Khái niệm về ba điểm thẳng hàng là gì? Cách thức để chứng minh ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng

1. Khái niệm về điểm, đường thẳng và ba điểm thẳng hàng

1.1 Khái niệm về điểm trong hình học và định nghĩa cơ bản của nó

Điểm được hình dung như một dấu chấm nhỏ trên giấy, là khái niệm nền tảng trong hình học.

Ký hiệu: các điểm thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa như A, B, C,…

Hai điểm khác nhau sẽ là hai điểm phân biệt rõ rệt.

Khi có nhiều điểm, chúng ta có thể tạo ra các hình, và mỗi hình đều là một tập hợp các điểm.

Chẳng hạn, trong bức tranh trên, các điểm A, B, C, M, N được gọi là các điểm.

1.2 Đường thẳng là gì? Khái niệm về đường thẳng trong hình học

Đường thẳng là một tập hợp các điểm liên tục.

Đường thẳng không bị giới hạn ở cả hai đầu.

Thông thường, đường thẳng được ký hiệu bằng một chữ cái thường hoặc bằng hai chữ cái thường.

Ví dụ thực tế: một vết bút vạch theo thước hoặc một sợi chỉ kéo căng.

1.3 Mối liên hệ giữa điểm và đường thẳng là gì?

1.4 Ba điểm thẳng hàng được hiểu là gì?

Ba điểm thẳng hàng khi tất cả chúng đều nằm trên một đường thẳng chung.

Ba điểm không thẳng hàng khi chúng không nằm trên cùng một đường thẳng nào.

1.5 Mối quan hệ giữa ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng

Trong ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

Lưu ý: Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó nằm trên cùng một đường thẳng.

Khi điểm C nằm giữa hai điểm A và B, ta có thể nói:

+Hai điểm C và B nằm cùng phía đối với điểm A

+Hai điểm A và C nằm trên cùng một phía so với điểm B

+Hai điểm A và B nằm ở các phía khác nhau so với điểm C

2. Các phương pháp để chứng minh ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng

1. Sử dụng hai góc kề bù với ba điểm nằm trên hai cạnh của hai tia đối nhau.

2. Ba điểm cùng nằm trên một tia hoặc trên một đường thẳng

3. Trong ba đoạn thẳng nối hai trong ba điểm, có một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn còn lại.

4. Hai đoạn thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm đó sẽ song song với đường thẳng thứ ba.

5. Hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm đó sẽ vuông góc với đường thẳng thứ ba.

6. Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm đó cũng sẽ chứa điểm thứ ba.

7. Áp dụng tính chất của đường phân giác, đường trung trực của đoạn thẳng, và ba đường cao trong tam giác.

8. Áp dụng đặc điểm của hình bình hành.

9. Sử dụng tính chất của góc nội tiếp trong một đường tròn.

10. Dựa vào góc đối đỉnh bằng nhau.

11. Sử dụng trung điểm của các cạnh và đường chéo của hình thang thẳng hàng.

12. Áp dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

13. Áp dụng tính chất diện tích của tam giác với ba điểm bằng 0.

14. Sử dụng tính chất đồng quy của các đường thẳng.

3. Những phương pháp phổ biến để chứng minh ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng

Phương pháp 1: Sử dụng tính chất của góc bẹt

Chọn một điểm D bất kỳ: nếu tổng góc ABD và góc DBC bằng 180 độ, thì ba điểm A, B, C đã cho nằm trên cùng một đường thẳng.

Phương pháp 2: Áp dụng tiên đề Ơ-cơ-lít

Nếu ba điểm A, B, C và một đường thẳng a thỏa mãn AB // a và AC // a, thì ba điểm A, B, C sẽ thẳng hàng. (Dựa trên tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB vuông góc với a và đoạn thẳng AC cũng vuông góc với a, thì ba điểm A, B, C sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

(Lý thuyết cơ bản của phương pháp này: Chỉ tồn tại duy nhất một đường thẳng a' đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a đã cho)

Hoặc có thể sử dụng tính chất của ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng. (Theo chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 4: Áp dụng tính chất duy nhất của tia phân giác

Nếu hai tia OA và OB là hai tia phân giác của góc xOy, thì ba điểm O, A, B sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

(Lý thuyết cơ bản của phương pháp này: Mỗi góc chỉ có duy nhất một đường phân giác)

* Hoặc: Nếu hai tia OA và OB nằm trong cùng một nửa mặt phẳng có tia Ox làm bờ, và ∠xOA = ∠xOB, thì ba điểm O, A, B sẽ thẳng hàng.

Phương pháp 5: Áp dụng tính chất của đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn BD và K’ là giao điểm của đoạn BD và AC, với điều kiện K’ cũng là trung điểm của BD và trùng với K, thì ba điểm A, K, C sẽ thẳng hàng.

(Lý thuyết cơ bản của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một trung điểm)

Phương pháp 6: Áp dụng tính chất của các đường đồng quy

Chứng minh ba điểm nằm trên các đường đồng quy của một tam giác.

Ví dụ: Nếu điểm E là trọng tâm của tam giác ABC và đoạn AM là trung tuyến từ góc A, thì ba điểm A, M, H sẽ thẳng hàng.

Ngoài ra, học sinh có thể áp dụng các đường đồng quy khác của tam giác, như ba đường cao, ba đường phân giác, hoặc ba đường trung trực.

Phương pháp 7: Áp dụng phương pháp vectơ

Sử dụng tính chất của hai vectơ cùng phương để chứng minh rằng ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng (tức là thẳng hàng).

Ví dụ: Nếu vectơ AB và vectơ AC, hoặc vectơ CA và vectơ CB, hoặc vectơ AB và vectơ BC có cùng phương, thì ba điểm A, B, C sẽ thẳng hàng.

4. Một số bài tập để rèn luyện các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn có đường kính AB cắt BC tại điểm D khác B. Gọi M là điểm tùy ý trên đoạn AD. Vẽ các đoạn MH và MI vuông góc với AB và AC tại H và I. Vẽ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh rằng góc MID bằng góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC với góc A bằng 90 độ. Lấy điểm B làm tâm và vẽ đường tròn bán kính BA, và điểm C làm tâm để vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm D. Vẽ AM và AN là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa M và N. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O; R) với đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Điểm D nằm trên cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi E là giao điểm của AD và BC, và F là giao điểm của AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Bài tập 4: Xét đoạn thẳng AB với O là trung điểm. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau qua AB, kẻ hai tia Ax và By sao cho góc BAx bằng góc ABy. Chọn hai điểm C và E trên Ax (E nằm giữa A và C), và hai điểm D và F trên By (F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng và ba điểm E, O, F cũng thẳng hàng.

Bài tập 5: Trong tam giác ABC, vẽ đường thẳng xy song song với BC qua điểm A. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt xy tại các điểm D và E. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BD, CE đều đồng quy tại một điểm.

Bài tập 6: Trong tam giác ABC, trên tia đối của AB chọn điểm D sao cho AD = AB, và trên tia đối của AC chọn điểm E sao cho AE = AC. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.