Khám phá phân tích nhân tố

Trong đại số cơ bản, phân tích nhân tử là thuật ngữ toán học để diễn tả việc viết một số nguyên hoặc một đối tượng toán học dưới dạng tích của các số nguyên khác hoặc các đối tượng toán học khác. Các số nguyên hoặc đối tượng toán học đó được gọi là nhân tử.

Ví dụ minh họa

Phân tích nhân tử với các số nguyên

Ví dụ về việc phân tích nhân tử với số nguyên:

$100=2^2\times <!--\; \times \; -->5^2$

$328=2^3\times <!--\; \times \; -->41$

Đa thức và việc phân tích nhân tử

Các đa thức cũng có thể được phân tích thành tích của các đa thức khác. Ví dụ như:

$x^7+x^5+1$ $=(x^7-<!--\; -\; -->x)+(x^5-<!--\; -\; -->x^2)+x^2+x+1$

$=x(x^6-<!--\; -\; -->1)+x^2(x^3-<!--\; -\; -->1)+(x^2+x+1)$

$=x(x^3+1)(x^3-<!--\; -\; -->1)+x^2(x^3-<!--\; -\; -->1)+(x^2+x+1)$

$=(x^4+x^2+x)(x-<!--\; -\; -->1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$

$=(x^2+x+1)(x^5-<!--\; -\; -->x^4+x^3-<!--\; -\; -->x+1)$

Các phương pháp phân tích đa thức thành các nhân tử

Cách đặt nhân tử chung

Khi các hạng tử của đa thức có chung một nhân tử, ta có thể rút nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc. Ví dụ:

Ứng dụng hằng đẳng thức

Nếu đa thức là một phần của một hằng đẳng thức đã biết, ta có thể sử dụng hằng đẳng thức đó để phân tích đa thức thành tích của các đa thức khác. Ví dụ:

1. $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2=(A+B{)}^2$

2. $A^2-<!--\; -\; -->B^2=(A-<!--\; -\; -->B)(A+B)$

3. $(A-<!--\; -\; -->B{)}^2=A^2-<!--\; -\; -->2AB+B^2$

4. $(A+B{)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

5. $(A-<!--\; -\; -->B{)}^3=A^3-<!--\; -\; -->3A^{2}B+3A{B}^2-<!--\; -\; -->B^3$

6. $A^3+B^3=(A+B)(A^2-<!--\; -\; -->AB+B^2)$

7. $A^3-<!--\; -\; -->B^3=(A-<!--\; -\; -->B)(A^2+AB+B^2)$

1. $(A+B+C{)}^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC$

2. $(A-<!--\; -\; -->B+C{)}^2=A^2+B^2+C^2-<!--\; -\; -->2AB-<!--\; -\; -->2BC+2AC$

3. $(A+B-C{)}^2=A^2+B^2+C^2+2AB-2BC-2AC$

4. $(-A+B+C{)}^2=A^2+B^2+C^2-2AB+2BC-2AC$

5. Tổng quát:

$(N_1+N_2+N_3+\cdots +N_a{)}^2=N_1^2+N_2^2+N_3^2+\cdots +N_a^2+(2N_1{N}_2+2N_1{N}_3+\cdots +2N_1{N}_a)+$ $(2N_2{N}_3+2N_2{N}_4+\cdots +2N_2{N}_a)+(2N_3{N}_4+2N_3{N}_5+\cdots +2N_3{N}_a)+\cdots +(2N_{a-2}{N}_{a-1}+2N_{a-2}{N}_a)+\left(2N_{a-1}{N}_a\right)$

8. $A^n-<!--\; -\; -->B^n=(A-<!--\; -\; -->B)(A^{n-<!--\; -\; -->1}+A^{n-<!--\; -\; -->2}B+A^{n-<!--\; -\; -->3}{B}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A{B}^{n-<!--\; -\; -->2}+B^{n-<!--\; -\; -->1})$

9. $A^n+B^n=(A+B)(A^{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->A^{n-<!--\; -\; -->2}B+A^{n-<!--\; -\; -->3}{B}^2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->A{B}^{n-<!--\; -\; -->2}+B^{n-<!--\; -\; -->1})$ (n lẻ)

Với đa thức $A+B$ ta có:

• $(A+B{)}^0=1$ $(A+B\ne <!--\; \ne \; -->0)$
• $(A+B{)}^1=1A+1B$
• $(A+B{)}^2=1A^2+2AB+1B^2$
• $(A+B{)}^3=1A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+1B^3$
• $(A+B{)}^4=1A^4+4A^{3}B+6A^2{B}^2+4A{B}^3+1B^4$

Khi khai triển biểu thức $(A+B{)}^n$, chúng ta nhận được một đa thức với n+1 hạng tử. Hạng tử đầu tiên là $A^n$, hạng tử cuối cùng là $B^n$, và các hạng tử ở giữa bao gồm các nhân tử $A$ và $B$.

Vì vậy, ta có: $(A+B{)}^n=B(A)+B^n=A^n+B(B)$

Nếu ta liệt kê các hệ số bên phải, chúng ta có được bảng sau:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

................................

Từ hàng thứ hai trở đi, mỗi số trong tam giác bằng tổng của số ở cùng cột của hàng trước và số ngay trước một cột của hàng trước, ví dụ:

Phương pháp nhóm các hạng tử

Khi một đa thức có nhiều hạng tử, hãy nhóm các hạng tử lại để phân tích thành nhân tử chung. Ví dụ:

Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

- Nếu đa thức có nghiệm a, thì nó có thể phân tích thành nhân tử với một trong các nhân tử là x-a.

1. Xác định nghiệm nhanh

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên, thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do.

+ Nếu tổng các hệ số của f(x) bằng 0, thì f(x) có thể chia hết cho x–1.

+ Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ, thì f(x) có thể chia hết cho x+1.

+ Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và cả f(1) lẫn f(-1) đều khác 0, thì {rac {f(1)}{a-1}} và {rac {f(-1)}{a+1}} đều là số nguyên. Đây là cách nhanh chóng để xác định a có phải là ước của hệ số tự do hay không.

Khi xét nghiệm của f(x), ta thấy x = ±1, ±2, ±4. Chỉ có f(2) = 0, do đó x = 2 là nghiệm của f(x), và f(x) có thể phân tích thành nhân tử x - 2. Vì vậy, f(x) có thể được chia thành các nhóm có chứa nhân tử x - 2.

Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ, do đó đa thức có thể chia hết cho x + 1.

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ, nghiệm này có dạng {rac {p}{q}}, trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất.

+ Tính chất: Nếu một đa thức {displaystyle P_{n}(x)} có nghiệm x = a, thì nó có thể phân tích thành: {displaystyle P_{n}(x)=(x-a)H_{b}(x)}, với b = n - 1.

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Xem xét đa thức P(x) = x²(y - z) + y²(z - x) + z²(x - y). Đa thức này có biến x, các biến còn lại là hệ số. Khi thay x = y vào đa thức, ta có: P(y) = 0.

Do đó, y là nghiệm của đa thức P(x). Do đó, P(x) có thể được viết dưới dạng: P(x) = (x - a)H_b(x), với H_b(x) là đa thức bậc b.

Đa thức P(x) = z²(x - y) + x²y - x²z + y²z - y²x có thể được viết lại dưới dạng: P(x) = z²(x - y) + x²(y - z) + y²(z - x).

Cuối cùng, P(x) = (x - y)(z² + xy - zx - zy).

Ta có: (x - y) [z(z - x) - y(z - x)]

Kết quả là: (x - y)(z - x)(z - y)

H_b(x) có thể được xác định bằng phép chia đa thức một biến đã sắp xếp hoặc sử dụng phương pháp Horner để tìm các hệ số.

Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x³ - x² - 7x + 3 thành nhân tử, với x = 3 là một nghiệm của P(x).

Vì x = 3 là nghiệm của đa thức, nên x - 3 là một nhân tử. Để tìm các nhân tử còn lại, thực hiện phép chia như hình minh họa.

Vậy P(x) = (x - 3)(x² + 2x - 1).

Hơn nữa, hệ số của nhân tử có thể xác định qua lược đồ Horner như sau:

2. Biệt số delta Δ (Áp dụng cho tam thức bậc hai)

Xem xét tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (với a ≠ 0). Đặt Δ = b² - 4ac

Nếu Δ ≥ 0 thì đa thức có nghiệm:

• Nếu Δ $>$ 0, thì đa thức sẽ có hai nghiệm khác nhau. Ta có: và . Khi đó, đa thức trở thành $f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Nếu Δ 0, thì đa thức sẽ không có nghiệm thực nào. Đa thức không thể phân tích thành nhân tử.

Để phân tích f(x) thành nhân tử, ta cần tách hệ số b theo cách sau:

ax + bx + c = ax + b­₁x + b₂x + c với

VD 1: Phân tích đa thức sau thành các nhân tử:

$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

Ta có: $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

$=x^2\left[\right(-z+x)+(y-x\left)\right]+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

$=x^2(x-z)+x^2(y-x)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

$=(x-z)(x^2-y^2)+(x-y)(z^2-x^2)$

$=(x-z)(x-y)(x+y)+(x-y)(z-x)(z+x)$

$=(x-y)(x-z)(x+y-z-x)$

$=(x-y)(x-z)(y-z)$

Phương pháp bổ sung và điều chỉnh hạng tử

Các đa thức có dạng $x^{3m+1}+x^{3n+2}+1$ $(m,n\in N)$ ví dụ như:

$x^7+x^2+1$; $x^7+x^5+1$; $x^8+x^4+1$; $x^5+x+1$; $x^8+x+1$;… đều có nhân tử chung là $x^2+x+1$

VD: Xem ví dụ ở đây

VD: $x^4+x^2+1$

$=x^4+2x^2+1-x^2$

$=(x^2+1{)}^2-x^2$

$=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

Phương pháp thay đổi biến số

VD: Chia phương trình đa thức thành các nhân tử

A =$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-15$

A$=\left[\right(x+1\left)\right(x+4\left)\right]\left[\right(x+3\left)\right(x+2\left)\right]-15$

$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-15$

Gọi $y=x^2+5x+5$ thì:

A $=(y-1)(y+1)-15$

$=y^2-1-15$

$=y^2-16$

$=(y-4)(y+4)$

$=(x^2+5x+1)(x^2+5x+9)$

Trong bài toán này, chúng ta đã thay đổi đa thức từ biến x sang biến y. Do đó, phương pháp này được gọi là phương pháp đổi biến.

Phương pháp phân tích giá trị riêng

VD: Phân tích đa thức thành nhân tử:

A = $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

Khi thay x = y vào ta có: A = 0

Vì vậy, x = y là một nghiệm của đa thức này, hay đa thức trên chứa nhân tử x-y.

Các biến x, y, z đều có vai trò như nhau nên

A = $a(x-y)(y-z)(z-x)$

Do A là một đa thức bậc 3 theo các biến x, y, z và (x - y)(y - z)(z - x) cũng là một đa thức bậc 3 theo x, y, z nên a là một hằng số.

Vì $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=a(x-y)(y-z)(z-x)$ đúng với x, y, z, ta có thể gán x, y, z các giá trị riêng.

Ví dụ, với x=1, y=0, z=-1 ta có:

$1^2(0+1)+0^2(-1-1)+(-1{)}^2(1-0)=k(0+1\left)\right(-1-1\left)\right(1-0)$

$\Rightarrow$ $2=-2a$

$\Rightarrow$ $a=-1$

Do đó, $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)$

Áp dụng phương pháp các đẳng thức đặc biệt

Với mọi x, y, z thực ta có:
1. (x + y + z) - x - y - z = 3(x + y)(y + z)(z + x)
2. x + y + z - 3xyz = (x + y + z)(x + y + z + xy + yz + zx)
Hệ quả: Nếu x + y + z = 0 hoặc x = y = z = 0 thì x + y + z = 3xyz

Phương pháp hệ số không xác định (Xác định hệ số)

Ví dụ: Chia đa thức thành hai đa thức bậc hai với hệ số nguyên:

A = $x^4-3x^3+6x^2-5x+3$

Gán A = $(x^2+ax+1)(x^2+bx+3)$

$\Rightarrow x^4-3x^3+6x^2-5x+3=x^4+(a+b)x^3+(4+ab)x^2+(3a+b)x+3$

Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có:

Vậy A = $(x^2-x+1)(x^2-2x+3)$

• Bảy đẳng thức quan trọng cần nhớ
• Khai triển các đa thức
• Giải các phương trình