Khái niệm về hạng trong đại số tuyến tính

Trong đại số tuyến tính, hạng của một ma trận A là số chiều của không gian vectơ được sinh bởi các vectơ cột của nó. Điều này tương đương với số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa của A, và do đó, cũng là số chiều của không gian vectơ sinh bởi các hàng của ma trận này. Vì vậy, hạng là một số chỉ tính 'không suy biến' của hệ phương trình tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính mà ma trận A biểu diễn. Cũng có nhiều định nghĩa tương đương khác của khái niệm hạng. Hạng của một ma trận là một trong những thuộc tính cơ bản nhất của nó.

Hạng của A thường được ký hiệu là rank(A) hoặc rk(A); và đôi khi cũng có thể được viết mà không có dấu ngoặc như sau, rank A.

Định nghĩa

Trong phần này, chúng ta sẽ cung cấp một số định nghĩa về hạng của một ma trận.

Hạng cột của ma trận A là số chiều của không gian cột của A, trong khi hạng hàng của ma trận A là số chiều của không gian hàng của A (tức là số hàng không phải là hàng zero của ma trận bậc thang rút gọn A_r).

Một kết quả quan trọng trong đại số tuyến tính là hạng cột và hạng hàng luôn bằng nhau. Giá trị này được gọi là hạng của ma trận A.

Một ma trận có hạng đầy đủ nếu hạng của nó bằng số hạng lớn nhất có thể của một ma trận cùng kích thước, và đó là giá trị nhỏ hơn trong hai số hàng và số cột của A. Ngược lại, một ma trận có thiếu hạng nếu nó không đạt được hạng đầy đủ.

Hạng cũng là số chiều của không gian ảnh của biến đổi tuyến tính được xác định bởi phép nhân với ma trận A.

Nói chung, nếu một toán tử tuyến tính $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$ trên một không gian vectơ (có thể có số chiều vô hạn), có ảnh là một không gian chiều hữu hạn (ví dụ, một toán tử hữu hạn hạng), thì hạng của toán tử được xác định là số chiều của ảnh:

$\mathrm{hạng}<!--\; \; -->\left(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\right):=\dim <!--\; \; -->(\mathrm{img}<!--\; \; -->(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\left)\right)$

trong đó $\dim$ là số chiều của không gian vectơ, và $\mathrm{img}$ là ảnh của ánh xạ (toán tử).

Ví dụ

Ma trận dưới đây

có hạng là 2: bởi vì hai cột đầu của nó là độc lập tuyến tính, do đó hạng ít nhất là 2. Tuy nhiên, vì cột thứ ba là một tổ hợp tuyến tính của hai cột đầu (nó là cột thứ nhất trừ đi cột thứ hai), ba cột này là phụ thuộc tuyến tính, vì vậy hạng phải nhỏ hơn 3.

Ma trận

có hạng là 1: vì có các cột khác không, do đó hạng là một số dương. Tuy nhiên, bất kỳ cặp cột nào cũng phụ thuộc tuyến tính. Tương tự, chuyển vị của nó

cũng có hạng là 1.

Thật vậy, vì các cột của ma trận A là các hàng của chuyển vị của A, do đó theo mệnh đề rằng hạng của các cột của một ma trận bằng hạng của các hàng, ta có mệnh đề tương đương rằng hạng của một ma trận bằng hạng của chuyển vị của nó, rank(A) = rank(A).

Một vài ví dụ khác

Xác định hạng của ma trận

Chuyển ma trận về dạng bậc thang

Một cách thông dụng để tính hạng của ma trận là biến đổi nó thành dạng đơn giản hơn, thường là dạng bậc thang rút gọn, bằng các phép biến đổi hàng cơ bản. Những phép biến đổi này không thay đổi không gian hàng (do đó không làm thay đổi hạng hàng), và do tính nghịch đảo của chúng, chúng ánh xạ không gian cột vào một không gian tương đương (vì thế cũng không làm thay đổi hạng cột). Khi chuyển đổi thành dạng bậc thang rút gọn, hạng của hàng và cột là như nhau và bằng số phần tử chính (pivot), cũng là số cột chính, tức số hàng khác không.

Ví dụ, ma trận A được đưa ra như sau

có thể chuyển thành dạng bậc thang rút gọn bằng các phép biến đổi hàng cơ bản sau đây:

.

Ma trận cuối cùng đã được đưa về dạng hàng bậc thang rút gọn với hai hàng khác không và do đó hạng của ma trận A là 2.

Tính toán

Khi thực hiện tính toán với số thập phân trên máy tính thời gian thực, việc sử dụng phương pháp khử Gauss (phân tích LU) có thể không hiệu quả, vì vậy nên sử dụng một thuật toán phân tích hạng khác. Một phương pháp thay thế hiệu quả là phép phân tích giá trị suy biến (SVD), tuy nhiên có các phương pháp ít tốn kém hơn như phân tích QR với việc chọn phần tử chính (gọi là phân tích tìm hạng QR), vẫn mạnh mẽ hơn trong tính toán so với phép khử Gauss. Xác định hạng bằng số yêu cầu một tiêu chuẩn để quyết định khi nào một giá trị (ví dụ như một giá trị suy biến từ SVD) nên được xem như bằng 0, một lựa chọn thực tế phụ thuộc vào cả ma trận và mục đích ứng dụng.

Chứng minh hạng bằng hạng cột

Một kết quả cơ bản trong đại số tuyến tính là hạng hàng và hạng cột của một ma trận là như nhau. Có nhiều chứng minh đã được đưa ra, trong đó một trong những chứng minh đơn giản nhất đã được trình bày trong phần trước. Dưới đây là một biến thể của cách chứng minh này:

Dễ dàng nhận thấy việc thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp không làm thay đổi hạng hàng và hạng cột của ma trận. Bởi vì phép khử Gauss chính là thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp, dạng hàng bậc thang rút gọn của ma trận có cùng hạng hàng và hạng cột với ma trận ban đầu. Tiếp tục thực hiện các biến đổi sơ cấp trên cột để đưa ma trận về dạng ma trận đơn vị có thể với các hàng và cột chứa toàn số 0. Thao tác này không làm thay đổi hạng hàng hay hạng cột. Ta thấy hạng hàng và hạng cột của ma trận kết quả đều bằng nhau và bằng số lượng phần tử khác không trong ma trận.

Dưới đây là hai cách chứng minh khác của kết quả này. Chứng minh thứ nhất dựa trên tính chất cơ bản của tổ hợp tuyến tính của các vectơ, áp dụng cho mọi trường hợp. Chứng minh này dựa trên Wardlaw (2005). Chứng minh thứ hai sử dụng tính trực giao và áp dụng cho ma trận trên trường số thực, dựa trên Mackiw (1995). Cả hai chứng minh này được đề cập trong sách của Banerjee và Roy (2014).

Chứng minh bằng tổ hợp tuyến tính

Chứng minh bằng tính trực giao

Cho A là một ma trận m × n với các phần tử là số thực và hạng hàng là r. Vì vậy, số chiều của không gian hàng của A là r. Giả sử x₁, x₂, …, x_r là một cơ sở của không gian hàng của A. Chúng ta khẳng định rằng các vectơ Ax₁, Ax₂, …, Ax_r là độc lập tuyến tính. Để chứng minh điều này, giả sử có một liên hệ tuyến tính với các vectơ trên với các hệ số vô hướng c₁, c₂, …, cr:

$0=c_{1}A{x}_1+c_{2}A{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_{r}A{x}_r=A\left(c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_r{x}_r\right)=Av,$

trong đó v = c₁x₁ + c₂x₂ + ⋯ + c_rx_r. Quan sát rằng: (a) v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong không gian hàng của A, suy ra v thuộc không gian hàng của A, và (b) vì Av = 0, vectơ v trực giao với mọi vectơ hàng của A và, vì vậy, cũng trực giao với toàn bộ các vectơ trong không gian hàng của A. Từ (a) và (b) ta suy ra v trực giao với chính nó, dẫn đến v = 0 hay là, theo định nghĩa của v,

$c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_r{x}_r=0.$

Tuy nhiên, các vectơ x_i là các vectơ cơ sở của không gian hàng của A và do đó độc lập tuyến tính. Vì vậy, c₁ = c₂ = ⋯ = cr = 0. Do đó, Ax₁, Ax₂, …, Ax_r cũng độc lập tuyến tính.

Do đó, mỗi vectơ Ax_i rõ ràng thuộc không gian cột của A. Vì thế, Ax₁, Ax₂, …, Ax_r là một tập hợp r vectơ độc lập tuyến tính trong không gian cột của A, suy ra số chiều của không gian cột của A (hay hạng cột của A) phải ít nhất bằng r. Điều này cho thấy hạng hàng của A không lớn hơn hạng cột của A. Áp dụng kết quả này với ma trận chuyển vị của A để có bất đẳng thức chiều ngược lại và kết thúc như chứng minh trước.

Các định nghĩa khác

Trong tất cả các định nghĩa sau đây, ma trận A được xem như có kích thước m × n trên một trường F bất kỳ.

Đối với ma trận A, đây là biểu diễn của một ánh xạ tuyến tính

$f:F^n\to <!--\; \to \; -->F^m$

được định nghĩa bởi

$f\left(x\right)=Ax$.

Hạng của A là số chiều của không gian ảnh của f. Định nghĩa này có ưu điểm là có thể áp dụng cho bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào mà không cần biết cụ thể ma trận biến đổi.

Đối với biến đổi tuyến tính f như trên, hạng là n trừ đi số chiều của không gian nhân tố chung của f (số vô hiệu). Từ định lý về hạng và số vô hiệu suy ra định nghĩa này tương đương với định nghĩa trước đó.

Hạng của ma trận A là số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa c₁, c₂, …, c_k của A; đây chính là số chiều của không gian cột của A, nơi mà là không gian con của F được sinh ra bởi các vector cột của A, mà cũng chính là ảnh của ánh xạ tuyến tính f liên kết với A

Hạng của ma trận A là số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa của A; đây là số chiều của không gian hàng của A.

Hạng của A là số nguyên nhỏ nhất k sao cho A có thể được phân tích thành $A=CR$, trong đó C là một ma trận m × k và R là ma trận k × n. Thật vậy, với mọi số nguyên k, những điều sau đây là tương đương: $\left(1\right)\iff <!--\; \iff \; -->\left(2\right)\iff <!--\; \iff \; -->\left(3\right)\iff <!--\; \iff \; -->\left(4\right)\iff <!--\; \iff \; -->\left(5\right)$ (xem phần trên)

1. hạng cột của A nhỏ hơn hoặc bằng k,
2. Tồn tại k cột c₁, …, c_k cỡ m sao cho mỗi cột của A là một tổ hợp tuyến tính của c₁, …, c_k,
3. tồn tại một ma trận C cỡ m × k và một ma trận R cỡ k × n sao cho A = CR (nếu k là hạng, tích này gọi là phân tích hạng của A),
4. tồn tại k hàng r₁, …, r_k cỡ n sao cho mỗi hàng của A là một tổ hợp tuyến tính của r₁, …, r_k,
5. hạng hàng của A nhỏ hơn hoặc bằng k.

Để chứng minh mệnh đề (3) từ mệnh đề (2), chọn C là ma trận có các cột là c₁, …, c_k từ (2). Để chứng minh (2) từ (3), chọn c₁, …, c_k là các cột của C.

Từ sự tương đương $\left(1\right)\iff <!--\; \iff \; -->\left(5\right)$ suy ra hạng hàng bằng hạng cột.

Hạng của A là số giá trị suy biến khác 0, cũng chính là số phần tử khác 0 trên đường chéo của Σ trong phân tích giá trị riêng của $A=U\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{V}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$.

Hạng của A là bậc lớn nhất của các định thức con trong A. (Bậc của một định thức con là số chiều của ma trận vuông con mà nó là định thức.) Tương tự như định nghĩa theo phân tích hạng, định nghĩa này không giúp tính toán hạng của ma trận một cách hiệu quả, nhưng lại có ý nghĩa lý thuyết cao: bậc của một định thức con có giới hạn dưới là hạng của ma trận, điều này hữu ích trong các chứng minh liên quan đến sự giảm hạng của ma trận.

Ma trận có một định thức con bậc p khác 0 (của ma trận con có kích thước p × p với định thức khác 0) cho thấy các hàng và cột của ma trận con đó là độc lập tuyến tính, và do đó các hàng và cột của ma trận đầy đủ cũng là độc lập tuyến tính, vì vậy hạng cột và hạng hàng ít nhất bằng hạng theo định thức. Tuy nhiên, điều ngược lại không dễ chứng minh. Để làm rõ sự tương đương giữa hạng theo định thức và hạng cột, cần phải làm mạnh hơn mệnh đề rằng nếu span của n vectơ có số chiều p, thì chỉ cần p trong số n vectơ đó để sinh ra không gian đó (một cách tương đương, có thể chọn một tập con của các vectơ làm hệ sinh), từ đó suy ra rằng một tập con của các hàng và một tập con của các cột đồng thời xác định một ma trận con khả nghịch.

Tính chất

Giả sử A là một ma trận m × n, và ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính f liên hệ với nó bởi f(x) = Ax như đã nêu.

• Hạng của một ma trận m × n là một số nguyên không âm và không vượt quá m hoặc n. Điều này có nghĩa là,

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right)\le <!--\; \le \; -->min(m,n).$

Một ma trận có rank bằng min(m, n) được gọi là có hạng đầy đủ; nếu không thì gọi là hạng thiếu.

• Chỉ có ma trận không có hạng bằng 0.
• $r\left(A\right)=r\left(A^T\right)$, trong đó A là ma trận thực.
• Nếu hai ma trận A và B tương đương thì $r\left(A\right)=r\left(B\right)$.
• f là một-đến-một khi và chỉ khi ma trận A có hạng bằng n (trong trường hợp này ta nói A có hạng cột đầy đủ).
• f là toàn-ánh khi và chỉ khi A có hạng bằng m (trong trường hợp này ta nói A có hạng hàng đầy đủ).
• Nếu A là một ma trận vuông (nghĩa là m = n), thì A khả nghịch khi và chỉ khi A có hạng bằng n (tức là A có hạng đầy đủ).
• Nếu B là một ma trận có kích thước n × k bất kỳ, thì chúng ta có bất đẳng thức

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(AB\right)\le <!--\; \le \; -->min(\mathrm{rank}<!--\; \; -->(A),\mathrm{rank}<!--\; \; -->(B\left)\right).$

• Giả sử B là một ma trận n × k có hạng bằng n, ta có

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(AB\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right).$

• Cho C là một ma trận l × m có hạng bằng m

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(CA\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right).$

• Ma trận A có hạng bằng r nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận nghịch đảo X kích thước m × m và ma trận nghịch đảo Y kích thước n × n sao cho

ở đó Ir là ma trận đơn vị r × r.

• Bất đẳng thức hạng Sylvester: nếu A là ma trận m × n và B là ma trận n × k, ta có

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right)+\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(B\right)-<!--\; -\; -->n\le <!--\; \le \; -->\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(AB\right).$

Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức tiếp theo.

• Bất đẳng thức của Frobenius: nếu tích các ma trận AB, ABC và BC được xác định thì ta có

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(AB\right)+\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(BC\right)\le <!--\; \le \; -->\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(B\right)+\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(ABC\right).$

• Tính tổng:

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->(A+B)\le <!--\; \le \; -->\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right)+\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(B\right)$

với điều kiện rằng A và B có cùng kích thước. Do đó, một ma trận có hạng bằng k có thể được biểu diễn như một tổng của tối đa k ma trận có hạng bằng 1.

• Hạng tổng với số chiều của nhân của ma trận bằng số cột của ma trận. (Đây là định lý về hạng và số vô hướng.)
• Nếu A là một ma trận trên trường số thực thì hạng của A và hạng của ma trận Gram tương ứng bằng nhau. Vì vậy, đối với ma trận thực

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A^{T}A\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A{A}^T\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A^T\right).$

Điều này có thể được chứng minh bằng cách rằng không gian hạt nhân của chúng là giống nhau, dẫn đến số chiều bằng nhau. Không gian hạt nhân của ma trận Gram được cho bởi các vector x thỏa mãn $A^{T}Ax=0.$ Nếu điều kiện này được thỏa mãn, chúng ta cũng sẽ có $0=x^T{A}^{T}Ax={\left|Ax\right|}^2.$

• Nếu A là một ma trận trên trường số phức và $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$ là ma trận chuyển vị liên hợp của A (hay còn gọi là liên hợp Hermite của A), thì

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A^T\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A\right)=\mathrm{rank}<!--\; \; -->\left(A{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right).$

Ứng dụng

Một ứng dụng quan trọng của việc tính hạng của ma trận là trong việc xác định số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Theo định lý Rouché–Capelli, hệ phương trình là không thể giải được nếu hạng của ma trận bổ sung lớn hơn hạng của ma trận hệ số. Ngược lại, nếu hai hạng này bằng nhau thì hệ phương trình có ít nhất một nghiệm duy nhất. Trường hợp nghiệm tổng quát có k tham số tự do, với k là hiệu giữa số biến và hạng của ma trận. Trong trường hợp này (và giả sử hệ phương trình số thực hoặc số phức), hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trong lý thuyết điều khiển, hạng của ma trận được sử dụng để đánh giá tính điều khiển hoặc quan sát của một hệ thống tuyến tính.

Trong lĩnh vực độ phức tạp truyền thông, hạng của ma trận truyền thông xác định lượng thông tin tối thiểu cần thiết để hai bên tính toán chức năng.

Tổng quát hóa

Có nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm hạng của ma trận trên các vòng tùy ý, trong đó hạng cột, hạng hàng, số chiều của không gian cột và hàng của ma trận có thể khác nhau hoặc không tồn tại.

Xem ma trận là một tensor, hạng tensor là khái niệm tổng quát cho các tensor tùy ý; đối với tensor bậc lớn hơn 2 (tensor bậc 2 là ma trận), việc tính toán hạng rất phức tạp, không giống với ma trận.

Có khái niệm về hạng cho các ánh xạ trơn giữa các đa tạp trơn. Đây tương đương với hạng tuyến tính của đạo hàm của ánh xạ.

• Độc lập tuyến tính

Chú thích

1. ^ Chứng minh: Áp dụng định lý về hạng và số chiều của hạt nhân cho bất đẳng thức

   $\dim <!--\; \; -->\ker <!--\; \; -->\left(AB\right)\le <!--\; \le \; -->\dim <!--\; \; -->\ker <!--\; \; -->\left(A\right)+\dim <!--\; \; -->\ker <!--\; \; -->\left(B\right)$.

2. ^ Chứng minh: Ánh xạ

   $C:\ker <!--\; \; -->\left(ABC\right)/\ker <!--\; \; -->\left(BC\right)\to <!--\; \to \; -->\ker <!--\; \; -->\left(AB\right)/\ker <!--\; \; -->\left(B\right)$

   được định nghĩa đúng và là đơn ánh. Vì thế ta có thể thu được bất đẳng thức với số chiều của hạt nhân, từ đây có thể chuyển thành bất đẳng thức với hạng nhờ định lý về hạng và số chiều của hạt nhân. Một cách khác, nếu M là một không gian con tuyến tính thì dim(AM) ≤ dim(M); áp dụng bất đẳng thức này cho không gian con được định nghĩa bởi phần bù (trực giao) của không gian ảnh của BC trong không gian ảnh của B, có số chiều là rk(B) − rk(BC); ảnh của nó dưới biến đổi A có số chiều rk(AB) – rk(ABC).

Đọc thêm

• Roger A. Horn và Charles R. Johnson (1985). Phân tích ma trận. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Kaw, Autar K. Hai chương từ cuốn sách Giới thiệu về Đại số Ma trận: 1. Véc-tơ [1] và Hệ phương trình [2]
• Mike Brookes: Hướng dẫn tham khảo Ma trận. [3]