Khi nào hàm số đồng biến hoặc nghịch biến? Định nghĩa và cách nhận diện

1. Khái niệm về hàm số

Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f mà ánh xạ mỗi phần tử x thuộc X đến một phần tử y duy nhất thuộc Y, thì f được gọi là một hàm từ X đến Y, ký hiệu là:

f: X → Y

  x → f(x)

Khi X và Y là các tập hợp số, f được gọi là hàm số. Bài viết này tập trung vào các hàm số thực với biến số thực. X được gọi là miền xác định của hàm số f và thường được ký hiệu là D.

Một số thực x thuộc X được gọi là biến số độc lập (hay biến số hoặc đối số). Giá trị y = f(x) thuộc Y là giá trị của hàm số f tại x. Tập hợp tất cả các giá trị f(x) khi x lấy mọi giá trị trong X gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số f.

Hàm số cũng có thể được định nghĩa như sau: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị x luôn xác định một giá trị y duy nhất, thì y được gọi là hàm số của x và x là biến số.

Chú ý: Nếu khi x thay đổi mà y luôn giữ nguyên giá trị, thì y được gọi là hàm hằng.

Ký hiệu: Khi y là hàm số của x, chúng ta có thể biểu diễn là y = f(x)

2. Khi nào hàm số đồng biến hoặc nghịch biến?

2.1. Khái niệm hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến

Xét K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, và f là một hàm số được xác định trên K.

• Hàm số f được coi là đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)
• Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)
• Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K cũng được gọi là hàm số đơn điệu trên K

Lưu ý: Nếu hàm số là đồng biến trên K, đồ thị của nó sẽ dốc lên; ngược lại, nếu hàm số là nghịch biến trên K, đồ thị của nó sẽ dốc xuống.

2.2. Các điều kiện cần và đủ để hàm số có đạo hàm đồng biến hoặc nghịch biến

Điều kiện cần: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b)

• Hàm số f được coi là đồng biến trên khoảng (a;b) nếu đạo hàm của nó f'(x) >= 0 với mọi x thuộc (a; b)
• Hàm số f được xem là nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu đạo hàm của nó f'(x) <= 0 với mọi x thuộc (a; b)

Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b)

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x trong khoảng (a;b), hàm số f(x) sẽ đồng biến trên khoảng (a;b)
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x trong khoảng (a;b), hàm số f(x) sẽ nghịch biến trên khoảng (a;b)
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x trong khoảng (a;b), hàm số f(x) sẽ không thay đổi trên khoảng (a;b)

Điều kiện đủ (mở rộng): Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K

• Nếu f'(x) >= 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn trong K, hàm số f sẽ đồng biến trên K
• Nếu f'(x) <= 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn trong K, hàm số f sẽ nghịch biến trên K

3. Phương pháp xác định hàm số đồng biến và nghịch biến

Để biết hàm số là đồng biến hay nghịch biến, hãy thực hiện các bước sau để xác định:

• Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số
• Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số
• Bước 3: Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định
• Bước 4: Xây dựng bảng biến thiên với các điểm được sắp xếp theo thứ tự tăng dần
• Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

4. Một số ví dụ về bài toán hàm số đồng biến và nghịch biến

Ví dụ 1: Phân tích sự đồng biến và nghịch biến của hàm số sau đây:

y = 1/3.x^3 - 3.x^2 + 8x - 2

Giải:

Miền xác định của hàm số là: D = R

Đạo hàm của y là: y' = x^2 - 6x + 8 = (x - 2).(x - 4)

y' = 0 dẫn đến x = 2 hoặc x = 4

Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số y = 1/3.x^3 - 3.x^2 + 8x - 2 tăng trên khoảng (-∞; 2) và (4; +∞); giảm trên khoảng (2; 4).

Ví dụ 2: Xét hàm số y = x^3 + 3.x^2 - 9x - 7. Khẳng định nào dưới đây là không đúng?

A. Hàm số giảm trên khoảng (-3; 1)

B. Hàm số tăng trên khoảng (-9; -5)

C. Hàm số tăng trên toàn bộ R

D. Hàm số tăng trên khoảng (5; +∞)

Giải đáp:

Hàm số y = x^3 + 3.x^2 - 9x - 7 có miền xác định là D = R

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3.x^2 + 6x - 9 = 3.(x^2 + 2x - 3) = 3.(x - 1).(x + 3)

y' = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = -3

Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số y = x^3 + 3x^2 - 9x - 7 đồng biến trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞); nghịch biến trên khoảng (-3; 1) => Đáp án chính xác là A

Ví dụ 3: Các khoảng mà hàm số y = -x^4 + 2x^2 - 4 nghịch biến là:

A. (-1; 0) và (1; +∞)

B. (-∞; 1) và (1; +∞)

C. (-1; 0) và (0; 1)

D. (-∞; -1) và (0; 1)

Giải thích:

Hàm số y = -x^4 + 2x^2 - 4 có tập xác định là D = R

Đạo hàm của hàm số y là: y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x - 1)(x + 1)

y' = 0 ⟹ x = 0, x = 1 hoặc x = -1

Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số y = -x^4 + 2x^2 - 4 đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1); nghịch biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞) => Đáp án chính xác là A

5. Một số bài tập luyện tập:

Bài tập 1: Cho hàm số y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 2. Khẳng định nào dưới đây là chính xác?

A. Hàm số này luôn nghịch biến trên R

B. Hàm số này nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

D. Hàm số luôn đồng biến trên toàn bộ R

Bài tập 2: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào luôn nghịch biến trên toàn bộ R?

A. h(x) = x^4 - 4x^2 + 4

B. g(x) = x^3 + 3x^2 + 10x + 1

C. f(x) = -4/5x^5 + 4/3x^3 - x

D. k(x) = x^3 + 10x - cos^2(x)

Bài tập 3: Hàm số y = 3/5.x^5 - 3.x^4 + 4.x^3 - 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (- vô cực; 0)

B. R

C. (0; 2)

D. (2; + vô cực)

Bài tập 4: Xét hàm số y = (2x - 3) / (4 - x). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số này luôn đồng biến trên toàn bộ R

B. Hàm số này luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

C. Hàm số này đồng biến trên từng khoảng xác định

Hàm số này luôn giảm khi xét trên toàn bộ tập R.

Dưới đây là bài viết từ Mytour về chủ đề Hàm số đồng biến và nghịch biến: định nghĩa và cách xác định chúng. Hy vọng thông tin trong bài viết này sẽ giúp bạn có thêm kiến thức và hỗ trợ các bạn học sinh trong việc làm bài tập về hàm số đồng biến và nghịch biến.