơn các phần tử của C hai đơn vị.
Hướng dẫn giải:
a) Tập hợp B bao gồm các phần tử của A và số đối của chúng là: B = {2; -5; -9; 4; -12; -2; 5; 9; -4; 12}
b) Tập hợp C chứa các số lớn hơn từng phần tử trong B một đơn vị là: C = {3; -4; -8; 5; -11; -1; 6; 19; -3; 13}
c) Tập hợp D gồm các số nhỏ hơn mỗi phần tử trong C hai đơn vị là: D = {1; -6; -10; 3; -13; -3; 4; 17; -5; 11}
Như vậy, bài viết đã tổng hợp các kiến thức về số nguyên và các bài tập ứng dụng. Hy vọng rằng thông tin này sẽ giúp bạn đọc hiểu sâu hơn về tập hợp số nguyên và áp dụng hiệu quả kiến thức đã học. Mong nhận được sự ủng hộ của bạn đọc trong các bài viết tiếp theo.
