Khám phá 33 Thủ thuật Casio để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm Toán 12

1. Thủ thuật tư duy Casio để nhanh chóng xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

- Phương pháp thực hiện:

Bước 1: Để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trong khoảng [a;b], sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (Lập bảng giá trị).

Bước 2: Xem bảng giá trị trên máy tính, giá trị lớn nhất sẽ được hiển thị là max, còn giá trị nhỏ nhất là min.

Lưu ý: Thiết lập miền giá trị của biến x từ a đến b với bước nhảy (b-a)/19 (có thể làm tròn cho bước nhảy đẹp hơn). Nếu bài toán liên quan đến các hàm lượng giác như sinx, cosx, tanx, hãy chuyển máy tính sang chế độ Radian.

- Ví dụ cụ thể:

Xác định giá trị lớn nhất của hàm số y = x³ - 2x² - 4x + 1 trên khoảng [1;3]

A. max = 67 / 27

B. max = -2

C. max = -7

D. max = -4

Giải quyết:

Phương pháp 1: Sử dụng Casio

+ Sử dụng chức năng MODE 7 trên máy Casio với thiết lập Start 1 End 3 Step (3-1)/19

+ Xem bảng giá trị F(X), ta xác định giá trị lớn nhất F(x) đạt được là f(3) = -2

Do đó, max = -2, giá trị này đạt được khi x = 3 => Đáp án chính xác là B

Phương pháp 2: Giải bằng tay

+ Tạo bảng biến thiên:

+ Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận max = f(3) = -2

Nhận xét:

+ Qua ví dụ, ta nhận thấy sức mạnh của máy tính Casio, việc xác định Max chỉ cần quan sát bảng giá trị là đủ.

+ Đối với phương pháp tự luận để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ta thực hiện theo 3 bước:

• Bước 1: Xác định miền giá trị của biến x
• Bước 2: Tính đạo hàm và xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến
• Bước 3: Tạo bảng biến thiên và dựa vào bảng đó để đưa ra kết luận

+ Trong bài toán trên, vì miền giá trị của biến x đã được cho sẵn là [1;3], nên ta có thể bỏ qua bước 1.

2. Xác định nhanh khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

- Phương pháp thực hiện:

Phương pháp 1 với Casio: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 trên máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả, khoảng nào mà hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, ngược lại, khoảng nào hàm số giảm thì là khoảng nghịch biến.

Phương pháp 3 với Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ trên máy Casio (áp dụng cho bất phương trình bậc hai và bậc ba).

- Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm số y = 2x⁴ + 1 đồng biến trên khoảng nào?

Giải quyết:

+ Phương pháp 1: Sử dụng CASIO MODE 7

Để kiểm tra đáp án A, sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -10 End -1/2 Step 0.5

Khi x tăng lên, f(x) giảm dần => Đáp án A không chính xác

Tương tự, để kiểm tra đáp án B, dùng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 9 Step 0.5

Khi x tăng, f(x) cũng tăng => Đáp án B là chính xác

+ Phương pháp 2: Sử dụng CASIO ĐẠO HÀM

Khi đạo hàm âm (hàm số nghịch biến) => Giá trị -1/2 -0.1 vi phạm => Đáp án A không đúng

Khi điểm 0 - 0.1 vi phạm => Đáp án D sai vì C cũng không chính xác => Đáp án đúng là B

• Kiểm tra lại một lần nữa xem B có chính xác không. Tính f'(1+0.1) = 1331/125 => Đúng

+ Phương pháp 3: Sử dụng CASIO MODE 5 INEQ

Hàm số bậc 4 khi lấy đạo hàm sẽ trở thành hàm bậc 3. Ta có thể nhẩm các hệ số trong đầu và sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3.

Phương pháp giải bằng tay

Tính đạo hàm y' = 8x³

Nhận xét

Khi sử dụng máy Casio, nếu hàm số đồng biến trên khoảng (a;b), thì hàm số sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu hàm số không đồng biến liên tục, kết quả không chính xác.

3. Cực trị của hàm số

- Điểm cực đại và cực tiểu: Nếu hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại các đoạn (a;x0) và (x0;b), ta có các trường hợp sau:

Nếu f'(x0) chuyển từ âm sang dương khi x đi qua x0, thì hàm số có cực tiểu tại x0.

Nếu f'(x0) chuyển từ dương sang âm khi x đi qua x0, thì hàm số có cực đại tại x0.

A. Hàm số có cực tiểu tại x = 1

B. Hàm số có cực tiểu tại x = 2

C. Hàm số có cực tiểu tại x = 0

D. Hàm số không có cực tiểu

Giải quyết

+ Phương pháp 1: Sử dụng CASIO

• Để kiểm tra đáp án A, ta tính đạo hàm của y tại x = 1 (tiếp tục sử dụng màn hình Casio hiện tại)

Đạo hàm y'(1) khác 0, vì vậy đáp án A không chính xác

• Thực hiện tương tự với đáp án B (tiếp tục sử dụng màn hình Casio hiện tại)

Ta thấy y'(2) = 0, đây là điều kiện cần để x = 2 trở thành điểm cực tiểu của hàm số y

Kiểm tra y'(2-0.1) = -0.1345... < 0

Kiểm tra y'(2+0.1) = 0.1301... > 0

Tóm lại, vì f'(2) = 0 và dấu của y' chuyển từ âm sang dương, nên hàm số y có cực tiểu tại x = 2.

=> Đáp án B là chính xác.

+ Phương pháp tham khảo: Tự luận

y' < 0 <=> 0 < x < 2

Vậy y'(2)=0 và y' thay đổi từ âm sang dương tại x = 2

+ Nhận xét:

Với các bài toán đạo hàm phức tạp, máy tính Casio rất hữu ích, giúp giảm sai sót trong việc tính toán và phân tích dấu đạo hàm.

4. Casio giúp xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số nhanh chóng

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm: Đối với hàm số y = f(x) với đồ thị C và một điểm M(x0; y0) nằm trên C, tiếp tuyến tại điểm M là đường thẳng d có phương trình: y = f'(x0)(x - x0) + y0

- Ví dụ: Tính hệ số góc của tiếp tuyến cho đồ thị hàm số y = -1/x - lnx tại điểm có hoành độ x = 2

A. 1/2 - ln2

B. -1/4

C. -3/4

D. 1/4

Giải pháp:

Cách sử dụng Casio

=> Đáp án B là chính xác

5. Sử dụng Casio để tính nhanh giới hạn xác định và vô định của hàm số

- Quy tắc tính giới hạn vô định:

- Lệnh trên Casio: r

- Ví dụ minh họa:

A. 1 B. 8 C. 2 D. 4

Giải quyết:

=> Đáp án B là chính xác

Chú ý: Khi sử dụng thủ thuật để tính giới hạn, kết quả từ máy tính chỉ là xấp xỉ, vì vậy cần chọn đáp án gần nhất.

6. Sử dụng Casio để nhanh chóng tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

- Lệnh casio: Áp dụng kỹ thuật CALC để tính giới hạn

- Ví dụ:

A. 1                B. 2                 C. 3                    D. 4

 Giải

+ Phương pháp 1: Sử dụng Casio

<=> 4x² + 2x + 1 = 0 không có nghiệm

<=> Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Do đó, đường thẳng y = 1/2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

<=> Kết luận, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang và đáp án C là chính xác

+ Phương pháp tự luận:

=> Đường thẳng y = 1/2 là tiệm cận ngang

+ Nhận xét:

7. Casio hỗ trợ nhanh trong việc tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

- Phương pháp đồ thị để xác định số nghiệm của phương trình: đối với phương trình f(x)=g(x) (1), số nghiệm chính là số giao điểm giữa đồ thị y = f(x) và y = g(x)

Chú ý: Số nghiệm của phương trình f(x)=0 chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành

- Đối với bài toán tìm nghiệm của phương trình có tham số, ta cần tách m và chuyển phương trình về dạng f(x) = m (2). Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

Chú ý: Đường thẳng y = m song song với trục hoành và đi qua điểm (0;m)

- Lệnh Casio: Để xác định nghiệm của phương trình, sử dụng lệnh SHIFT SOLVE

- Ví dụ:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log₂x - log₂(x-2)=m có nghiệm

Giải

+ Phương pháp 1: Sử dụng CASIO

• Quan sát bảng giá trị F(x), ta thấy f(10) gần bằng 0.3219, do đó đáp án A và B không chính xác. Đồng thời, khi x tăng, F(x) giảm. Câu hỏi đặt ra là liệu F(x) có thể giảm về 0 không.

Nếu F(x) có thể giảm về 0, điều đó có nghĩa là phương trình f(x)=0 phải có nghiệm. Để xác minh điều này, chúng ta dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE.

Máy tính Casio cho biết phương trình này không có nghiệm. Do đó, dấu = không thể xảy ra.

• Kết luận, nếu f(x) > 0 thì m > 0 và đáp án D là chính xác.