Khái niệm tam giác cân, tam giác vuông cân và các bài tập ứng dụng

1. Khái niệm về tam giác cân và tam giác vuông cân

* Tam giác cân:

Tam giác cân là một loại tam giác có hai cạnh bằng nhau và hai góc ở hai đỉnh tương ứng cũng bằng nhau. Điều này có nghĩa là tam giác cân có một trục đối xứng, trục này chia tam giác thành hai phần đối xứng nhau. Trong tam giác cân, đỉnh nằm giữa hai cạnh bằng nhau được gọi là đỉnh cân và hai cạnh bằng nhau được gọi là cạnh cân.

Tam giác cân không nhất thiết phải có ba góc bằng nhau như tam giác đều, mà chỉ yêu cầu hai góc ở đỉnh cân phải bằng nhau. Các đặc điểm và tính chất của tam giác cân có thể thay đổi tùy vào các góc và cạnh còn lại của nó.

Hình minh họa như sau:

Trong tam giác ABC trên, nếu AB = AC, thì tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A.

* Tam giác vuông cân:

Tam giác vuông cân là một loại tam giác đặc biệt với một góc vuông và hai cạnh gần góc vuông có độ dài bằng nhau. Một trong ba góc của tam giác là góc vuông với độ lớn chính xác 90 độ (π/2 radian).

Để rõ hơn, gọi hai cạnh bằng nhau là các cạnh cân và cạnh còn lại là cạnh vuông. Cạnh vuông phân chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, mỗi cái có một cạnh cân giống như cạnh cân của tam giác vuông cân gốc.

Điểm giao nhau của các đường phân giác trong tam giác vuông cân nằm tại trung điểm của cạnh vuông và cũng chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

Hình minh họa như sau:

2. Đặc điểm của tam giác cân và tam giác vuông cân

* Tam giác cân:

- Hai cạnh bằng nhau: Tam giác cân có hai cạnh có độ dài bằng nhau. Điểm chung của hai cạnh này chính là đỉnh cân của tam giác.

- Hai góc ở đỉnh cân bằng nhau: Trong tam giác cân, hai góc tại các đỉnh cân có giá trị bằng nhau, nghĩa là chúng có cùng độ lớn góc.

- Tính đối xứng: Tam giác cân có một trục đối xứng đi qua đỉnh cân, chia tam giác thành hai phần đối xứng nhau qua trục này.

- Điểm giao nhau của các đường phân giác là trung điểm của cạnh đối diện đỉnh cân: Trong tam giác cân, điểm giao nhau của hai đường phân giác nằm tại trung điểm của cạnh đối diện đỉnh cân và đồng thời là tâm của đường tròn nội tiếp.

* Tam giác vuông cân:

- Hai góc đáy của tam giác vuông cân bằng nhau: Cả hai góc đáy nằm tại các đỉnh chân của tam giác vuông cân đều có độ lớn 45 độ (π/4 radian).

- Đường cao và đường phân giác từ đỉnh góc vuông trùng nhau: Đường cao và đường phân giác từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông cân đều gặp nhau tại cùng một điểm, đồng thời là tâm của đường tròn nội tiếp.

- Đoạn thẳng nối trung điểm cạnh huyền và đỉnh góc vuông trùng với đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông: Đoạn thẳng này cắt nhau tại một điểm trên cạnh đối diện đỉnh góc vuông và cũng là tâm của tam giác.

- Đường cao và đường phân giác từ đỉnh góc vuông có độ dài bằng một nửa chiều dài cạnh huyền: Cả đường cao và đường phân giác xuất phát từ đỉnh góc vuông có độ dài tương ứng bằng một nửa chiều dài cạnh huyền.

3. Bài tập liên quan đến tam giác cân và tam giác vuông cân

Bài tập 1:

Đề bài: Trong các lựa chọn dưới đây, lựa chọn nào là sai?

A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và mỗi góc đều bằng 60°

B. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh đều nhau

C. Tam giác cân chính là tam giác đều

D. Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân.

Đáp án đúng: C. Khẳng định rằng tam giác cân là tam giác đều là không chính xác

- Tam giác đều là loại tam giác có ba cạnh và ba góc đều giống nhau, với mỗi góc có độ lớn là 60° (π/3 radian). Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau và hai góc tại các đỉnh cân cũng bằng nhau.

- Tam giác đều có thể xem như là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân, vì tam giác đều không chỉ có hai mà còn ba cạnh bằng nhau. Ngược lại, tam giác cân chỉ yêu cầu hai cạnh bằng nhau mà không cần ba cạnh phải bằng nhau.

Do đó, đáp án C là không đúng. Tam giác cân không phải là tam giác đều mà chỉ là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Bài tập 2:

Đề bài: Dựa trên đặc điểm của tam giác cân, hãy chọn đáp án chính xác

Tam giác cân có các đặc điểm sau:

A. Có hai đường cao có độ dài bằng nhau

B. Hai đường trung tuyến có độ dài bằng nhau

C. Hai cạnh bên có độ dài bằng nhau

D. Hai tia phân giác có cùng số đo

Đáp án chính xác: C. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên có độ dài bằng nhau

Giải thích:

Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau và hai góc tại các đỉnh cân cũng bằng nhau. Điều này có nghĩa là hai cạnh bên (các cạnh có đỉnh chung) có độ dài giống nhau.

Các đáp án còn lại không phù hợp với định nghĩa của tam giác cân:

A. Hai đường cao trong tam giác cân không nhất thiết phải bằng nhau. Đường cao là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện.

B. Hai đường trung tuyến trong tam giác cân không nhất thiết phải bằng nhau. Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

D. Hai tia phân giác trong tam giác cân không cần phải có độ dài bằng nhau. Tia phân giác trong chia đôi góc tại đỉnh của tam giác.

Bài tập 3:

Đề bài: Xác định đáp án chính xác trong các lựa chọn dưới đây, với giả thiết tam giác ABC cân tại A và số đo góc B là 50^o. Vậy số đo các góc còn lại của tam giác ABC là:

A. Góc A = 50^o, Góc C = 80^o

B. Góc A = 80^o, Góc C = 50^o

C. Góc A = 40^o, Góc C = 90^o

D. Góc A = 90^o, Góc C = 40^o

Đáp án chính xác: B - Các góc còn lại trong tam giác cân ABC là Góc A = 80^o và Góc C = 50^o

Giải thích: 

Tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A, nghĩa là AB = AC và góc tại đỉnh A có độ lớn là 50^o (như đã cho trong bài toán).

Vì ABC là tam giác cân, nên góc B và góc C (góc tại các đỉnh chân) có độ lớn bằng nhau.

Tổng ba góc của tam giác luôn bằng 180^o, do đó có:

Góc B + Góc A + Góc C = 180^o

50° + Góc B + Góc C = 180^o

Do đó: Góc A + Góc C = 180^o - 50^o = 130^o

Vì vậy, số đo các góc là: góc B = góc C = 50^o, và góc A = 130^o - góc C = 80^o

Bài tập 4: 

Đề bài: Chọn đáp án chính xác cho câu hỏi dưới đây

Tam giác ABC có hai góc B và C đều bằng 45^o. Vậy tam giác ABC thuộc loại nào?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Đáp án chính xác: D - Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Giải thích:

Trong tam giác, hai góc B và C đều bằng 45^o, tức là B = C = 45^o.

Tổng các góc của tam giác luôn bằng 180^o, do đó: A + B + C = 180^o.

Thay giá trị góc B và C vào, ta có: A + 45^o + 45^o = 180^o.

Kết quả là góc A được tính như sau: A = 180^o - 45^o - 45^o = 90^o.

Do đó, tam giác ABC có một góc bằng 90^o (góc A = 90^o) và hai góc còn lại bằng nhau (góc B = góc C = 45^o), nên đây là tam giác vuông cân.