Khám phá tam giác đều: Định nghĩa và đặc điểm của tam giác đều trong Toán lớp 6

1. Tam giác đều là gì?

Tam giác đều là loại tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc cũng bằng nhau.

* Lưu ý: Trong hình học, các cạnh hoặc góc bằng nhau thường được đánh dấu bằng cùng một ký hiệu để dễ nhận diện.

Ví dụ: Xem hình dưới đây, tam giác ABC đều có các đặc điểm sau:

• Tất cả ba cạnh đều bằng nhau: AB = AC = BC
• Cả ba góc tại các đỉnh A, B, C đều bằng nhau và có giá trị là 60°

2. Các đặc điểm của tam giác đều

• Mỗi góc trong tam giác đều đều có giá trị là 60°
• Trong tam giác đều, đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung tuyến của tam giác.

3. Cách nhận diện tam giác đều

• Nếu một tam giác có ba cạnh đều nhau, đó là tam giác đều.
• Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau, thì đó là tam giác đều.
• Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60°, thì tam giác đó là tam giác đều.
• Nếu một tam giác có hai góc bằng 60°, đó là tam giác đều.
• Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60°, thì chắc chắn đó là tam giác đều.

4. Công thức tính chu vi và diện tích của tam giác đều

Chu vi của tam giác đều được tính bằng công thức: P = 3 x độ dài của một cạnh.

Diện tích của tam giác đều được tính theo công thức: S = (AH x BC) / 2

5. Bài tập thực hành

5.1. Phần bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong tam giác đều ABC, khẳng định nào dưới đây là chính xác?

A. AB > AC > BC

B. AB < AC < BC

C. AB = AC = BC

D. AB = AC < BC

Câu 2. Trong số các hình sau đây, hình nào là tam giác đều?

A. Hình a

B. Hình b

C. Hình c

D. Hình d

Câu 3. Trong hình lục giác đều ABCDEF, có bao nhiêu tam giác đều được tạo thành?

A. 4 tam giác đều

B. 5 tam giác đều

C. 6 tam giác đều

D. 7 tam giác đều

Câu 4. Điền từ phù hợp vào chỗ trống: '.... là hình có ba cạnh và ba góc đều bằng nhau, mỗi góc đều bằng 60°'.

A. Hình vuông

B. Hình tam giác đều

C. Hình lục giác đều

D. Tất cả các đáp án trên đều sai

Câu 5. Dựa trên các biển báo giao thông dưới đây, phát biểu nào là chính xác?

A. Biển báo ở hình 1 là biển báo dừng lại với hình lục giác đều

B. Biển báo ở hình 2 là biển báo chỉ đường với hình vuông

C. Biển báo ở hình 3 là biển báo đường giao nhau với hình tam giác đều

D. Tất cả các phương án A, B và C đều chính xác

Câu 6. Xếp các bước để vẽ hình tam giác đều có cạnh 2cm:

1. Vẽ hai đường tròn với tâm A và B, mỗi đường tròn có bán kính 2cm

2. Vẽ đoạn thẳng AB có độ dài 2cm

3. Kết nối các điểm A với C và B với C để tạo thành tam giác đều ABC với cạnh 2cm

4. Hai đường tròn với tâm A và B giao nhau tại điểm C

A. 1 - 3 - 2 - 4

B. 2 - 1 - 4 - 3

C. 2 - 3 - 1 - 4

D. 1 - 2 - 4 - 3

Câu 7. Phát biểu nào sau đây là không chính xác?

A. Nếu tam giác MNP có MN = NP thì đó là tam giác đều

B. Nếu tam giác MNP có ba góc đều bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều

C. Nếu tam giác MNP có các cạnh MN = NP = PQ thì tam giác đó là tam giác đều

D. Nếu tam giác MNP có NP = PQ thì chưa đủ chứng minh tam giác đó là tam giác đều

Câu 8. Trong hình dưới đây, nếu tất cả các cạnh của mỗi tam giác đều có độ dài bằng nhau, thì có tổng cộng bao nhiêu tam giác đều?

A. 3 tam giác đều

B. 4 tam giác đều

C. 5 tam giác đều

D. 6 cạnh

Câu 9. Trong các hình sau, hình nào có số cạnh nhỏ nhất?

A. Hình tam giác đều

B. Hình vuông

C. Hình lục giác đều

D. Cả ba hình đều có số cạnh giống nhau

5.2. Phần bài tập tự luận

Bài 1. Vẽ tam giác đều DEF với mỗi cạnh dài 6cm. Đặt M là trung điểm của cạnh DE, N là trung điểm của cạnh EF, và P là trung điểm của cạnh DF.

a. Tam giác MNP là loại tam giác gì? Tính chu vi của tam giác MNP.

b. Tính tỷ lệ giữa chu vi của tam giác MNP và chu vi của tam giác DEF

Giải đáp

a. Sử dụng thước thẳng để kiểm tra, ta thấy MP = PN = MN, do đó tam giác MNP là tam giác đều

Tương tự, kiểm tra tam giác EMN, ta thấy tam giác này cũng đều, vì vậy MN = NE = EM

Vì M là trung điểm của cạnh ED, nên EM = 1/2 ED = 1/2 x 6 = 3cm, do đó MN = 3cm

Do đó, chu vi tam giác MNP là 3 x 3 = 9 cm

b. Chu vi của tam giác DEF là 3 x 6 = 18 cm

=> tỷ lệ giữa chu vi tam giác MNP và chu vi tam giác DEF là 9/18 = 1/2

Như vậy, chu vi tam giác MNP bằng một nửa chu vi của tam giác DEF

Bài 2. Sử dụng 9 que diêm giống hệt nhau để tạo thành 5 hình tam giác đều

Đáp án

Sử dụng 9 que diêm để tạo ra 5 hình tam giác đều theo cách sau đây:

Các hình tam giác đều bao gồm ABC, BDE, BCE, CEF, và ADF

Bài 3. Bác Nam có 7 cây xanh và muốn trồng chúng trên một mảnh đất trống. Bác dự định sắp xếp thành 6 hàng, mỗi hàng có 3 cây. Vậy bác Nam cần phải trồng cây như thế nào?

Đáp án

Bác Nam sắp xếp các cây như mô tả trong hình dưới đây:

Bài 4. Xét tam giác đều ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm chính giữa của các cạnh AB, BC và AC. Vẽ thêm các tam giác đều AMP, APC và BQC ra ngoài tam giác đều ABC.

a. Xác định loại hình của các tam giác DEF và MPQ?

b. Chu vi của tam giác DEF là 9cm. Tính chu vi của tam giác MPQ.

Đáp án

a. Sử dụng thước thẳng hoặc compa để kiểm tra, ta nhận thấy:

DE = EF = DF và MP = PQ = MQ, do đó các tam giác DEF và MPQ đều là tam giác đều

b. Ta có AD = 1/2 AB, do đó chu vi của tam giác DEF bằng một nửa chu vi của tam giác ABC

AB = 1/2 MQ nên chu vi của tam giác ABC bằng một nửa chu vi của tam giác MPQ

=> Chu vi của tam giác MPQ gấp 4 lần chu vi của tam giác DEF, hay chu vi của tam giác MPQ = 4 lần chu vi của tam giác DEF

Biết rằng chu vi của tam giác DEF là 9cm

Vậy chu vi của tam giác MPQ là 9 x 4 = 36 cm

Bài 5. Hướng dẫn cách vẽ tam giác đều MNP với cạnh dài 5cm bằng thước ê ke có góc 60°. Tính chu vi của tam giác vừa vẽ?

Đáp án

* Để vẽ tam giác đều MNP có mỗi cạnh dài 5cm sử dụng thước ê ke có góc 60°, thực hiện như sau:

- Bước 1. Dùng thước thẳng vẽ đoạn MN dài 5cm

- Bước 2. Sử dụng ê ke có góc 60° để vẽ góc NMx = 60°

- Bước 3. Dùng ê ke có góc 60° để vẽ góc MNy = 60°

Hai đường thẳng Mx và Ny giao nhau tại điểm P

- Bước 4. Kết nối các điểm M với P và N với P, ta sẽ có tam giác đều MNP

* Chu vi của tam giác đều MNP là 3 x 5 = 15cm

Bài 6. Vẽ một tam giác đều ABC với mỗi cạnh dài x cm. Tiếp theo, vẽ các tam giác đều APB, AQC, và BRC ngoài tam giác ABC

a. Hình PQR có phải là một tam giác đều không?

b. Tính chu vi của hình PQR

Đáp án

a. Sử dụng thước thẳng hoặc compa để kiểm tra, ta thấy:

PQ = QR = PR, do đó tam giác PQR là tam giác đều

b. Vì các tam giác ABC, APB, AQC, và BRC đều là tam giác đều nên:

AB = BC = AC

AB = AP = PB

AC = AQ = QC

BC = CR = BR

Vì vậy, QP = QA = x cm

Do đó, độ dài cạnh PQ là 2x cm

Vì thế, chu vi tam giác PQR là 3 . 2x = 6x cm

Bài 7. Hướng dẫn cách cắt một tam giác đều từ hình vuông

Đáp án

Bước 1. Gấp theo hình mẫu 1

Bước 2. Tiếp tục gấp theo hình mẫu 2

Bước 3. Cắt theo đường viền đỏ trong hình 3 để thu được một tam giác đều