Khái niệm về hình vuông là gì? Làm thế nào để nhận diện hình vuông?

1. Khái niệm về hình vuông

Hình vuông là một tứ giác với bốn góc vuông và bốn cạnh có chiều dài bằng nhau.

Tứ giác ABCD là một hình vuông nếu và chỉ nếu tất cả các góc của nó đều bằng 90° (góc A = góc B = góc C = góc D = 90°).

Và các cạnh của nó thỏa mãn điều kiện AB = BC = CD = DA.

Theo định nghĩa về hình vuông, chúng ta có thể kết luận rằng:

• Hình vuông là một loại hình chữ nhật với bốn cạnh có độ dài bằng nhau
• Hình vuông cũng là một loại hình thoi với bốn góc vuông

Do đó, hình vuông có tính chất của cả hình chữ nhật và hình thoi.

2. Đặc điểm của hình vuông

Hình vuông hội tụ tất cả các đặc điểm của cả hình chữ nhật và hình thoi, cụ thể như sau:

• Cả hai đường chéo đều bằng nhau, cắt nhau vuông góc và giao nhau tại điểm giữa của mỗi đường
• Có hai cặp cạnh song song
• Tất cả bốn cạnh đều bằng nhau
• Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, với tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo
• Mỗi đường chéo chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau
• Điểm giao của các đường phân giác, trung tuyến và đường trung trực đều trùng nhau tại một điểm duy nhất.

3. Cách nhận diện hình vuông

• Hình chữ nhật với hai cạnh kề bằng nhau sẽ là hình vuông
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
• Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
• Hình thoi có một góc vuông sẽ là hình vuông
• Hình thoi với hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

Chú ý: Nếu một tứ giác vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, thì tứ giác đó chắc chắn là hình vuông.

4. Công thức tính chu vi của hình vuông

Chu vi là tổng chiều dài của các cạnh bao quanh một hình hai chiều.

Chu vi của hình vuông chính là tổng chiều dài của bốn cạnh của nó; hoặc bạn có thể tính chu vi bằng cách nhân độ dài của một cạnh với 4.

Công thức tính chu vi hình vuông:

P = a x 4

Trong đó:

• P: Chu vi của hình vuông
• a: chiều dài của một cạnh

Ví dụ: Tính chu vi của hình vuông có cạnh dài 4 cm.

Giải

Chu vi của hình vuông là: P = 4 x 4 = 16 cm

5. Công thức tính diện tích của hình vuông

Diện tích của hình vuông chính là kích thước của vùng mặt phẳng mà hình vuông bao phủ, là phần mà chúng ta có thể quan sát được của hình vuông.

Diện tích của hình vuông được tính bằng cách lấy chiều dài cạnh hình vuông và bình phương nó.

Công thức tính diện tích hình vuông:

S = a x a = a2

Trong đó:

• S: diện tích
• a: chiều dài của các cạnh của hình vuông

Ví dụ: Hình vuông ABCD có chu vi là 28cm. Tính diện tích của hình vuông ABCD.

Giải

P = 4 x a ⇒ a = 28 ÷ 4 = 7cm

Diện tích của hình vuông ABCD: S = 7 x 7 = 49cm²

6. Các loại bài tập liên quan đến hình vuông

6.1. Loại 1: Nhận diện hình vuông

Phương pháp giải quyết:

- Cách 1: Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật nếu có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc hai đường chéo vuông góc, hoặc một đường chéo là phân giác của góc.

- Cách 2: Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi nếu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.

Bài 1. Dựa vào hình cho trước, tứ giác AEDF thuộc loại hình gì? Giải thích lý do.

Giải đáp

Tứ giác AEDF là hình vuông vì:

Nhìn vào hình, ta thấy góc A, góc E, và góc F đều bằng 90°

Vì tứ giác có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật (DHNB).

Xem xét hình chữ nhật AEDF với AD là đường phân giác của góc A (góc FAE = góc EAD = 45°)

⇒ AEDF là hình vuông (DHNB)

Bài 2. Trong hình chữ nhật ABCD với AB = 2AD. E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. M là điểm giao của AF và DE, N là điểm giao của BF và CE.

a. Hình ADFE là gì?

b. Hình MENF là gì?

Giải đáp

a. Nếu AD = a thì AB = 2a

Vì E là trung điểm của AB và F là trung điểm của DC

với AB = DC và AB = 2AD

⇒ AE = EB = BC = CF = FD = AD = BC = EF = a

Xem tứ giác ADFE với 4 cạnh bằng nhau là AD = DF = EF = AE = a

⇒ ADFE là hình thoi

Xem hình thoi ADFE với góc DAE = 90°

⇒ ADFE là hình vuông (DHNB)

b. Tương tự câu a, ta cũng có thể chứng minh rằng tứ giác EBCF là hình vuông.

Vì hình vuông AEFD và hình vuông EFCB đều có cạnh bằng a, nên hai hình vuông này là bằng nhau.

Áp dụng tính chất của đường chéo vào hai hình vuông ADFE và MENF, ta có:

AF vuông góc với DE, EC vuông góc với FB, do đó góc EMF = góc ENF = 90°

Ta có: góc DEF cộng góc EDF = 90°

góc FCE cộng góc CEF = 90°

vì góc EDF = góc ECF (theo tính chất đường chéo trong hình vuông)

⇒ góc DEF cộng góc CEF = 90°, tức là góc MEN = 90°

Xem xét tứ giác MFNE với góc MEN = góc ENF = góc EMF = 90°

⇒ MFNE là hình chữ nhật (DHNB)

EF cũng là đường phân giác của góc MEN (vì góc DEF = góc FEC = 45°)

⇒ Tứ giác MFNE là hình vuông (DHNB)

Bài 3. Các câu sau đây đúng hay sai?

A. Nếu hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình vuông

B. Nếu hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình vuông

C. Nếu hình thoi có hai đường chéo vuông góc thì nó là hình vuông

D. Nếu hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình vuông

6.2. Loại 2: Áp dụng định nghĩa và tính chất của hình vuông để chứng minh các mối quan hệ về độ dài, song song, vuông góc và thẳng hàng

Phương pháp giải: dựa vào định nghĩa, tính chất và bổ đề liên quan đến hình vuông

Bài 4. Trong hình vuông ABCD, lấy M trên BC và N trên CD sao cho BM = CN và AM vuông góc với BN

Giải đáp

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta có:

AB = BC

góc A = góc B = 90°

BM = CN

⇒ Tam giác ABM đồng dạng với tam giác BCN (cgc), do đó AM = BN

Gọi I là giao điểm của AM và BN

- Áp dụng tính chất về góc vào các tam giác vuông ABM và BCN, ta có:

góc BAM cộng góc AMB = 90°

góc BAM = góc NBC

⇒ góc AMB + góc NBC = 90° (1)

Áp dụng tính chất về góc trong tam giác BIM, ta có:

góc IBM + góc BIM + góc IMB = 180° (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc BIM = 180° - 90° = 90°, tức là AM vuông góc với BN

Bài 5. Trong hình vuông ABCD, lấy điểm M trên BC, và kẻ AN vuông góc với AM (N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh các kết luận sau:

a. AM = AN

b. B, I, D nằm trên một đường thẳng

Giải đáp

a. Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta có:

góc DAB = góc ABC = góc CDA

góc A1 + góc A2 = góc A2 + góc A3 = góc DAB = 90° ⇒ góc A1 = góc A3

AB = AD

- Xem xét tam giác ABM và tam giác ADN, ta có

góc B = góc D = 90°

AB = AD

góc A1 = góc A3

⇒ tam giác ABM đồng dạng với tam giác ADN (gcg)

⇒ AM = AN

Khi nối IA và IC, chúng ta thấy rằng IA và IC lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông AMN và CMN.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến với cạnh huyền trong hai tam giác vuông này và sử dụng định lý hình vẽ, ta có:

IA = IC = 1/2 MN

BA = BC

Điều này chứng minh rằng hai điểm B và I cách đều hai điểm A và C, do đó BI là đường trung trực của đoạn AC.

Theo tính chất đường chéo trong hình vuông, BD là đường trung trực của đoạn AC, và vì đoạn AC chỉ có một đường trung trực duy nhất, nên BI trùng với BD, tức là B, I, D nằm trên cùng một đường thẳng.

6.3. Dạng 3: Xác định điều kiện để một hình trở thành hình vuông

Phương pháp giải:

- Áp dụng các dấu hiệu nhận diện hình vuông

- Nếu bài toán yêu cầu tìm vị trí của một điểm sao cho hình trở thành hình vuông, thực hiện theo các bước sau:

Giả sử hình đó là hình vuông và sử dụng các tính chất của hình vuông để xác định vị trí cần tìm.

Bài 6. Cho tam giác ABC, với D là điểm nằm giữa B và C. Từ D, vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB tại các điểm E và F tương ứng.

a. AEDF là loại hình gì?

b. Điểm D cần nằm ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF trở thành hình thoi?

c. Nếu tam giác ABC vuông tại A, tứ giác AEDF là hình gì? Điểm D phải ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình vuông?

Đáp án

a. Tứ giác AEDF là hình bình hành

Giải thích: Theo giả thiết, DE // AC và DF // AB

⇒ DE // AF và DF // AE

Vì các cặp cạnh đối diện của tứ giác AEDF đều song song, nên nó là hình bình hành

b. Nếu AEDF là hình thoi, theo tính chất đường chéo của hình thoi, AD sẽ là đường phân giác của góc A.

Do đó, nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC, thì tứ giác AEDF sẽ là hình thoi.

c. Trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A, hình bình hành AEDF sẽ là hình chữ nhật. Nếu tam giác ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC, thì AEDF không chỉ là hình chữ nhật mà còn là hình thoi, vì vậy nó sẽ là hình vuông.