Kích thước

Diện tích là chỉ số thể hiện phạm vi của hình hoặc vùng mặt phẳng hai chiều. Diện tích bề mặt tương đương với diện tích trên mặt phẳng hai chiều của một vật thể ba chiều. Diện tích có thể được coi là lượng vật liệu cần thiết để tạo hình hoặc lượng sơn cần để phủ lên bề mặt. Tương tự như chiều dài của đường cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).

Diện tích của hình được đo bằng cách so sánh với các hình vuông có kích thước cố định. Trong hệ SI, đơn vị diện tích tiêu chuẩn là mét vuông (ký hiệu m²), tương ứng với diện tích của hình vuông có cạnh dài một mét. Một hình có diện tích ba mét vuông tương đương với ba hình vuông như vậy. Trong toán học, hình vuông đơn vị có diện tích bằng một và diện tích của các hình khác là số thực không thứ nguyên.

Có nhiều công thức nổi tiếng để tính diện tích các hình đơn giản như hình tam giác, hình chữ nhật và hình tròn. Bằng cách sử dụng các công thức này, diện tích của bất kỳ đa giác nào có thể được tính bằng cách chia thành các hình tam giác. Đối với các hình có biên cong, tích phân thường được dùng để tính diện tích. Việc xác định diện tích các hình phẳng là một động lực chính cho sự phát triển của tích phân.

Đối với các hình dạng rắn như hình cầu, hình nón hoặc hình trụ, diện tích bề mặt của chúng được gọi là diện tích bề mặt. Các công thức tính diện tích bề mặt cho các hình dạng đơn giản đã được người Hy Lạp cổ đại phát triển, nhưng việc tính toán diện tích bề mặt cho hình dạng phức tạp thường cần đến tích phân đa biến.

Diện tích giữ vai trò quan trọng trong toán học hiện đại. Nó không chỉ quan trọng trong hình học và tính toán mà còn liên quan đến các yếu tố quyết định trong đại số tuyến tính và là một đặc tính cơ bản trong hình học vi phân. Trong phân tích, diện tích của một tập hợp con của mặt phẳng được xác định bằng thước đo Lebesgue, dù không phải tất cả các tập hợp con đều có thể đo được. Nói chung, trong toán học cao cấp, diện tích được xem là một trường hợp đặc biệt của thể tích cho các vùng hai chiều.

Diện tích có thể được xác định bằng cách sử dụng các tiên đề, định nghĩa nó như một hàm của một tập hợp các hình phẳng đặc biệt đưa đến tập hợp các số thực. Có thể chứng minh rằng một hàm như vậy tồn tại.

Định nghĩa chính thức

Một cách tiếp cận để hiểu ý nghĩa của 'diện tích' là thông qua các tiên đề. 'Diện tích' có thể được định nghĩa như một hàm từ tập hợp M gồm các hình phẳng đặc biệt (gọi là tập hợp có thể đo được) đến tập hợp các số thực, và phải thỏa mãn các tính chất sau:

• Đối với mọi S thuộc M, ta có a (S) ≥ 0.
• Nếu S và T thuộc M, thì S ∪ T và S ∩ T cũng thuộc M, với công thức a (S ∪ T) = a (S) + a (T) - a (S ∩ T).
• Nếu S và T thuộc M và S ⊆ T, thì T - S thuộc M và a (T - S) = a (T) - a (S).
• Nếu một tập hợp S thuộc M và S đồng nhất với T, thì T cũng thuộc M và a (S) = a (T).
• Tất cả các hình chữ nhật R đều nằm trong M. Nếu hình chữ nhật có chiều dài h và chiều rộng k, thì a (R) = hk.
• Cho Q là một tập hợp nằm giữa hai vùng bước S và T. Vùng bước được hình thành từ sự kết hợp hữu hạn của các hình chữ nhật liền kề trên cùng một cơ sở, tức là S ⊆ Q ⊆ T. Nếu tồn tại một số duy nhất c sao cho a (S) ≤ c ≤ a (T) đối với tất cả các vùng bước S và T, thì a (Q) = c.

Có thể chứng minh rằng một hàm diện tích như vậy thực sự tồn tại.

Đơn vị

Mỗi đơn vị đo chiều dài đều tương ứng với một đơn vị đo diện tích, chính là diện tích của hình vuông có cạnh bằng đơn vị chiều dài đó. Do đó, diện tích có thể được đo bằng các đơn vị như mét vuông (m²), centimét vuông (cm²), milimét vuông (mm²), kilômét vuông (km²), feet vuông (ft²), yard vuông (yd²), dặm vuông (mi²), v.v. Về mặt đại số, các đơn vị diện tích này có thể được xem là bình phương của các đơn vị chiều dài tương ứng.

Đơn vị đo diện tích trong hệ SI là mét vuông, được xem là đơn vị dẫn xuất của hệ SI.

Chuyển đổi

Để tính diện tích của một hình vuông có cạnh dài 1 mét, ta có công thức sau:

1 mét × 1 mét = 1 m²

Tương tự, diện tích của một hình chữ nhật có chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét có thể được tính như sau:

3 mét × 2 mét = 6 m², tương đương với 6 triệu mm². Một số chuyển đổi hữu ích khác bao gồm:

• 1 km² = 1.000.000 m²
• 1 m² = 10.000 cm² = 1.000.000 mm²
• 1 cm² = 100 mm².

Khi làm việc với các đơn vị không thuộc hệ mét, việc chuyển đổi giữa các đơn vị diện tích được thực hiện bằng cách bình phương tỷ lệ chuyển đổi giữa các đơn vị độ dài tương ứng.

1 foot = 12 inch,

Vì vậy, mối quan hệ giữa feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông.

trong đó 144 = 12 × 12. Tương tự:

• 1 yard vuông = 9 feet vuông
• 1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Thêm vào đó, các yếu tố chuyển đổi khác là:

• 1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
• 1 foot vuông = 0.09290304 mét vuông
• 1 yard vuông = 0.83612736 mét vuông
• 1 dặm vuông = 2.589988110336 km vuông

Các đơn vị khác bao gồm các đơn vị lịch sử

Diện tích có nhiều đơn vị đo lường khác nhau. A là đơn vị cơ bản trong hệ mét, với:

• 1 a = 100 mét vuông

Dù không còn phổ biến, hecta vẫn thường được dùng để đo diện tích đất:

• 1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Mẫu Anh cũng là đơn vị thường thấy trong đo lường diện tích đất.

• 1 mẫu Anh = 4.840 yard vuông = 460 feet vuông.

Một mẫu Anh tương đương khoảng 40% diện tích của một hecta.

Trong lĩnh vực nguyên tử, diện tích thường được đo bằng đơn vị barn:

• 1 barn = 10^-28 mét vuông.

Barn thường được dùng để mô tả diện tích giao thoa trong nghiên cứu vật lý hạt nhân.

Tại Ấn Độ,

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khatha = 1 bigha
• 32 khatha = 1 mẫu Anh

Lịch sử

Diện tích hình tròn

Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, Hippocrates xứ Chios là người đầu tiên nhận ra rằng diện tích của một cái đĩa (vùng nằm trong một vòng tròn) tỷ lệ với bình phương đường kính của nó. Tuy nhiên, ông không xác định được hằng số tỷ lệ. Eudoxus của Cnidus, cùng thời kỳ, cũng phát hiện rằng diện tích của một cái đĩa tròn tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó.

Quyển I của Cơ sở của Euclid đề cập đến sự bằng nhau về diện tích của các hình hai chiều. Archimedes đã dùng các lý thuyết của Euclid để chứng minh rằng diện tích của một vòng tròn bằng diện tích của một tam giác vuông có đáy bằng chu vi của vòng tròn và chiều cao bằng bán kính của vòng tròn, trong tác phẩm Đo một hình tròn của ông. (Chu vi là 2 πr, và diện tích của một tam giác là một nửa đáy nhân chiều cao, do đó diện tích của vòng tròn là πr.) Archimedes đã xấp xỉ giá trị của π bằng cách dùng phương pháp nhân đôi, trong đó ông nội tiếp một tam giác đều vào vòng tròn và tính diện tích của nó, rồi liên tục nhân đôi số cạnh để tạo hình lục giác đều, và tiếp tục như vậy cho đến khi diện tích của đa giác gần bằng diện tích của vòng tròn (cũng thực hiện với đa giác ngoại tiếp).

Vào năm 1761, nhà khoa học Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert đã chứng minh rằng π, tỷ số giữa diện tích của hình tròn và bình phương bán kính của nó, là một số vô tỉ, nghĩa là nó không thể viết dưới dạng thương số của hai số nguyên bất kỳ. Đến năm 1794, Adrien-Marie Legendre, nhà toán học người Pháp, đã chứng minh rằng π là vô tỉ, điều này cũng chứng minh rằng π là vô tỉ. Năm 1882, Ferdinand von Lindemann, nhà toán học người Đức, đã chứng minh rằng π là số siêu việt (không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số hữu tỉ), xác nhận một dự đoán của cả Legendre và Euler.

Diện tích tam giác

Heron (hay Hero) của Alexandria đã phát hiện ra công thức Heron để tính diện tích tam giác dựa trên các cạnh của nó, với một bằng chứng được đưa ra trong cuốn sách Metrica của ông, viết vào khoảng năm 60 CN. Có thể Archimedes đã biết công thức này hơn hai thế kỷ trước, và vì Metrica tập hợp kiến thức toán học của thời cổ đại, có thể công thức đã tồn tại trước khi được ghi chép trong tài liệu đó.

Năm 499, Aryabhata, một nhà toán học và thiên văn học vĩ đại của Ấn Độ cổ đại, đã mô tả diện tích của tam giác bằng một nửa đáy nhân chiều cao trong tác phẩm Aryabhatiya (phần 2.6).

Người Trung Quốc đã phát hiện ra một công thức tương tự như công thức Heron một cách độc lập với người Hy Lạp. Công thức này được công bố vào năm 1247 trong tác phẩm Shushu Jiuzhang ('Cửu chương toán thuật') của Qin Jiushao.

Diện tích tứ giác

Vào thế kỷ thứ 7, Brahmagupta đã phát triển công thức, hiện được biết đến là công thức Brahmagupta, để tính diện tích của một tứ giác nội tiếp (tứ giác có các đỉnh nằm trên một vòng tròn) dựa trên các cạnh của nó. Đến năm 1842, các nhà toán học người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt đã độc lập tìm ra công thức, được gọi là công thức Bretschneider, để tính diện tích của bất kỳ tứ giác nào.

Diện tích đa giác

Sự phát triển của hệ tọa độ Descartes do René Descartes phát minh vào thế kỷ 17 đã mở đường cho việc phát triển công thức tính diện tích của bất kỳ đa giác nào có vị trí đỉnh được biết đến, công thức này được Gauss phát triển vào thế kỷ 19.

Diện tích được xác định bằng tích phân

Vào cuối thế kỷ 17, sự phát triển của phép tính tích phân đã cung cấp công cụ để tính toán những diện tích phức tạp hơn, như diện tích hình elip và diện tích bề mặt của các vật thể ba chiều cong khác nhau.

Công thức diện tích

Đa giác

Đối với một đa giác không tự cắt (đa giác đơn), diện tích có thể tính được bằng tọa độ Descartes $(x_i,y_i)$ (i = 0, 1,..., n -1) của các đỉnh đã biết, theo công thức của người đóng móng.

$A=\frac{1}{2}|\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i{y}_{i+1}-<!--\; -\; -->x_{i+1}{y}_i)|$

Khi i = n -1, thì i +1 sẽ quay về 0 nhờ vào môđun n.

Công thức cơ bản để tính diện tích hình chữ nhật là: Nếu hình chữ nhật có chiều dài là l và chiều rộng là w, thì diện tích được tính bằng công thức:

A = lw.

Diện tích của hình chữ nhật là tích của chiều dài và chiều rộng. Đối với hình vuông, khi l = w, diện tích của nó được tính bằng công thức:

A = s

Công thức diện tích hình chữ nhật dựa trên những đặc điểm cơ bản của diện tích và đôi khi được coi là định nghĩa hoặc tiên đề. Nếu hình học được phát triển trước số học, công thức này có thể được sử dụng để định nghĩa phép nhân các số thực.

Hầu hết các công thức đơn giản về diện tích đều áp dụng phương pháp phân tách hình. Điều này bao gồm việc chia một hình thành các phần nhỏ hơn và tính diện tích tổng bằng cách cộng diện tích của các phần đó.

Chẳng hạn, bất kỳ hình bình hành nào cũng có thể được chia thành hình thang và tam giác vuông, như trong hình bên trái. Nếu di chuyển tam giác sang bên kia hình thang, ta sẽ có hình chữ nhật. Do đó, diện tích của hình bình hành tương đương với diện tích của hình chữ nhật đó:

A = bh  (hình bình hành).

Tuy nhiên, hình bình hành cũng có thể được chia thành hai tam giác đều bằng nhau nhờ một đường chéo, như hình bên phải. Vì vậy, diện tích của mỗi tam giác là một nửa diện tích của hình bình hành:

$A=\frac{1}{2}bh$ (Tam giác).

Các phương pháp chứng minh tương tự có thể áp dụng để xác định công thức diện tích cho hình thang và các đa giác phức tạp hơn.

Diện tích các hình cong

Để tính diện tích hình tròn (hay còn gọi là diện tích đĩa), ta dùng phương pháp tương tự. Với một hình tròn có bán kính r, ta có thể chia nó thành các hình quạt, như mô tả trong hình bên phải. Mỗi hình quạt gần giống hình tam giác, và khi sắp xếp lại, chúng tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành là r, và chiều rộng bằng nửa chu vi của hình tròn, tức là πr. Do đó, diện tích của hình tròn là πr:

A = πr  (hình tròn).

Mặc dù cách chia hình tròn ra thành các phần nhỏ là một phương pháp gần đúng, độ chính xác ngày càng cao khi số lượng phần chia tăng. Giới hạn của diện tích hình bình hành gần đúng là πr, chính là diện tích của hình tròn.

Lập luận này là một ứng dụng cơ bản của các ý tưởng trong phép tính vi tích phân. Trong quá khứ, phương pháp cạn kiệt đã được sử dụng để tính diện tích hình tròn và ngày nay được xem là nền tảng của phép tính tích phân. Hiện tại, chúng ta sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình tròn:

$A=2{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->r}^r\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->x^2}dx=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2.$

Để tính diện tích của một hình elip, ta sử dụng công thức tương tự như hình tròn. Với một hình elip có bán trục chính và bán trục phụ lần lượt là x và y, công thức tính diện tích là:

$A=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}xy.$

Hầu hết các công thức cơ bản để tính diện tích bề mặt có thể được suy ra từ việc cắt và làm phẳng các bề mặt. Ví dụ, mặt bên của một hình trụ hoặc bất kỳ hình lăng trụ nào có thể được cắt và làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, mặt bên của hình nón khi được cắt có thể trở thành một phần của hình tròn, và diện tích của phần này có thể được tính toán.

Tìm công thức diện tích bề mặt của hình cầu phức tạp hơn vì hình cầu có độ cong Gauss khác 0 và không thể bị làm phẳng. Archimedes đã phát hiện ra công thức này trong tác phẩm Về hình cầu và hình trụ. Công thức là:

• A = 4πr  (hình cầu), với r là bán kính của hình cầu. Tương tự như công thức diện tích hình tròn, công thức này cũng được suy ra bằng các phương pháp tích phân.

Công thức tổng quát

• Diện tích tam giác:$\frac{1}{2}Bh$ (trong đó B là cạnh và h là chiều cao). Nếu biết độ dài ba cạnh, áp dụng công thức Heron: $\sqrt{s(s-<!--\; -\; -->a)(s-<!--\; -\; -->b)(s-<!--\; -\; -->c)}$ trong đó a, b, c là các cạnh và $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ là nửa chu vi. Với một góc và hai cạnh, diện tích là $\frac{1}{2}ab\sin <!--\; \; -->\left(C\right)$, với C là góc và a, b là các cạnh. Để tính diện tích tam giác trên mặt phẳng tọa độ, sử dụng công thức ma trận với giá trị tuyệt đối của $\frac{1}{2}(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1-<!--\; -\; -->x_2{y}_1-<!--\; -\; -->x_3{y}_2-<!--\; -\; -->x_1{y}_3)$. Công thức dây giày giúp tính diện tích tam giác từ ba điểm (x 1, y 1), (x 2, y 2) và (x 3, y 3) hoặc các đa giác với các đỉnh đã biết. Cũng có thể dùng phép tính để tính diện tích tam giác trên tọa độ.

• Diện tích giữa đường cong dương và trục hoành, đo từ a đến b, được tính bằng tích phân của hàm đại diện cho đường cong:
• $A={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$
• Diện tích giữa hai đồ thị được tính bằng hiệu tích phân của hai hàm:
• $A={\int }_a^b\left(f\right(x)-g(x\left)\right)dx$
• Diện tích trong tọa độ cực được tính bằng:
• $A=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$
• Diện tích của một đường cong tham số được tính bằng tích phân đường:
• ${\oint }_{t_0}^{t_1}x\dot{y}dt=-{\oint }_{t_0}^{t_1}y\dot{x}dt=\frac{1}{2}{\oint }_{t_0}^{t_1}(x\dot{y}-y\dot{x})dt$
• Hoặc thành phần z của
• $\frac{1}{2}{\oint }_{t_0}^{t_1}\overrightarrow{u}\times \dot{u}dt$

Các công thức phổ biến

• Chiều dài
• Thể tích