Khái niệm tia phân giác và đường phân giác: Tính chất và ứng dụng trong tam giác

1. Tia phân giác là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

- Mỗi góc (trừ góc bẹt) sẽ có đúng một tia phân giác

​* Định lý thuận:

Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc sẽ có khoảng cách bằng nhau từ hai cạnh của góc đó.

* Định lý đảo:

- Nếu một điểm nằm trong một góc và có khoảng cách bằng nhau từ hai cạnh của góc, thì điểm đó nằm trên tia phân giác của góc đó.

- Tập hợp tất cả các điểm bên trong một góc và có khoảng cách đều từ hai cạnh của góc chính là tia phân giác của góc đó.

2. Đường phân giác là gì?

- Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai phần có độ lớn bằng nhau.

- Tất cả các điểm nằm trên đường phân giác đều cách đều hai cạnh của góc, và ngược lại cũng đúng.

3. Các đặc điểm của đường phân giác trong tam giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. 

* Lưu ý: Định lý vẫn áp dụng cho tia phân giác của góc ngoài của tam giác.

Ví dụ: Xét tam giác ABC với AD và AE lần lượt là đường phân giác của góc trong và góc ngoài tại đỉnh A.

Trong trường hợp này, ta có: DB/DC = AB/AC và EB/EC = AB/AC

4. Các dạng bài tập về tia phân giác

4.1. Dạng 1: Chứng minh một tia phân giác của góc đã cho

Phương pháp giải: Chứng minh rằng tia Oy là tia phân giác của góc xOz

- Phương pháp 1: Chứng minh tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

Chứng minh rằng góc xOy bằng góc yOz

- Phương pháp 2: Chứng minh góc xOy và góc yOz đều bằng nửa góc xOz

- Phương pháp 3: Sử dụng đặc điểm của đường trung tuyến trong tam giác cân cũng đồng thời là đường phân giác

Bài 1: Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và C giao nhau tại điểm E. Chứng minh rằng E nằm trên đường phân giác trong của góc BAC.

Hướng dẫn cách giải

Từ điểm E, kẻ các đoạn EH vuông góc với BC, EF vuông góc với AB, và EG vuông góc với AC, với H nằm trên BC, F trên AB, và G trên AC.

Chúng ta có:

EF = EH (vì E nằm trên phân giác ngoài của góc B) (1)

và EH = EG (vì E nằm trên phân giác ngoài của góc C) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: EF = EG => E thuộc tia phân giác trong của góc BAC (theo tính chất của tia phân giác)

Bài 2. Xét tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ trên cạnh BC, kẻ KH vuông góc với AC (H thuộc AC). Trên tia đối của HK, chọn điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh:

a. AB // HK

b. góc KAH = góc IAH

c. Tam giác AKI là tam giác cân

Hướng dẫn giải chi tiết

a. Chúng ta có: AB vuông góc với AC (tam giác ABC vuông tại A),

KH vuông góc với AC (giả định)

=> AB // KH (từ vuông góc đến song song)

b. Xem xét tam giác AHK và tam giác AHI, có:

Hk = HI (theo giả thiết)

góc AHK = góc AHI = 90 độ (theo giả thiết)

AH là cạnh chung

Vì vậy, tam giác AHK và tam giác AHI là bằng nhau (cả hai đều có cạnh góc vuông).

Do đó, góc KAH và góc IAh tương ứng nhau.

c. Dựa vào kết quả câu b, ta có tam giác AHK bằng tam giác AHI, vì vậy AK = AI (các cạnh tương ứng).

Do đó, tam giác AKI là tam giác cân tại A.

Bài 3. Cho góc xOy. Chọn các điểm A và B trên tia Ix sao cho OA lớn hơn OB. Chọn các điểm C và D trên tia Oy sao cho OC bằng OA, OD bằng OB. Gọi E là điểm giao nhau của AD và BC. Chứng minh rằng:

a. Đoạn AD bằng đoạn BC

b. Tam giác ABE và tam giác CDE bằng nhau

c. OE là đường phân giác của góc xOy

Hướng dẫn giải

a. Xem xét tam giác OAD và tam giác OCB, ta có

OA = OC (theo giả thiết)

góc O là góc chung

OD = OB (theo giả thiết)

Vì vậy, tam giác OAD và tam giác OCB bằng nhau (cạnh-góc-cạnh)

=> AD bằng CB (các cạnh tương ứng)

b. Vì OA = OC và OB = OD nên AB bằng CD

Hơn nữa: tam giác OAD bằng tam giác OCB (như đã chứng minh)

=> góc OBC bằng góc ODA; tam giác OAD và OCB là bằng nhau (các góc tương ứng)

Ngoài ra, góc ABE cộng góc OBC bằng góc CDE cộng góc ODA = 180 độ

=> góc ABE bằng góc CDE

Xem xét tam giác ABE và tam giác CDE, ta có:

góc OAD bằng góc OCB (như đã chứng minh)

AB bằng CD (như đã chứng minh)

góc ABE bằng góc CDE (như đã chứng minh)

Do đó, tam giác ABE và tam giác CDE là bằng nhau (cạnh-góc-cạnh)

c. Vì tam giác ABE và tam giác CDE đã được chứng minh là bằng nhau, nên AE bằng CE (các cạnh tương ứng)

Xem xét tam giác AEO và tam giác CEO, ta có:

AE bằng CE (như đã chứng minh)

OE là cạnh chung

OA bằng OC (theo giả thiết)

Do đó, tam giác AEO bằng tam giác CEO (cạnh-cạnh-cạnh)

=> góc AOE bằng góc COE (các góc tương ứng)

=> OE là đường phân giác của góc xOy

4.2. Dạng 2. Tính giá trị của góc

Bài 1. Cho hai góc xOy và yOz là hai góc kề bù, với góc xOy = 120 độ

a. Tính giá trị của góc yOz

b. Gọi Om là đường phân giác của góc xOy. Tính góc zOm

Hướng dẫn giải

a. Vì góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù, nên tổng của chúng là 180 độ. Từ đó, góc yOz = 180 - góc xOy = 60 độ

b. Tia Om là tia phân giác của góc xOy, do đó góc xOm = góc yOm = góc xOy / 2 = 120/2 = 60 độ

Hai góc xOm và zOm là hai góc kề bù, vì vậy tổng của chúng là 180 độ

=> góc zOm = 120 độ

Bài 2. Cho hai góc kề nhau là góc AOB và góc BOC với góc AOB = 50 độ và góc BOC = 80 độ. Gọi OD là tia đối của tia OC.

a. Tính giá trị của góc AOC

b. Chứng minh tia OA nằm giữa hai tia OB và OD

c. Tia OA có phải là phân giác của góc BOD không? Giải thích tại sao?

Hướng dẫn giải

a. Tính góc AOC bằng tổng góc AOB và góc BOC: 50 + 80 = 130 độ

b. Vì góc AOC nhỏ hơn góc COD (130 < 180) và góc COB nhỏ hơn góc AOC (80 < 130), nên tia OA nằm giữa tia OB và OD

c. Vì tia OA nằm giữa tia OC và OD, ta có góc COD = góc COA + góc AOD, từ đó suy ra góc AOD = 50 độ

Vì góc AOD = góc AOB = 50 độ và kết hợp với kết quả từ câu b, tia OA nằm giữa hai tia OB và OD, do đó OA là tia phân giác của góc BOD

4.3. Dạng 3. Áp dụng tính chất của một góc để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải: Áp dụng định lý phân giác: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc sẽ cách đều hai cạnh của góc đó.

Bài 1. Xét tam giác ABC với AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường thẳng vuông góc với BC tại điểm D, là trung điểm của BC. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng BH = CK.

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng D thuộc tia phân giác của góc A

DH vuông góc với AB và DK vuông góc với AC

=> DH = DK (theo tính chất của tia phân giác trong góc)

Gọi G là trung điểm của đoạn BC

Xem xét hai tam giác BGD và CGD, ta có:

góc BGD = góc CGD = 90° (vì DG là đường trung trực của đoạn BC)

BG = CG (theo giả thiết)

DG là cạnh chung của hai tam giác

Vì vậy, tam giác BGD và tam giác CGD đồng dạng (cả hai đều có một cạnh vuông góc)

=> BD = CD (hai cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng)

Xem xét hai tam giác BHD và CKD, ta có:

góc BHD = góc CKD = 90°

DH = DK (như đã chứng minh)

BD = CD (như đã chứng minh)

Vì vậy, tam giác BHD và tam giác CKD đồng dạng (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> BH = CK (các cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng)

Bài 2. Trong tam giác ABC với góc A = 120°, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Tia phân giác của góc ADC cắt cạnh AC tại điểm I. Gọi H và K lần lượt là các hình chiếu của I lên các đường thẳng AB và BC. Chứng minh rằng IH = IK

Hướng dẫn giải

Kẻ đường IE vuông góc với AD (E thuộc AD). Gọi Ax là tia đối của tia AB.

Vì góc BAC và góc CAx là hai góc kề bù với góc BAC = 120°, nên góc CAx = 60° (1)

Ta biết rằng AD là phân giác của góc BAC, do đó góc DAC bằng một nửa góc BAC, tức là 60 độ (2).

Từ (1) và (2), suy luận rằng AC là tia phân giác của góc DAX.

Do đó, IH = IE dựa trên tính chất phân giác của một góc (3).

Vì DI là phân giác của góc ADC nên IK = IE dựa trên tính chất phân giác của một góc (4).

Từ (3) và (4), ta có IH = IK.

Bài 3. Xét tam giác ABC vuông tại A với AB = 3 cm và AC = 6 cm. E là trung điểm của AC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

a. Tính độ dài BC?

b. Chứng minh rằng tam giác BAD bằng tam giác EAD.

c. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh rằng điểm D cách đều AB và AC.

Hướng dẫn giải

a. Xem xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB^2 + AC^2 = BC^2 (theo định lý Pythagoras)

=> BC = căn bậc hai của 45 (cm)

b. Vì E là trung điểm của AC nên:

AE = 1/2 AC = 3 cm, nên AE = AB

Xem xét tam giác BAD và tam giác EAD có các đặc điểm sau:

góc BAD = góc EAD (vì AD là tia phân giác)

AD là cạnh chung

AB = AE (theo chứng minh trước đó)

Do đó, tam giác BAD bằng tam giác EAD (theo định lý cạnh-góc-cạnh)

c. Vì D nằm trên tia phân giác của góc BAC, nên DH = DK (theo tính chất của tia phân giác)

Như vậy, điểm D cách đều hai đoạn AB và AC.