Không gian vector

Trong toán học, không gian vector (hay còn gọi là không gian tuyến tính) là tập hợp các đại lượng được gọi là vectơ, có khả năng cộng và nhân với một số, gọi là vô hướng. Vô hướng thường là số thực, nhưng cũng có thể là số phức, số ảo, hoặc tổng quát hơn là một trường bất kỳ. Các phép toán cộng và nhân phải tuân theo các điều kiện nhất định gọi là tiên đề, được liệt kê bên dưới. Để phân biệt vô hướng là thực hay phức, chúng ta thường sử dụng thuật ngữ không gian vector thực hoặc không gian vector phức.

Không gian Euclid là một ví dụ điển hình của không gian vector. Nó đại diện cho các đại lượng vô hướng như lực: Tất cả các lực cùng loại có thể được cộng lại để tạo thành một lực mới, và việc nhân vectơ lực với một số thực cho phép thu được một vectơ lực. Hơn nữa, theo cách hình học, vectơ cũng thể hiện sự thay thế trong mặt phẳng hoặc trong không gian ba chiều, vẫn từ không gian vector. Vectơ trong không gian vector không nhất thiết phải có dạng mũi tên như trong ví dụ của nó: vectơ được xem như một đại lượng toán học với các tính chất cụ thể, đôi khi có thể được mô tả trực quan bằng một mũi tên.

Không gian vector là một phần của đại số tuyến tính, được xác định bởi số chiều của nó, đại khái là số lượng hướng độc lập trong không gian. Không gian vector vô hạn chiều tự nhiên xuất hiện trong toán phân tích, như là một không gian hàm, trong đó vectơ là các hàm. Những vectơ này được tổng quát với cấu trúc cộng thêm, gọi là topology, cho phép xem xét các khía cạnh địa phương và tính liên tục. Topology được định nghĩa bởi norm hoặc tích vô hướng, thể hiện khoảng cách giữa các vectơ. Đây là trường hợp cụ thể của không gian Banach và không gian Hilbert, là những khái niệm cơ bản trong toán học phân tích.

Không gian vectơ phổ biến bao gồm không gian Euclid hai và ba chiều, trong đó các vectơ được đại diện bởi cặp hoặc bộ ba số thực, thể hiện độ lớn và phương hướng.

Định nghĩa

Một vectơ được xác định qua trường F là tập V cùng với hai phép toán đáp ứng tám tiên đề nhất định. Trong đó, V × V biểu thị phép nhân Cartesian của V với chính nó, và → đại diện cho ánh xạ từ một nhóm đến nhóm khác.

• Phép cộng vectơ, ký hiệu là +, là toán tử đầu tiên: V × V → V, cho hai vectơ bất kỳ v và w, tổng của chúng được ký hiệu là v + w.
• Toán tử thứ hai là phép nhân vô hướng: F × V → V, với vô hướng a và vectơ v, cho ra vectơ mới av.

1. Phép cộng vectơ có tính kết hợp: Với mọi u, v, w ∈ V, ta có u + (v + w) = (u + v) + w.
2. Phép cộng vectơ có tính giao hoán: Với mọi v, w ∈ V, ta có v + w = w + v.
3. Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa: Tồn tại phần tử 0 ∈ V, sao cho v + 0 = v với mọi v ∈ V.
4. Phép cộng vectơ có phần tử đối: Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V, sao cho v + w = 0.
5. Phép nhân vô hướng phân phối qua phép cộng vectơ: Với mọi a, v, w ∈ V, ta có a (v + w) = a v + a w.
6. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vô hướng: Với mọi a, b ∈ F và v ∈ V, ta có (
   a + b) v = a v + b v.
7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường số: Với mọi a, b ∈ F và v ∈ V, ta có a (b v) = (ab) v.
8. Phần tử đơn vị của trường F: Với mọi v ∈ V, ta có 1 v = v, 1 là ký hiệu đơn vị của phép nhân trong F.
9. Với mọi x, y ∈ V, ta có x + y ∈ V.
10. Với mọi x ∈ V và a ∈ V, ta có a.x ∈ V.

Một cách chính xác, các tiên đề trên định nghĩa một module, do đó không gian vectơ có thể được coi là 'module trên một trường'. Nó chỉ là một trường hợp đặc biệt của module.

Lưu ý rằng trong định đề thứ 7, khẳng định a (b v) = (ab) v không phải là khẳng định về tính kết hợp của một toán tử, bởi vì ở đây có hai toán tử được đề cập: nhân vô hướng: b v và nhân trong trường số: ab.

Có ý kiến cho rằng nên bổ sung hai tính chất đóng trong định nghĩa của không gian vectơ:

1. V đóng với phép cộng vectơ:

   Nếu u, v ∈ V, thì u + v ∈ V.

2. V đóng với phép nhân vô hướng:

   Nếu a ∈ F và v ∈ V, thì a v ∈ V.

Tuy nhiên, nếu xem phép toán như một ánh xạ trên miền V, thì không cần thiết phải thêm các tiên đề về tính chất đóng vào định nghĩa không gian vectơ.

Ví dụ

Không gian tọa độ

Một ví dụ đơn giản nhất về không gian vectơ thông qua trường F chính là chính nó, với tính chất cộng và nhân của nó. Tổng quát hơn, mọi chuỗi dài n:

(a₁, a₂,..., a_n)

Các phần tử của F tạo thành một không gian vectơ, thường được ký hiệu là F, và được gọi là không gian tọa độ.

Số phức và các trường mở rộng

Tập hợp các số phức C có thể được biểu diễn dưới dạng x+iy, với x và y là các số thực, trong đó i là đơn vị ảo, hình thành nên một không gian vectơ qua số thực với phép cộng và nhân thông thường.

(x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) và c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y) cho mọi số x, y, a, b và c.

• Vectơ (toán học và vật lý)
• Không gian con
• Đại số tuyến tính
• Không gian metric
• Không gian định chuẩn

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Blass, Andreas (1984), “Existence of bases implies the axiom of choice”, Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 31–33, MR 0763890
• Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (ấn bản thứ 3), tr. 193–222, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
• Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (ấn bản thứ 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3
• Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
• van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (bằng tiếng Đức) (ấn bản thứ 9), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8

• Bourbaki, Nicolas (1987), Không gian vectơ topo, Các yếu tố của toán học, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9
• Bourbaki, Nicolas (2004), Tích phân I, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41129-1

Liên kết bên ngoài

• Không gian vectơ Lưu trữ ngày 2016-09-19 trên Từ điển bách khoa Việt Nam