Khái niệm về bất đẳng thức và những loại thường gặp

Buzz

Nội dung bài viết

1. Khái niệm bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

3. Các tính chất của bất đẳng thức

4. Những bất đẳng thức phổ biến

4.1. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cauchy)

4.2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối

4.3. Bất đẳng thức Bunhiakovski

5. Các câu hỏi ôn tập

5.1. Câu hỏi trắc nghiệm

5.2. Phần tự luận

Xem thêm

Bất đẳng thức là gì và các loại bất đẳng thức phổ biến? Bài viết dưới đây của Mytour sẽ giúp bạn đọc hiểu rõ về các khái niệm liên quan đến bất đẳng thức. Mời bạn đọc tham khảo.

1. Khái niệm bất đẳng thức

- Những mệnh đề có dạng 'a > b' hoặc 'a < b' được gọi là bất đẳng thức

Ví dụ: 22 < 24 là một bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

- Khi mệnh đề 'a < b => c < d' đúng, ta gọi bất đẳng thức c < d là hệ quả của bất đẳng thức a < b, và có thể viết là a < b => c < d

Ví dụ: a < b và b < c => a < c (tính chất bắc cầu)

a < b, c tùy ý => a + c < b + c (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số)

- Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại, ta nói hai bất đẳng thức là tương đương và viết là a < b ⇔ c < d

3. Các tính chất của bất đẳng thức

Khi so sánh hai số, hai biểu thức, hoặc để chứng minh một bất đẳng thức, bạn có thể áp dụng các tính chất của bất đẳng thức như được trình bày trong bảng dưới đây:

Khái niệm và các loại bất đẳng thức thường gặp

* Lưu ý:

4. Những bất đẳng thức phổ biến

4.1. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cauchy)

* Định lý:

Trung bình nhân của hai số không âm luôn nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

Bất đẳng thức là gì? Những loại bất đẳng thức thường gặp

* Kết quả:

- Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

Bất đẳng thức là gì? Những loại bất đẳng thức phổ biến

- Nếu x và y đều dương và tổng của chúng không thay đổi, thì tích xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

- Nếu x và y đều dương và tích của chúng không thay đổi, thì tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

4.2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối

Bất đẳng thức là gì? Những bất đẳng thức phổ biến

4.3. Bất đẳng thức Bunhiakovski

Bất đẳng thức là gì? Những bất đẳng thức thường gặp

Khái niệm và các loại bất đẳng thức phổ biến

5. Các câu hỏi ôn tập

5.1. Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Trong số các phát biểu dưới đây, phát biểu nào là chính xác?

A. Nếu a < b và c < d thì a - c < b - d

B. Nếu a > b và c > d thì a - c > b - d

C. Nếu a > b và c > d thì a - d > b - c

D. Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì a - c > b - d

Câu 2. Đối với số thực x > 2, biểu thức nào luôn có giá trị nhỏ nhất trong các biểu thức dưới đây:

Bất đẳng thức là gì? Các bất đẳng thức thường gặp

Đáp án chính xác là B

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: g(x) = x^2 + 3|x| với x thuộc R

A. -9/4

B. -3/2

C. 0

D. 3/2

Đáp án chính xác là C

Câu 4. Nếu a, b và c là các số tùy ý và a > b, bất đẳng thức nào dưới đây luôn đúng?

A. ac > bc

B. a^2 > b^2

C. a + c > b + c

D. c - a > c - b

Đáp án chính xác là C

Câu 5. Biết rằng tổng của hai số a và b bằng 3. Khẳng định nào sau đây đúng về tích của a và b?

A. Giá trị nhỏ nhất là 9/4

B. Giá trị lớn nhất là 9/4

C. Giá trị lớn nhất là 3/2

D. Không có giá trị lớn nhất

Đáp án chính xác là B

A. m > -n

B. n - m < 0

C. -m > -n

D. m - n < 0

Đáp án chính xác là B

Câu 7. Nếu a> b và c> d, bất đẳng thức nào dưới đây luôn đúng?

B. a-c > b - d

C. ac> bd

D. a + c > b + d

Đáp án chính xác là D

Câu 8. Xét hai số thực a và b với điều kiện a > b. Bất đẳng thức nào dưới đây không đúng?

A. b - a < 0

B. -2a + 3 < -2b + 3

C. a^4 > b^4

D. a - 2 > b - 2

Đáp án chính xác là C

Đáp án chính xác là D

$x^4 + y^4 + rac{1}{xy} = xy + 2$

A. 1/2 và 1

B. 0 và 1

C. 1/4 và 1

D. 1 và 2

$x^3 + y^3 + z^3 + 3(sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y} + sqrt[3]{z})$

A. 12

B. 3

C. 5

D. 11/2

Câu 12. Xét hai số thực a và y thỏa mãn phương trình 2x + 3y = 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + xy là bao nhiêu?

A. 3

B. 5

C. 6

D. 2

Câu 13. Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?

A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất

B. Hình vuông có diện tích lớn nhất

C. Không thể xác định hình nào có diện tích lớn nhất

D. Tất cả A, B và C đều không đúng

Đáp án chính xác là B

Câu 14. Xét hàm số f(x) = x - x^2. Kết luận nào dưới đây là chính xác?

A. f(x) có giá trị nhỏ nhất là 1/4

B. f(x) có giá trị lớn nhất là 1/2

C. f(x) có giá trị nhỏ nhất là -1/4

D. f(x) có giá trị lớn nhất là 1/4

Đáp án chính xác là D

Câu 15. Cho x và y là hai số thực sao cho xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x^2 + y^2

A. 2

B. 1

C. 0

D. 4

Đáp án chính xác là D

A. Giá trị nhỏ nhất của P là 1/4

B. Giá trị lớn nhất của P là 1/4

C. Giá trị lớn nhất của P là 1/2

D. P đạt giá trị cực đại khi a = 1/4

Lựa chọn chính xác là B

Câu 17. Xét ba số a, b và c với các điều kiện: a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 và c + a - b > 0. Để ba số a, b và c có thể trở thành ba cạnh của một tam giác, cần thêm điều kiện gì?

$\geqslant$

B. Phải có a, b, c > 0

C. Chỉ cần một trong ba số a, b, c là dương

D. Không cần thêm bất kỳ điều kiện nào khác

Lựa chọn chính xác là B

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2$ Bất đẳng thức là gì? Những loại bất đẳng thức phổ biến

Phương pháp giải trên:

A. Sai từ bước I

B. Sai từ bước II

C. Sai từ bước III

D. Tất cả I, II, III đều chính xác

Lựa chọn chính xác là D

5.2. Phần tự luận

Bài 1. Chứng minh rằng với a và b là hai số dương, ta có:

$(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geqslant 4$

Hướng dẫn giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và b

$\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$ $\geqslant 2\sqrt{ab}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 1/a và 1/b:

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geqslant \sqrt{\frac{1}{a} . \frac{1}{b}}$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} (2)$

Dựa vào (1) và (2) ta có:

$(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 2 \Leftrightarrow (a+b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geqslant 2\cdot 2\sqrt{ab \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} \Leftrightarrow (a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geqslant 4$

Bài 2. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.

a. Chứng minh rằng (b-c)^2 < a^2

b. Từ đó kết luận rằng a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + ac + bc)

Hướng dẫn giải

a. Xem xét (b-c)^2 - a^2 = (b - c + a)(b - c - a)

Theo điều kiện bài toán, ta có:

a + b > c => a + b - c > 0

a + c > b => a + c - b > 0

⇔ - (a + c - b) < 0

⇔ -a - c + b < 0

⇔ (b - c + a) (b - c - a) < 0

=> (b - c)^2 - a^2 < 0

=> (b-c)^2 < a^2

b. (b-c)^2 < a^2

(c-a)^2 < b^2

(a-b)^2 < c^2

Cộng ba biểu thức này, ta thu được:

(b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2 < a^2 + b^2 + c^2

⇔ b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ac + a^2 + a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - b^2 - c^2 < 0

⇔ b^2 + c^2 + a^2 - 2bc - 2ac - 2ab < 0

⇔ a^2 + b^2 + c^2 < 2ab + 2ac + 2bc

⇔ a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + ac + bc)

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]