Khái niệm và công thức về dãy tỉ số bằng nhau

Buzz

Nội dung bài viết

1. Dãy tỉ số bằng nhau là gì?

2. Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2.1 Khái niệm về tỉ lệ thức là gì?

2.2 Các tính chất của tỷ lệ thức

2.3 Tính chất của dãy tỷ số đồng nhất

3. Các bài toán về tính chất của dãy tỷ số đồng nhất

3.1 Dạng 1: Xác định hai số x, y khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỷ số

3.2 Dạng 2: Phân chia một số thành các phần tỷ lệ với các số

3.3 Dạng 3: Xác định hai số khi đã biết tổng và tỷ lệ giữa chúng

3.4 Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức từ tỷ lệ đã cho.

Dạng 5: Các bài toán cụ thể liên quan đến tỷ lệ thức.

4. Bài tập ứng dụng tính chất dãy tỷ số tương đương

Xem thêm

1. Dãy tỉ số bằng nhau là gì?

$\frac{a}{3}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$

Đây chính là một ví dụ về dãy tỉ số bằng nhau.

2. Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2.1 Khái niệm về tỉ lệ thức là gì?

Khái niệm về tỉ lệ thức và các đặc điểm của dãy tỉ số bằng nhau:

Tỉ lệ thức là sự bằng nhau giữa hai tỉ số:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Các số a và d được gọi là ngoại tỉ, trong khi b và c được gọi là trung tỉ.

2.2 Các tính chất của tỷ lệ thức

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $\neq$ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ $\frac{b}{d}=\frac{c}{a}$ $\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$

2.3 Tính chất của dãy tỷ số đồng nhất

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$

Chúng ta có:

$\frac{a+c}{b+d}=\frac{kb+kd}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k(2) (b+d\neq 0)$ $\frac{a-c}{b-d}=\frac{kb-kd}{b-d}=\frac{k(b-d)}{b-d}=k(2) (b-d\neq 0)$

Từ (1), (2), (3), ta có kết luận:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$ $(b\neq d , b\neq -d)$

Tính chất này cũng áp dụng cho dãy tỷ số đồng nhất:

Ví dụ:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}$ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{ma+nc}{mb+nd}=\frac{ma-nc}{mb-nd}$

Chú ý:

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Có thể diễn đạt bằng: x : y : z = a : b : c

3. Các bài toán về tính chất của dãy tỷ số đồng nhất

3.1 Dạng 1: Xác định hai số x, y khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỷ số

Phương pháp giải quyết:

- Để xác định hai số x, y khi biết tổng x + y = s và tỷ số x : y = a : b, thực hiện như sau:

Ta có: x : y = a : b => x : a = y : b

Áp dụng dãy tỷ số đồng nhất, ta có:

x : a = y : b = (x + y) : (a + b) = s : (a + b)

$\frac{s}{a+b} \cdot a$ $\frac{s}{a+b} \cdot b$

- Để xác định hai số x, y khi biết hiệu x - y = p và tỷ số x : y = a : b, thực hiện như sau:

Ta có: x : y = a : b => x : a = y : b

Áp dụng dãy tỷ số đồng nhất, ta có:

x : a = y : b = (x - y) : (a - b) = p : (a - b)

$\frac{p}{a-b} \cdot a$ $\frac{p}{a-b} \cdot b$

3.2 Dạng 2: Phân chia một số thành các phần tỷ lệ với các số

Giả sử ta chia số P thành 3 phần x, y, z theo tỷ lệ với các số a, b, c

Chúng ta thực hiện như sau:

Có: x : a = y : b = z : c = ( x + y + z) : (a + b + c) = p : (a + b + c)

Từ đó ta có thể suy ra:

3.3 Dạng 3: Xác định hai số khi đã biết tổng và tỷ lệ giữa chúng

Cách giải:

$rac{x^{2}}{xy}= rac{a}{b}$ $rac{x^{2}}{P}= rac{a}{b}$

Từ đó, chúng ta có thể xác định giá trị của x và y.

3.4 Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức từ tỷ lệ đã cho.

Phương pháp giải quyết:

Sử dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỷ số tương đương.

Dạng 5: Các bài toán cụ thể liên quan đến tỷ lệ thức.

Cách giải quyết:

Bước 1: Xác định các yếu tố liên quan trong đề bài.
Bước 2: Thiết lập tỷ lệ thức tương ứng.
Bước 3: Sử dụng tính chất của dãy tỷ số tương đương để tìm lời giải.

4. Bài tập ứng dụng tính chất dãy tỷ số tương đương

Câu 1: Tìm hai số x và y sao cho x : 2 = y : (-5) và x - y = -7

Hướng dẫn giải:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{-5}=\frac{x-y}{2-(-5)}=\frac{-7}{7}=-1$

x : 2 = -1 => x = (-1) \times 2 = -2

y : (-5) = -1 => y = (-1) \times (-5) = 5

Câu 2: Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng và Dũng theo tỷ lệ 2; 4; 5. Tính số viên bi của từng bạn biết tổng số viên bi là 44.

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z lần lượt là số viên bi của các bạn Minh, Hùng và Dũng.

Dựa vào đề bài, ta có:

x : 2 = y : 4 = z : 5 và tổng số viên bi là x + y + z = 44.

Theo tính chất của dãy tỷ số tương đương, ta có:

x : 2 = y : 4 = z : 5 = (x + y + z) : (2 + 4 + 5) = 44 / 11 = 4

=> x = 2 \times 4 = 8; y = 4 \times 4 = 16; z = 5 \times 4 = 20

Do đó, số viên bi của Minh, Hùng và Dũng lần lượt là 8, 16, 20.

Câu 3: Số học sinh ở các khối 6, 7, 8, 9 theo tỷ lệ 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tìm số học sinh của từng khối.

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z, t lần lượt là số học sinh của các khối 6, 7, 8 và 9.

Dựa vào đề bài, ta có: x : 9 = y : 8 = z : 7 = t : 6 và y - t = 70;

Ta có: y : 8 = t : 6 = (y - t) : (8 - 6) = 70 : 2 = 35

=> y = 35 \times 8 = 280

=> t = 35 \times 6 = 210

x : 9 = y : 8 => x : 9 = 210 : 8 = 35 => x = 9 \times 35 = 315

z : 7 = t : 6 = 210 : 6 => z = 35 \times 7 = 245

Câu 4: Với tỷ lệ thức a : b = c : d, chứng minh rằng (a + b) : (a - b) = (c + d) : (c - d)

Hướng dẫn giải:

Phương pháp: Chứng minh rằng a \times d = b \times c

Ta có:

(a + b) \times (c - d) = ac - ad + bc - bd

(a - b) \times (c + d) = ac + ad - bc - bd

Vì a : b = c : d => ad = bc

=> (a + b) \times (c - d) = (a - b) \times (c + d)

=> (a + b) : (a - b) = (c + d) : (c - d)

Hướng dẫn giải:

Đặt x (m) là chiều rộng, y (m) là chiều dài (x, y > 0)

Chu vi của hình chữ nhật là 28m nên:

Dựa trên đặc điểm của dãy tỉ số đồng nhất, ta có:

x : 2 = y : 5 = (x + y) : (2 + 5) = (x + y) : 7 = 14 : 7 = 2

=> x : 2 = 2 => x = 2.2 = 4 (m)

y : 5 = 2 => y = 2.5 = 10 (m)

Do đó, diện tích hình chữ nhật là: S = 4.10 = 40 (m2)

Câu 6: Số học sinh ở các khối 6, 7, 8, 9 theo tỷ lệ 9, 8, 7, 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tìm số học sinh từng khối?

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z, t lần lượt là số học sinh các khối 6, 7, 8, 9 tương ứng với tỷ lệ 9, 8, 7, 6, do đó: x : 9 = y : 8 = z : 7 = t : 6

Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh nên ta có: y - t = 70

Dựa vào tính chất của tỷ lệ bằng nhau, ta có:

x : 9 = y : 8 = z : 7 = t : 6 = (y - t) : (8 - 6) = 70 : 2 = 35

Do đó:

x = 9 × 35 = 315

y = 8 × 35 = 280

z = 7 × 35 = 245

t = 6 × 35 = 210

Câu 7: Có 3 đội A, B, C với tổng số 130 người đi trồng cây. Mỗi người ở đội A, B, C lần lượt trồng được 2, 3, 4 cây. Biết rằng số cây mỗi đội trồng được là như nhau. Tìm số người ở mỗi đội?

Hướng dẫn giải:

$\epsilon$

Theo đề bài, ta có:

x × 2 = y × 3 = 4 × z (1) và x + y + z = 130

Bội chung nhỏ nhất của (2, 3, 4) là 12

$\frac{x × 2}{12} = \frac{y × 3}{12} = \frac{4 × z}{12}$

Số người của các đội A, B, C lần lượt là 60, 40, 30.

Bài viết trên của Mytour đã tổng hợp lý thuyết, bài tập và các bài toán về dãy tỷ số bằng nhau. Hy vọng các kiến thức này sẽ hữu ích cho bạn trong việc tìm hiểu và nghiên cứu chủ đề này. Chúc bạn học tốt!

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]