Buzz
1. Khái niệm về tam giác vuông và các dấu hiệu nhận diện
Tam giác vuông là loại tam giác có một góc vuông (tức là góc 90 độ).
Tam giác ABC có góc vuông tại điểm A:
+ Hai cạnh AB và AC tiếp xúc với góc vuông được gọi là các cạnh kề (hoặc cạnh góc vuông)
+ Cạnh BC nằm đối diện góc vuông được gọi là cạnh huyền.
Các dấu hiệu nhận diện tam giác vuông
Để nhận diện tam giác vuông, bạn có thể dựa vào nhiều dấu hiệu quan trọng. Những dấu hiệu này là manh mối giá trị giúp xác định một tam giác có phải là tam giác vuông hay không.
Một dấu hiệu quan trọng là có một góc vuông trong tam giác. Khi một góc của tam giác là 90 độ, tam giác đó là tam giác vuông.
Dấu hiệu thứ hai dựa trên đặc điểm của tam giác vuông. Nếu trong tam giác có hai góc nhọn tổng cộng bằng 90 độ, thì đó cũng là tam giác vuông.
Dấu hiệu thứ ba là theo công thức toán học: bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại. Tam giác nào thỏa mãn điều kiện này thì chắc chắn là tam giác vuông.
Dấu hiệu thứ tư là sự xuất hiện của một đường trung tuyến chia một cạnh thành hai phần, trong đó đoạn gần góc vuông bằng một nửa đoạn còn lại. Tam giác có tính chất này cũng là tam giác vuông.
Dấu hiệu cuối cùng là khi một tam giác nằm trong đường tròn và một cạnh của nó là đường kính của đường tròn. Tam giác như vậy chính là tam giác vuông.
Để xác định một tam giác là tam giác vuông, bạn cần kiểm tra ít nhất một trong những dấu hiệu sau. Nếu tất cả năm dấu hiệu đều được thỏa mãn, bạn có thể tự tin rằng tam giác bạn nhìn thấy là tam giác vuông.
2. Các đặc điểm của tam giác vuông
Đặc điểm 1: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn là góc phụ của nhau.
Định lý Pythagoras
Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Định lý Pitago ngược
Nếu bình phương của một cạnh trong tam giác bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại, thì tam giác đó chắc chắn là tam giác vuông.
Đặc điểm 3: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến từ đỉnh của cạnh huyền bằng một nửa độ dài của cạnh huyền.
3. Các phương pháp chứng minh tam giác vuông
Có tổng cộng năm phương pháp để chứng minh một tam giác vuông, và mỗi phương pháp đều là công cụ quan trọng để xác định tính chất đặc trưng của tam giác này.
- Xác minh tam giác có một góc bằng 90 độ: Đây là phương pháp phổ biến nhất để chứng minh tam giác là tam giác vuông. Nếu một góc trong tam giác có độ lớn chính xác là 90 độ, thì tam giác đó là tam giác vuông.
- Xác minh tổng hai góc nhọn bằng 90 độ: Nếu bạn có thể chứng minh rằng tổng của hai góc nhọn trong tam giác bằng 90 độ, thì tam giác đó cũng có thể là tam giác vuông.
- Xác minh bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại (định lý Pitago): Đây là một trong những phương pháp mạnh mẽ nhất để nhận diện tam giác vuông. Nếu bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại, tam giác đó chắc chắn là tam giác vuông.
- Xác minh đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy: Nếu bạn tìm thấy một đường trung tuyến chia một cạnh của tam giác thành hai đoạn, trong đó đoạn gần cạnh vuông bằng một nửa đoạn còn lại, đây cũng là dấu hiệu của tam giác vuông.
- Xác minh tam giác nội tiếp nửa đường tròn (có một cạnh trùng đường kính): Khi một cạnh của tam giác trùng với đường kính của nửa đường tròn mà tam giác nội tiếp, bạn đã tìm thấy một tam giác vuông.
Những phương pháp chứng minh này đều giúp nhận diện tam giác vuông và làm sáng tỏ các đặc điểm đặc biệt của chúng.
Phương pháp 1: Để xác định một tam giác là tam giác vuông, bạn có thể chứng minh rằng tổng của hai góc nhọn trong tam giác bằng 90 độ (hai góc nhọn bổ sung nhau).
Ví dụ 1: Trong tam giác ABC, nếu góc B cộng góc C bằng 90°,
⇒ Tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Phương pháp 2: Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, bạn cần chứng minh rằng bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại.
Ví dụ 2: Trong tam giác ABC, nếu AB² + AC² = BC²
⇒ Tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Phương pháp 3: Để xác định một tam giác là tam giác vuông, bạn cần chứng minh rằng đường trung tuyến từ đỉnh của cạnh huyền bằng nửa độ dài của cạnh huyền đó.
Ví dụ 3: Trong tam giác ABC, nếu M là trung điểm của BC và AM = MB = MC = ½ BC
⇒ Tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Phương pháp 4: Xác định một góc trong tam giác bằng 90 độ.
+ Cách thực hiện: Đưa góc cần chứng minh vào trong một tứ giác và chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật, hình vuông, hoặc góc do hai đường chéo của hình thoi, hình vuông tạo thành.
Phương pháp 5: Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, bạn có thể chứng minh rằng tam giác đó nội tiếp một đường tròn và một cạnh của tam giác chính là đường kính của đường tròn.
Ví dụ 4: Tam giác OAB nội tiếp một đường tròn với đường kính là AB
⇒ Tam giác OAB là tam giác vuông tại O.
4. Bài tập về chứng minh tam giác vuông
Bài 1
Xét tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 4,5 cm, BC = 7,5 cm.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác này.
b) Điểm M nằm trên đường nào sao cho diện tích của tam giác MBC bằng diện tích của tam giác ABC?
Bài 3: Xét tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AC, chọn điểm D sao cho AD = AC.
a) Chứng minh △DABC bằng △DABD
b) Trên tia đối của tia AB, chọn điểm M. Chứng minh △DMBD bằng △D MBC.
Bài 4: Trong tam giác ABC vuông tại A với AC = 57 cm và đường cao AH = 15 cm, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính các độ dài HB và HC.
Bài 5: Trong tam giác ABC vuông tại A, với AB = 12 cm, AC = 16 cm, tính độ dài MD, MB và MC khi biết AD là phân giác và AM là đường cao.
Bài 6: Trong tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH = 14 cm, và HB, HC = 14 cm, hãy tính chu vi của tam giác ABC.
Bài 7: Xét tam giác ABC vuông tại A.
a. Tính chiều dài cạnh AC khi biết AB = 5 cm và BC = 13 cm.
b. Chọn điểm E trên cạnh BC sao cho BE = BA. Đường thẳng đi qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với BC tại E. So sánh góc ABI với góc CBI.
c. Nếu tam giác ABC có góc A = 30° và EC = 6 cm, tính chu vi của tam giác ABC.
Bài 8:
a. Trong tam giác ABC với góc B = 60°, góc C = 50°, và AC = 35 cm, tính diện tích của tam giác ABC.
b. Tính diện tích của tứ giác ABCD khi biết góc A = góc D = 90°, góc C = 40°, AB = 4 cm, và AD = 3 cm.
c. Trong tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, với AC = 4 cm, BD = 5 cm, và góc AOB = 50°, tính diện tích của tứ giác ABCD bằng công thức lượng giác.
Bài 9: Trong tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH, biết chu vi của tam giác AHB là 40 cm và chu vi của tam giác ACH là 5 dm, tính chu vi của tam giác ABC và các cạnh BH, CH.
Bài 10: Xét tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 8 cm, và BC = 10 cm.
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại điểm A.
b. Kẻ tia phân giác BE của góc B (E nằm trên AC), từ E, vẽ EP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh EA = EP.
Bài 11: Trong tứ giác lồi ABCD, với AB = AC = AD = 10cm, góc B = 60 độ và góc A = 90 độ.
a) Tính độ dài đường chéo BD.
b) Xác định khoảng cách từ BH và DK đến cạnh AC từ các điểm B và D.
c) Tính chiều dài của HK.
d) Kẻ đường BE vuông góc với DC kéo dài, tính các giá trị BE, CE và DC.
