Khám phá phương pháp tích phân từng phần đầy hiệu quả

Buzz

Nội dung bài viết

1. Tích phân từng phần là gì?

2. Công thức tính tích phân từng phần và cách nhận diện

3. Một số dạng bài tích phân thường gặp và cách giải chi tiết

3.1. Dạng 1: Hàm đa thức và hàm logarithm

3.2. Dạng 2: Hàm đa thức kết hợp với hàm lượng giác

3.3. Dạng 3: Hàm số mũ và hàm lượng giác

3.4. Dạng 4: Hàm số mũ và hàm bậc đa thức

4. Một số bài tập ứng dụng

Xem thêm

Bài viết này sẽ làm rõ phương pháp tích phân từng phần và cung cấp các bài tập thực hành giúp học sinh ôn luyện và nắm vững cách áp dụng phương pháp này vào bài tập!

1. Tích phân từng phần là gì?

- Tích phân từng phần là một kỹ thuật dùng để tính tích phân của các hàm số qua việc phân tách nguyên hàm và đạo hàm của chúng. Phương pháp này giúp chuyển đổi nguyên hàm của tích các hàm số thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể được suy ra từ quy tắc nhân của đạo hàm.

- Kỹ thuật tích phân từng phần thường được áp dụng khi dưới dấu tích phân có hai hàm số khác nhau trong số bốn loại hàm: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác và hàm số mũ.

$\int_{a}^{b}f(x)dx$ Khám phá phương pháp tích phân từng phần hiệu quả

Khám phá phương pháp tích phân từng phần đầy hiệu quả

2. Công thức tính tích phân từng phần và cách nhận diện

Nếu có hai hàm số u = u(x) và v = v(x) với đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], ta có công thức tính tích phân từng phần như sau:

Có thể viết dưới dạng công thức tổng quát:

- Các dấu hiệu nhận diện:

Dấu hiệu Có thể áp dụng Ví dụ1 $\sqrt{f(x)}$ $\sqrt{f(x)}$ $\int_{0}^{3}\frac{x^{3}dx}{\sqrt{x+1}}$ $\sqrt{x+1}$ 2Có biểu thức (ax+b)ⁿt = ax + b $int_{0}^{1} x(x+1)^{2016} dx$ 3Có a^f(x)t = f(x) Phương pháp tích phân từng phần rất hiệu quả

Phương pháp tích phân từng phần rất hiệu quả

4Có dx / x và ln(x)t = ln(x) hoặc biểu thức có ln(x) $int_{1}^{e} rac{ln(x) , dx}{x(ln(x) + 1)}$ 5Có e^x , dxt = e^x hoặc biểu thức có e^x $int_{0}^{ln(2)}e^{2x}sqrt{3e^{x}+1} , dx$ $sqrt{3e^{x} + 1}$ 6Có sin(x) , dxt = cos(x) Phương pháp tích phân từng phần rất hiệu quả

7Có cos(x) , dxt = -sin(x) , dx Phương pháp tích phân từng phần rất hiệu quả

8Có dx / cos²(x)t = tan(x) Phương pháp tích phân từng phần rất hữu ích

9Có dx / sin²(x)t = cot(x) Phương pháp tích phân từng phần rất hiệu quả

3. Một số dạng bài tích phân thường gặp và cách giải chi tiết

3.1. Dạng 1: Hàm đa thức và hàm logarithm

$int_{m}^{n} f(x) , ln(ax + b) , dx$

Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.

- Phương pháp giải:

Khi gặp dạng bài toán này, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tiến hành đặt

$egin{cases} & ext{ } u= ln(ax + b) \ & ext{ } dv= f(x)dx end{cases}Rightarrow egin{cases} & ext{ } du= rac{a}{ax + b} dx \ & ext{ } v= int f(x)dx end{cases}$

Bước 2: Tính tích phân theo công thức sau:

Phương pháp tính tích phân từng phần rất hiệu quả.

3.2. Dạng 2: Hàm đa thức kết hợp với hàm lượng giác

$int_{m}^{n} f(x) sin(ax + b) , dx$ $int_{m}^{n} f(x) cos(ax + b) , dx$

Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.

- Phương pháp giải:

Bước 1: Tiến hành đặt

$egin{cases} & ext{ } u=f(x) \ & ext{ } dv= sin(ax+b) , dx end{cases}Rightarrow egin{cases} & ext{ } du=f'(x) , dx \ & ext{ } v= - rac{1}{a} cos(ax+b) end{cases}$ $egin{cases} & ext{ } u=f(x) \ & ext{ } dv= cos(ax+b) , dx end{cases}Rightarrow egin{cases} & ext{ } du=f'(x) , dx \ & ext{ } v= rac{1}{a} sin(ax+b) end{cases}$

Bước 2: Tính tích phân bằng công thức sau:

3.3. Dạng 3: Hàm số mũ và hàm lượng giác

$int_{m}^{n}e^{ax+b}sin(cx+d)dx$ $int_{m}^{n}e^{ax+b}cos(cx+d)dx$

- Phương pháp giải quyết:

Đối với bài toán tính tích phân của một biểu thức chứa hàm mũ và hàm lượng giác, thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Đặt

$egin{cases} & ext{ } u=e^{ax+b} \ & ext{ } dv= sin(cx +d)dx end{cases}$ $egin{cases} & ext{ } u=e^{ax+b} \ & ext{ } dv= cos(cx +d)dx end{cases}$

Bước 2: Xác định công thức dựa trên u và v như sau:

3.4. Dạng 4: Hàm số mũ và hàm bậc đa thức

$\int_{a}^{b} P(x)e^{x}dx$

Trong đó, P(x) đại diện cho một hàm số đa thức

- Phương pháp giải: Để tính tích phân của biểu thức bao gồm hàm đa thức và hàm mũ, bạn thực hiện các bước sau:

$\begin{cases} & \text{ } u = P(x)\\ & \text{ } dv = e^{x}dx \end{cases}$

4. Một số bài tập ứng dụng

$\int_{0}^{3} (x^{2}-4)dx$

Hãy cho kết quả chính xác:

A. 6

B. -3

C. 3

D. -6

Kết quả là:

Chúng ta có:

= 9 - 12 = -3

Lựa chọn đáp án B

A. ln2.2^e - ln3.3^e

B. ln2.2^e - ln3.3^e +1

C. 2^e - 3^e

D. 2^e - 3^e +1

Kết quả giải:

Chúng ta có:

$\int_{1}^{2} (2e^{x}+2x+1) dx$

A. 2e² - 2e + 4

B. 2e³ + 2e + 2

C. 2e² - 2e + 8

D. 2e² + 2e + 8

Kết quả giải:

Chúng ta có:

$\int_{1}^{e} (ln2 cdot 2^{x} - ln3 cdot 3x^{{x}}) dx$ Phương pháp tính tích phân từng phần rất hữu ích

<=> I = 2^e - 3^e + 1

Chọn phương án D

$\int_{1}^{2} (2e^{x} + 2x +1)dx$

A. 2e² - 2e + 4

B. 2e³ + 2e + 2

C. 2e² - 2e + 8

D. 2e² + 2e + 8

Giải thích:

Chúng ta có:

<=> I = 2.e² + 4 + 2 - (2.e + 1 + 1)

= 2e² - 2e + 4

Chọn phương án A

Bài 4. Đề bài:

$\int_{0}^{2} (\frac{2}{x+3}+\frac{4}{x+5})dx = aln5 + bln7 + cln3$

A. a + b + c = 0

B. a - 2b + c = 0

C. a - b + c = -1

D. a + 2b = 0

Giải thích:

$\int_{0}^{2} (\frac{2}{x+3}+\frac{4}{x+5})dx$ Phương pháp tính tích phân từng phần rất hiệu quả

= 2ln5 + 4ln7 - 2ln3 - 4ln5

= -2ln5 + 4ln7 - 2ln3

=> a = -2; b = 4; c = -2

=> a + b + c = 0

Chọn phương án A

$\int_{0}^{lnm} \frac{2e^{x}dx}{e^{x}+1} = 2ln2$

Tìm giá trị của m:

A. m = 1

B. m = 3

C. m = 4

D. m = 0

Giải thích:

Điều kiện m > 0

Chúng ta có:

$int_{0}^{lnm} rac{2e^{x}dx}{e^{x}+1} = int_{0}^{lnm} rac{d(e^{x} +1)}{e^{x}+1}$ Phương pháp tính tích phân từng phần rất hiệu quả

Dựa theo giả định, chúng ta có:

2ln(m+1) - 2ln2 = 2ln2

<=> 2ln(m+1) = 4ln2

<=> ln(m+1) = ln4

<=> m + 1 = 4

<=> m = 3

Chọn lựa đáp án B

A. 0

Giải pháp:

Chúng ta có:

$= -2 frac{1}{{sqrt{2}}} + 2.cos 0 = 2 - sqrt{2}$

Lựa chọn đáp án C

$int_{0}^{1} rac{x}{(x +1)^{10}}dx$

A. 251 / 18432

B. 25 / 1432

C. 215 / 432

D. Đáp án khác

Giải thích:

Chúng ta có:

$int_{0}^{1} rac{x}{(x +1)^{10}}dx = int_{0}^{1} rac{(x+1) - 1}{(x+1)^{10}}dx$ $int_{0}^{1}( rac{x}{(x +1)^{9}} - rac{x}{(x +1)^{10}})dx$ Phương pháp tính tích phân từng phần rất hiệu quả

= 251 / 18432

Chọn đáp án A

$int_{0}^{3}(5^{x}.ln25)dx$

A. 128

B. 128ln2

C. 124 / ln2

D. 248

Giải pháp:

Chúng ta có:

$int_{0}^{3}(5^{x}.ln25)dx = 2ln5.int_{0}^{3}5^{x}dx$

(do ln25 - 2.ln5)

Chọn đáp án D

$int_{1}^{m}( rac{2}{sqrt{x}})dx = 12$

Tìm giá trị của m?

A. m = 20

B. m = 16

C. m = 4

D. m = 8

Kết quả là:

Chúng ta có:

$\int_{1}^{m}\frac{2}{\sqrt{x}}dx = 4\int_{1}^{m}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ Cách tính tích phân theo từng bước là rất hiệu quả

Chọn lựa đáp án B

Phương pháp tính tích phân từng bước rất hiệu quả

A. 0

B. -2

C. 4

D. -3

Kết quả là:

Chúng ta có:

Phương pháp tính tích phân theo từng bước rất hiệu quả

<=> I = (1 - 4) - (-1 - 4.0) = -2

Chọn đáp án B

$\int_{-1}^{1} \left ( \frac{x+4}{(x+2)^{10}} \right )dx$

A. 929 / 4561

B. 271 / 1982

C. 45 / 2654

D. 2348 / 6561

Kết quả là:

Chúng ta có:

$\int_{-1}^{1} (\frac{8x + 10}{(x+2)^{10}})dx$ $\int_{-1}^{1} (\frac{8(x + 2) - 6}{(x+2)^{10}})dx$ $\int_{-1}^{1} (\frac{8 }{(x+2)^{9}} - \frac{6}{(x+2)^{10}})dx$ Phương pháp tích phân từng bước rất hiệu quả

= 2348 / 6561

Chọn đáp án D

Bài 12: Xét m là một số thực dương thỏa mãn:

$\int_{0}^{m} (\frac{x }{(1+x^{2})^{3}} dx = \frac{3}{16}$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

$m \in (3; \frac{7}{2})$ $m \in (0; \frac{3}{2})$ $m \in (\frac{3}{2}; 3)$

D. Đáp án khác

Kết quả là:

Chúng ta có:

$\int_{0}^{m}\frac{xdx}{(1+x^{2})^{3}} = \frac{1}{2}\int_{0}^{m}(1+x^{2})^{-3}dx(1+x^{2})$ Phương pháp tính tích phân từng bước rất hiệu quả

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4(1+m^{2})^{2}}$

Theo giả thiết, ta có:

1 / 4 - 1 / 4(1 + m²)² = 3 / 16

<=> 1 / 4(1+m²)² = 1 / 16

<=> (1 + m²)² = 4

<=> 1 + m² = 2

Với điều kiện m > 0, ta có m = 1

Chọn đáp án B

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x)^{3}}$

A. 3 / 7

B. 3 / 8

C. 7 / 8

D. 3 / 4

Giải thích:

Ta có:

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x)^{3}} = \int_{1}^{2}(1+x)^{-3}d(x)$ Phương pháp tích phân từng phần rất hiệu quả

Do đó, I = 3 / 8

Chọn đáp án B

$\int_{0}^{1}\frac{2x-3}{x+1}dx$

A. I = 2 - \ln 2

B. I = 2 - 5\ln 2

C. I = 2 + 5\ln 2

D. I = 4 - 5\ln 2

Giải pháp là

$I = int_{0}^{1} rac{2x-3}{x+1}dx = int_{0}^{1}(2- rac{5}{x+1})dx$ Kỹ thuật tính tích phân từng phần rất ấn tượng

Vậy: I = 2 - 5ln2

Chọn lựa đáp án B

$int_{0}^{1} x^{3}(x^{4} - 1)^{3}dx$

A. -1 / 16

B. -1 / 8

C. - 1 / 6

D. 1 / 16

Giải pháp là:

Đặt t = x⁴ nên dt = 4x³dx, suy ra x³dx = dt / 4

$egin{cases} & ext{ } x=0 \ & ext{ } x= 1 end{cases} Rightarrow egin{cases} & ext{ } t=0 \ & ext{ } t= 1 end{cases}$ Kỹ thuật tính tích phân từng phần rất ấn tượng

Chọn đáp án A

$I = int_{0}^{1} rac{(3x - 5)^{10}}{(x+2)^{12}}dx$

I gần với giá trị nào nhất?

A. 186

B. 168

C. 197

D. 174

Giải pháp

Chúng ta có:

$rac{(3x - 5)^{10}}{(x+2)^{12}}dx = rac{1}{11}( rac{3x-5}{x+2})^{10}.d( rac{3x-5}{x+2})$ $int_{0}^{1} rac{(3x - 5)^{10}}{(x+2)^{12}}dx$ $int_{0}^{1} rac{1}{11}left ( rac{3x-5}{x+2} ight )^{10}.dleft ( rac{3x-5}{x+2} ight )$

$egin{cases} & ext{ } x= 0 Rightarrow t = rac{-5}{2}\ & ext{ } x= 1 Rightarrow t = rac{-2}{3} end{cases}$ $int_{ rac{-5}{2}}^{ rac{-2}{3}} rac{1}{11}t^{10}dt$ Kỹ thuật tính tích phân từng phần rất ấn tượng

Lựa chọn đáp án C

Bài 17. Tính các tích phân sau đây

$int_{0}^{1} rac{dx}{(1+x)^{3}}$ $int_{0}^{1} rac{x}{(x+1)}dx$ $int_{0}^{1} rac{2x+9}{(x+3)}dx$

Giải pháp:

$int_{0}^{1} rac{dx}{(1+x)^{3}} = int_{0}^{1} rac{d(1+x)}{(1+x)^{3}}$ Kỹ thuật tính tích phân từng phần rất ấn tượng

$int_{0}^{1} rac{x}{x+1}dx =int_{0}^{1}(1- rac{1}{x+1})dx$ Kỹ thuật tính tích phân từng phần rất ấn tượng

$int_{0}^{1} rac{2x+9}{x+3}dx =int_{0}^{1}(2+ rac{3}{x+3})dx$ Kỹ thuật tính tích phân từng phần rất ấn tượng

Bài 18: Tính các tích phân sau đây:

$int_{0}^{1}(1-x)e^{x}dx$ $int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}dx$

Giải chi tiết:

a) Đặt u = 1 - x; dv = e^xdx

Ta có: du = - dx; v = e^x

Do đó I = e - 2

b) Đặt u = x², dv = e^-x dx, ta có:

du = 2xdx, chọn v = -e^-x

$int_{0}^{1}x.e^{-x}dx$

Tính K: Đặt u = x², dv = e^-xdx

Ta có: du = dx, chọn v = -e^-x

= - 1 / e - (1 / e - 1 ) = - 2 / e + 1

Do đó I = - 5 / e + 2

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Tích phân từng phần là phương pháp gì trong toán học?

Tích phân từng phần là một kỹ thuật toán học được sử dụng để tính tích phân của các hàm số thông qua việc phân tách nguyên hàm và đạo hàm của chúng. Phương pháp này giúp chuyển đổi tích phân phức tạp thành tích phân đơn giản hơn.

Làm thế nào để áp dụng công thức tích phân từng phần?

Để áp dụng công thức tích phân từng phần, bạn cần có hai hàm số u và v với đạo hàm liên tục. Công thức tổng quát có thể viết như sau: ∫u dv = uv - ∫v du. Điều này giúp giảm độ phức tạp của bài toán tích phân.

Các dấu hiệu nhận diện khi sử dụng tích phân từng phần là gì?

Một số dấu hiệu nhận diện khi sử dụng tích phân từng phần bao gồm sự xuất hiện của hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác và hàm số mũ. Việc xác định đúng các loại hàm sẽ giúp bạn chọn lựa phương pháp giải thích hợp.

Có những dạng bài tập tích phân nào thường gặp không?

Có nhiều dạng bài tập tích phân thường gặp, bao gồm tích phân của hàm đa thức với hàm logarit, hàm đa thức kết hợp với hàm lượng giác, và tích phân của hàm số mũ với hàm lượng giác. Mỗi dạng bài có cách giải chi tiết riêng.

Có nên thực hành các bài tập tích phân từng phần không?

Có, thực hành các bài tập tích phân từng phần là rất quan trọng. Điều này không chỉ giúp bạn nắm vững lý thuyết mà còn cải thiện kỹ năng giải quyết bài tập một cách hiệu quả và tự tin hơn.