Khái niệm vectơ trong không gian và mối quan hệ vuông góc trong môn Toán lớp 11

Buzz

Nội dung bài viết

1. Các khái niệm lý thuyết về vectơ trong không gian

2. Kiến thức lý thuyết về các mối quan hệ vuông góc trong không gian

3. Một số bài tập ứng dụng liên quan

Xem thêm

Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về vectơ và các mối quan hệ vuông góc trong không gian thuộc chương trình Toán 11. Hãy tham khảo để cải thiện hiệu quả học tập của bạn.

1. Các khái niệm lý thuyết về vectơ trong không gian

rac{1}{2}(overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB})

rac{1}{3}(overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB} + overrightarrow{OC})

2. Kiến thức lý thuyết về các mối quan hệ vuông góc trong không gian

- Các đường thẳng vuông góc:

+ Hai đường thẳng được coi là vuông góc nếu góc tạo thành giữa chúng là 90°. Ký hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b

+ Nếu hai đường thẳng song song, thì nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau.

- Ba đường thẳng vuông góc:

+ Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo hướng vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

+ Để đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P), thì điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b phải vuông góc với hình chiếu a’ của a trên mặt phẳng (P).

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Ký hiệu d ⊥ (α).

+ Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh còn lại của tam giác.

- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

+ Hai mặt phẳng được coi là vuông góc với nhau nếu góc tạo thành giữa chúng là 90°. Ký hiệu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau là (α) ⊥ (β).

+ Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Khi hai mặt phẳng vuông góc, bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P), thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

3. Một số bài tập ứng dụng liên quan

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D'. Ký hiệu overrightarrow{AB} = mathbf{a}, overrightarrow{AD} = mathbf{b}, overrightarrow{AA'} = mathbf{c}.

a) Tính vector overrightarrow{GG'} theo các vector overrightarrow{a}, overrightarrow{b}, overrightarrow{c}.

b) Chứng minh rằng đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

G không thuộc mặt phẳng (ABB'A') nên đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') là song song với nhau.

Bài 2. Trong không gian, xét tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = 1 − x − y, từ đó x + y + z = 1 và chúng ta cần chứng minh điều này.

$overrightarrow{OA}$

Tuy nhiên, dễ nhận thấy rằng tốt nhất là chọn bộ ba vectơ đồng phẳng trong đó điểm M chỉ xuất hiện một lần và vectơ chứa điểm M có hệ số bằng 1 như đã nêu ở phần giải thích câu a).

A. Giá của chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng.

B. Giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

C. Giá của chúng không đồng song với một mặt phẳng nào.

D. Giá của chúng đều song song với một mặt phẳng.

Đáp án đúng là C

B. Trong ba vectơ này, có hai vectơ cùng phương.

C. Một vectơ không cùng hướng với hai vectơ còn lại.

D. Hai trong ba vectơ này cùng hướng.

Đáp án đúng là C

Hai vectơ còn lại có thể không đồng phương, do đó ba vectơ có thể không nằm trên cùng một mặt phẳng.

Bài 5. Mệnh đề nào dưới đây là không đúng?

A. Vectơ không phải là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

B. Nếu hai vectơ có cùng độ dài và cùng phương, thì chúng là bằng nhau.

C. Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

D. Độ dài của vectơ chính là độ dài của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

Đáp án đúng là B.

Nếu hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng, thì chúng là bằng nhau.

Bài 6. Câu nào sau đây là đúng?

A. Ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng thì có giá song song với nhau.

B. Ba vectơ đồng phẳng thì giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng, thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu ba vectơ đôi một vuông góc với nhau, thì ba vectơ này sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng.

Đáp án chính xác là C

Khi ba vectơ cùng nằm trên một mặt phẳng, chúng sẽ đồng phẳng với nhau.

Bài 7. Hãy chọn mệnh đề chính xác trong số các mệnh đề sau đây:

$\underset{SB}{\rightarrow}$ $\underset{SD}{\rightarrow}$ $\underset{SA}{\rightarrow}$ $\underset{SC}{\rightarrow}$ $\underset{AB}{\rightarrow}$ $\underset{BC}{\rightarrow}$ $\underset{AB}{\rightarrow}$ $\underset{BC}{\rightarrow}$ $\underset{CD}{\rightarrow}$ $\underset{DA}{\rightarrow}$ $\underset{0}{\rightarrow}$ $\underset{AB}{\rightarrow}$ $\underset{AC}{\rightarrow}$ $\underset{AD}{\rightarrow}$

Đáp án chính xác là A

$\underset{SB}{\rightarrow}$ $\underset{SD}{\rightarrow}$ $\underset{SA}{\rightarrow}$ $\underset{SC}{\rightarrow}$ $\underset{SB}{\rightarrow}$ $\underset{SA}{\rightarrow}$ $\underset{SC}{\rightarrow}$ $\underset{SD}{\rightarrow}$ $\underset{AB}{\rightarrow}$ $\underset{DC}{\rightarrow}$ $\underset{AB}{\rightarrow}$ $\underset{AC}{\rightarrow}$ $\underset{AD}{\rightarrow}$ $\underset{AB}{\rightarrow}$ $\underset{AD}{\rightarrow}$ $\underset{AC}{\rightarrow}$ $\underset{AB}{\rightarrow}$ $\underset{CD}{\rightarrow}$

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Vectơ có những khái niệm lý thuyết nào trong không gian?

Vectơ trong không gian bao gồm các khái niệm cơ bản như độ dài, hướng, và các phép toán liên quan như cộng và trừ vectơ, giúp bạn nắm vững các tính chất của chúng.

Cách xác định hai đường thẳng có vuông góc với nhau như thế nào?

Hai đường thẳng được coi là vuông góc nếu góc tạo thành giữa chúng là 90°. Ký hiệu của chúng là a ⊥ b, và chúng có thể cắt nhau hoặc không.

Làm thế nào để kiểm tra ba đường thẳng có vuông góc trong không gian?

Để kiểm tra ba đường thẳng có vuông góc, bạn cần kiểm tra điều kiện rằng nếu một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì hai đường còn lại cũng sẽ vuông góc với nó.

Đường thẳng nào vuông góc với một mặt phẳng được định nghĩa như thế nào?

Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, và ký hiệu là d ⊥ (α).

Hai mặt phẳng có vuông góc với nhau có những đặc điểm gì?

Hai mặt phẳng được coi là vuông góc nếu góc tạo thành giữa chúng là 90°. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác, thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.