Buzz
1. Trung điểm của đoạn thẳng là gì?
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm ở giữa, chia đoạn thẳng thành hai đoạn bằng nhau. Nó còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Ví dụ minh họa: Cho hai điểm A và C nằm trên cùng một đường thẳng, tạo thành đoạn thẳng AC. Điểm B nằm giữa A và C nếu A, B và C là ba điểm thẳng hàng theo đúng thứ tự đó.
Điểm B được xem là trung điểm của đoạn thẳng AC nếu B chia đoạn thẳng AC thành hai đoạn AB và BC có chiều dài bằng nhau.
Ví dụ, nếu đoạn thẳng AC dài 8 cm, điểm B phải chia đoạn AC thành hai đoạn AB và BC mỗi đoạn dài 4 cm để B được coi là trung điểm của đoạn thẳng AC.
2. Đặc điểm của trung điểm đoạn thẳng
Khi điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC, ta có các đặc điểm sau:
- Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
- Chiều dài đoạn thẳng AB bằng với đoạn BC, tức là AB = BC và tổng AB + BC = AC.
Từ đó, chúng ta có thể vẽ trung điểm của đoạn thẳng như sau: Trên đoạn thẳng AC, chọn điểm B sao cho AB = 1/2 AC. Khi đó, B chính là trung điểm của đoạn thẳng AC.
Ví dụ: Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OC = 3 cm và OB = 6 cm.
a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không?
b) So sánh chiều dài OA và AB.
c) Liệu điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Tại sao?
Hướng dẫn giải:
a) Trên tia Ox, chúng ta có: OA = 3 cm, OB = 6 cm => OA < OB
Các điểm A và B đều nằm trên tia Ox, nghĩa là ba điểm O, A và B là ba điểm thẳng hàng.
Do đó, điểm A nằm giữa hai điểm O và B.
b) Vì điểm A nằm giữa O và B, nên có thể tính được:
OB = OA + AB => AB = OB - OA = 6 - 3 = 3 cm
=> OA = AB = 3 cm
c) Như vậy, ta có:
Điểm A nằm giữa hai điểm O và B.
OA = AB = 3 cm
=> A chính là trung điểm của đoạn thẳng OB
3. Làm thế nào để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng?
3.1 Chứng minh dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng
Để chứng minh một điểm là trung điểm của đoạn thẳng, ta dựa vào định nghĩa của nó và có thể thực hiện theo 3 bước như sau:
Cho ba điểm A, B và C. Để chứng minh B là trung điểm của đoạn thẳng AC, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Xác minh rằng điểm B nằm giữa hai điểm A và C, tức là B thuộc đoạn thẳng AC.
Bước 2: Chứng minh rằng chiều dài của hai đoạn thẳng AB và BC bằng nhau, tức là AB = BC và AB + BC = AC.
Bước 3: Kết luận rằng B là trung điểm của đoạn thẳng AC dựa vào hai yếu tố: nằm giữa và chia đoạn thẳng thành hai đoạn bằng nhau.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB dài 8 cm với M là trung điểm của AB. Trên đoạn AB, chọn hai điểm C và D sao cho AC = BD = 3 cm. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Hướng dẫn giải:
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên MA = MB = 4 cm.
M và C đều nằm về phía cùng với A, và AM > AC, do đó, C nằm giữa A và M.
=> MC = MA - CA = 1 cm
Tương tự, ta có: MD = 1 cm
Ngoài ra: CD = AB - AC - BD = 8 - 3 - 3 = 2 cm
Vì vậy:
MC = MD = 1 cm
MC cộng với MD bằng CD
=> M là trung điểm của CD (điều cần chứng minh)
3.2. Chứng minh dựa vào các tính chất của tam giác (phương pháp lớp 7)
Để chứng minh theo phương pháp này, trước tiên bạn cần nắm rõ các tính chất của trung điểm trong tam giác.
Xét tam giác ABC với M, N và P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA và AB.
Trong trường hợp này: AM, BN và CP lần lượt là các đường trung tuyến của các cạnh BC, CA và AB. Ba đường trung tuyến này cắt nhau tại điểm G, gọi là trọng tâm của tam giác ABC. Các đoạn MN, NP và PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.
Tính chất của trọng tâm: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì AG, BG và CG đi qua các trung điểm của các cạnh BC, CA và AB tương ứng. Đồng thời: AG / AM = BG / BN = CG / CP = 2 / 3.
Tính chất của đường trung bình: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC, thì MN song song với và bằng một nửa độ dài của cạnh đáy tương ứng.
Ví dụ: Xét tam giác ABC với AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng đi qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA tại F, G, K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn BC.
Hướng dẫn giải:
Xem xét tam giác BCK với các điều kiện sau:
BF vừa là đường cao vừa là phân giác, do đó tam giác BCK là tam giác cân tại đỉnh B.
=> BC = BK và BF đồng thời là đường trung tuyến.
=> CF = FK.
Xem xét tam giác CKA, ta có CF = FK và CD = DA.
=> FD là đường trung bình của tam giác.
=> FD // AB suy ra MD // AB.
Vì CD = DA, nên => CMCB = CDCA = 12.
=> M là điểm giữa của đoạn BC.
3.3. Phương pháp chứng minh trung điểm dựa vào tính chất của tứ giác đặc biệt (cách chứng minh lớp 8).
Tính chất của đường trung bình trong hình thang: Trong hình thang ABCD với hai đáy AB và CD, MN được gọi là đường trung bình của hình thang nếu MN // AB và MN = 1/2 (AB + CD), với M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
3.4. Phương pháp chứng minh trung điểm dựa vào tính chất của đường tròn (theo phương pháp lớp 9).
Phương pháp này dựa vào mối quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.
Trong một đường tròn có tâm O và đường kính AB, nếu MN là một dây cung bất kỳ và AB vuông góc với MN, thì AB sẽ đi qua trung điểm của MN. Ngược lại, nếu AB đi qua trung điểm của MN, thì AB sẽ vuông góc với MN.
Ví dụ: Xét tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A và B của (O) giao nhau tại M. Cát tuyến MPQ của (O) (với P nằm giữa M và Q) song song với BC và cắt AC tại E. Chứng minh E là trung điểm của PQ.
Hướng dẫn giải:
Vì MA và MB là các tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O) nên MA = MB.
Xét các tam giác MAO và MBO có:
MA = MB (đã chứng minh ở trên)
MO là chung
OA = OB
=> Tam giác MAO bằng tam giác MBO (cạnh - cạnh - cạnh)
=> Góc MOA bằng góc MOB
=> Góc MOA = góc AOB / 2 (1)
Vì PQ // BC => Góc MEA = góc BCA (đồng vị)
Góc BCA = góc AOB / 2 => Góc MEA = góc AOB / 2 (2)
Dựa vào (1) và (2) => Góc MEA = góc MOA
=> Tứ giác MOEA là tứ giác nội tiếp
=> Góc MEO = góc MAO = 90 độ (do MA là tiếp tuyến)
=> EO vuông góc với dây cung PQ
=> E là trung điểm của PQ (điều cần chứng minh)
. Phương pháp chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng
Hai điểm A và B được coi là đối xứng qua một đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn AB. Điều này có nghĩa là AB sẽ vuông góc với d và d đi qua trung điểm của AB.
