Khám phá ba đường conic trong lý thuyết toán học lớp 10

Buzz

Nội dung bài viết

1. Khái niệm về ba đường conic (Đường elip)

2. Khám phá lý thuyết về ba đường conic (Đường hyperbol)

3. Lý thuyết về ba loại đường conic (Đường parabol)

4. Ứng dụng của ba loại đường conic

Xem thêm

Mytour xin giới thiệu bài viết về ba đường conic theo lý thuyết toán lớp 10. Hy vọng thông tin trong bài sẽ giúp bạn hiểu thêm và áp dụng hiệu quả!

1. Khái niệm về ba đường conic (Đường elip)

Định nghĩa về đường elip

Đường elip, hay còn gọi là elip, là một loại đường conic đặc biệt với định nghĩa như sau: Cho hai điểm cố định F1 và F2 sao cho khoảng cách giữa chúng là 2c (với c > 0), đường elip là tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ M đến F1 và M đến F2 luôn bằng một hằng số 2a, với a là một số thực lớn hơn c. F1 và F2 được gọi là các tiêu điểm của đường elip.

Phương trình chuẩn của đường elip

Để xác định phương trình chuẩn của đường elip, ta thường dùng hệ tọa độ Oxy với điểm O là trung điểm của hai tiêu điểm F1 và F2, và trục Oy là đường trung trực của đoạn F1F2.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$

Lưu ý: Với phương trình chuẩn của đường elip, ta có mối quan hệ c2 = a2 - b2, trong đó 2c là khoảng cách giữa hai tiêu điểm F1 và F2.

$\leq$ $\leq$

Ví dụ:

$\frac{x^{2}}{9}$ $\frac{y^{2}}{25}$

b) Tìm phương trình chuẩn của đường elip với tiêu điểm F1(-3, 0) và đi qua điểm A(0, 2).

Hướng dẫn giải quyết:

$\frac{x^{2}}{9}$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$

Trong phương trình trên, a = 3 và b = 5, vì vậy a < b.

Do đó, phương trình 1 không phải là phương trình chuẩn của đường elip.

b) Để tìm phương trình chuẩn của đường elip có tiêu điểm F1(-3, 0) và đi qua điểm A(0, 2), chúng ta cần xác định các giá trị a và b.

Vì F1(-3, 0) là một tiêu điểm của đường elip, nên c = 3.

$\frac{0^{2}}{a^{2}}$ $\frac{2^{2}}{b^{2}}$

Từ đó, ta có b^2 = 4 và a^2 = b^2 + c^2 = 4 + 3^2 = 13.

$\frac{x^{2}}{13}$ $\frac{y^{2}}{4}$

2. Khám phá lý thuyết về ba đường conic (Đường hyperbol)

Định nghĩa về Đường Hyperbol

Đường hyperbol (hay còn gọi là hyperbol) là một dạng đường conic đặc biệt với định nghĩa như sau: Cho hai điểm cố định F1 và F2 cách nhau một khoảng F1F2 = 2c (với c > 0), đường hyperbol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho hiệu số khoảng cách từ M đến F1 và từ M đến F2 luôn bằng một hằng số 2a, trong đó a là một số nguyên dương nhỏ hơn c. Hai điểm F1 và F2 được gọi là các tiêu điểm của đường hyperbol.

Phương trình chuẩn của Đường Hyperbol

Để xác định phương trình chuẩn của đường hyperbol, ta thường dùng hệ tọa độ Oxy với điểm O là trung điểm của hai tiêu điểm F1 và F2. Trục Ox sẽ là đoạn thẳng nối F1 và F2, còn trục Oy là đường trung trực của đoạn F1F2 = 2c (c > 0).

$\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$

Lưu ý: Đối với đường hyperbol (H) có phương trình chuẩn như trên, ta có c^2 = a^2 + b^2, trong đó 2c là khoảng cách giữa hai tiêu điểm F1 và F2.

Nếu một điểm M(x, y) nằm trên đường hyperbol, thì x phải thỏa mãn x ≤ -a hoặc x ≥ a.

Ví dụ:

$\frac{x^{2}}{9}$ $\frac{y^{2}}{25}$

b) Tìm phương trình chuẩn của đường hyperbol (H) với tiêu điểm F1(-5, 0) và đi qua điểm A(-4, 0).

Hướng dẫn giải quyết:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $\frac{x^{2}}{9}$ $\frac{y^{2}}{25}$ $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25}$

b) Để tìm phương trình chuẩn của đường hyperbol có tiêu điểm F1(-5, 0) và đi qua điểm A(-4, 0), ta cần xác định các giá trị a và b.

Vì F1(-5, 0) là một tiêu điểm của đường hyperbol, nên c = 5.

$\frac{16}{a^{2}} - \frac{0}{b^{2}}$

Từ đó, ta có a² = 16

Vì vậy, c^2 = a^2 + b^2 <=> 5^2 = 16 + b^2 <=> b^2 = 9.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9}$ $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9}$

3. Lý thuyết về ba loại đường conic (Đường parabol)

Khái niệm Đường Parabol

Đường Parabol, hay còn gọi là Parabol, là một đường cong đặc biệt được định nghĩa như sau: Cho một điểm cố định F và một đường thẳng cố định ∆ không đi qua F, Đường Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến điểm F bằng khoảng cách từ M đến đường ∆.

Phương trình chuẩn của Đường Parabol

Để xác định phương trình chuẩn của Đường Parabol, ta thường sử dụng hệ trục tọa độ Oxy. Gốc tọa độ O đặt tại trung điểm của đoạn thẳng nối F và điểm tiếp xúc vuông góc với ∆ (ký hiệu là H). Điểm F nằm trên trục Ox.

Với hệ trục tọa độ như trên, phương trình chuẩn của Đường Parabol có thể được viết dưới dạng y^2 = 2px, trong đó p là một số thực dương (p > 0).

Lưu ý:

Đối với Đường Parabol (P) với phương trình chuẩn y^2 = 2px (p > 0):

Điểm F được gọi là tiêu điểm của Đường Parabol.

$\Delta$

Nếu điểm M(x, y) nằm trên Đường Parabol (P), thì x phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Ví dụ:

a) Liệu phương trình y^2 = -2x có phải là phương trình chuẩn của Đường Parabol không?

b) Viết phương trình chuẩn của Đường Parabol (P) biết rằng (P) có tiêu điểm tại F(4, 0).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình chuẩn của Đường Parabol có dạng y^2 = 2px với p > 0.

Tuy nhiên, phương trình y^2 = -2x có dạng y^2 = 2px với p = -1, mà p < 0.

Do đó, y^2 = -2x không phải là phương trình của Đường Parabol.

b) Đối với Đường Parabol (P) với tiêu điểm tại F(4, 0), ta có p^2 = 4 => p = 2.

Vì vậy, phương trình chuẩn của Đường Parabol (P) là y^2 = 2 * 2 * x = 4x.

Do đó, phương trình chuẩn của Đường Parabol (P) là y^2 = 4x.

4. Ứng dụng của ba loại đường conic

Ba loại đường conic - Elip, Hypebol và Parabol - có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tiễn. Dưới đây là một số ví dụ về ứng dụng của chúng:

Mô hình nguyên tử: Vào năm 1911, nhà vật lý người Anh Ernest Rutherford đề xuất mô hình nguyên tử giống như hành tinh, trong đó hạt nhân nằm ở trung tâm và electron quay quanh hạt nhân theo quỹ đạo hình elip giống như các hành tinh quanh Mặt Trời.

Hiện tượng giao thoa sóng: Trong vật lý, khi hai sóng gặp nhau, chúng tạo ra hiện tượng giao thoa với các đường hypebol. Các vân giao thoa trong hiện tượng này có hình dạng giống như đường hypebol.

Gương parabol và hệ thống tiêu điểm: Gương parabol được ứng dụng rộng rãi, trong đó tia sáng chiếu vào gương sẽ được tập trung vào một điểm tiêu điểm và phản xạ thành các tia sáng song song với trục của parabol.

Đèn pha ô tô thường sử dụng gương parabol trong thiết kế của chúng. Gương này có bề mặt hình tròn xoay quanh trục, với bóng đèn đặt tại điểm tiêu điểm của parabol. Khi ánh sáng từ bóng đèn chiếu lên bề mặt gương, nó sẽ được tập trung và phản xạ thành các tia sáng song song, giúp tài xế nhìn rõ hơn trong điều kiện thiếu ánh sáng hoặc khi trời tối.

Trên vệ tinh, các ăng-ten thường được thiết kế dưới dạng gương parabol. Điểm thu và phát tín hiệu của vệ tinh nằm ở vị trí tiêu điểm của parabol, giúp tập trung tín hiệu vào hoặc ra khỏi ăng-ten, từ đó nâng cao chất lượng truyền tải tín hiệu từ vệ tinh về Trái đất.

Những ứng dụng này chứng tỏ sự quan trọng và linh hoạt của ba loại đường conic trong các lĩnh vực vật lý, công nghệ và thiết kế sản phẩm.

Bạn có thể tham khảo bài viết sau đây: Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc mới nhất năm 2023

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]