Ký hiệu cộng-trừ

Ký hiệu cộng-trừ (±) là một ký hiệu toán học với nhiều ý nghĩa khác nhau.

• Trong toán học, ký hiệu này thường dùng để chỉ một lựa chọn giữa hai giá trị có thể, trong đó một giá trị là đối lập của giá trị còn lại.
• Trong khoa học thực nghiệm, nó thường thể hiện khoảng tin cậy hoặc sai số trong các phép đo, thường là độ lệch chuẩn hoặc sai số chuẩn. Ký hiệu này cũng có thể chỉ một phạm vi chứa các giá trị có thể xảy ra.
• Trong kỹ thuật, ký hiệu này thể hiện độ dung sai, tức là phạm vi các giá trị được chấp nhận, an toàn, hoặc tuân thủ tiêu chuẩn hoặc hợp đồng.
• Trong hóa học, ký hiệu này dùng để chỉ hỗn hợp racemic.
• Trong cờ vua, ký hiệu này chỉ ra lợi thế rõ ràng cho quân trắng; ký hiệu ∓ cho biết lợi thế tương tự cho quân đen.

Ký hiệu này thường được đọc là 'cộng hoặc trừ'.

Lịch sử

Một phiên bản của ký hiệu, cùng với từ Pháp 'ou' (có nghĩa là 'hoặc'), đã được Albert Girard sử dụng vào năm 1626 theo nghĩa toán học. Ký hiệu hiện đại đã được William Oughtred sử dụng gần như đồng thời trong tác phẩm Clavis Mathematicae (1631).

Cách áp dụng

Trong lĩnh vực toán học

Trong các công thức toán học, ký hiệu ± có thể được sử dụng để chỉ một ký hiệu có thể thay thế cho hai ký hiệu + hoặc −, cho phép biểu thức đại diện cho hai giá trị hoặc hai phương trình khác nhau. Ví dụ, với phương trình x = 1, ta có thể viết đáp án là x = ±1. Điều này cho thấy phương trình có hai đáp án, mỗi đáp án có thể được đạt được bằng cách thay thế phương trình này bằng một trong hai phương trình x = +1 hoặc x = −1. Chỉ có một trong hai phương trình thay thế là đúng cho đáp án chuẩn bất kỳ. Một ứng dụng phổ biến của ký hiệu này là trong công thức bậc hai.

$x=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}.$

biểu thị hai nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0.

Tương tự, đẳng thức lượng giác

$\sin <!--\; \; -->(A\pm <!--\; \pm \; -->B)=\sin <!--\; \; -->\left(A\right)\cos <!--\; \; -->\left(B\right)\pm <!--\; \pm \; -->\cos <!--\; \; -->\left(A\right)\sin <!--\; \; -->\left(B\right).$

Có thể coi ký hiệu ± là viết tắt cho hai phương trình: một phương trình với dấu '+' ở cả hai vế và một phương trình với dấu '-' ở cả hai vế. Cả hai phương trình được tạo ra từ ký hiệu ± phải được thay thế một cách đồng nhất; việc thay thế một phương trình bằng dấu '+' và một phương trình khác bằng dấu '-' là không hợp lệ. Khác với ví dụ về công thức bậc hai, cả hai phương trình trong đẳng thức này đều đồng thời hợp lệ.

Một ứng dụng khác của ký hiệu này xuất hiện trong phần công thức chuỗi Taylor của hàm sin:

$\sin <!--\; \; -->\left(x\right)=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{7!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->.$

Trong công thức này, ký hiệu cộng-hoặc-trừ biểu thị các số hạng thay thế, trong đó các số hạng có chỉ số chẵn (bắt đầu đếm từ 0) được cộng vào, còn các số hạng có chỉ số lẻ được trừ. Để diễn đạt chính xác hơn, ta có thể nhân mỗi số hạng với yếu tố (−1), với giá trị +1 khi chỉ số chẵn và -1 khi chỉ số lẻ.

Trong thống kê

Ký hiệu ⟨±⟩ thường được sử dụng để biểu thị độ chính xác khi trình bày các giá trị số kèm theo sai số hay độ lệch thống kê. Ví dụ, '5,7 ± 0,2' có nghĩa là giá trị đo được hoặc ước lượng có thể dao động trong khoảng 0,2 đơn vị quanh 5,7; tức là nó có thể nằm trong khoảng từ 5,5 đến 5,9. Trong lĩnh vực khoa học, ký hiệu này thường liên quan đến xác suất trong khoảng đã nêu, tương ứng với các độ lệch chuẩn 1 hoặc 2 (68,3% hoặc 95,4% trong phân bố chuẩn).

Phần trăm cũng được sử dụng để thể hiện biên độ sai số. Ví dụ, 230 ± 10% V chỉ điện áp dao động trong khoảng 10% quanh 230 V (từ 207 V đến 253 V). Ngoài ra, cũng có thể chỉ định các giới hạn cụ thể cho giá trị trên và dưới. Ví dụ, để chỉ ra rằng giá trị chính xác nhất là 5,7 nhưng có thể lên tới 5,9 hoặc giảm xuống 5,6, ta có thể viết 57+02
−01.

Trong môn cờ vua

Các ký hiệu ± và ∓ được sử dụng trong chú giải cờ vua để biểu thị lợi thế của cờ trắng và cờ đen tương ứng. Tuy nhiên, ký hiệu phổ biến hơn trong cờ vua là + và -. Nếu chúng ta so sánh sự khác biệt, ký hiệu + và - cho thấy lợi thế rõ ràng hơn so với ± và ∓.

Dấu trừ-cộng

Một ký hiệu khác là dấu trừ-cộng (∓). Ký hiệu này thường được sử dụng cùng với ký hiệu '±' trong các biểu thức như 'x ± y ∓ z', có thể hiểu là 'x + y − z' hoặc 'x − y + z', nhưng không phải là 'x + y + z' hay 'x − y − z'. Dấu '−' trên '∓' có liên quan đến dấu '+' trong '±' (tương tự cho hai ký hiệu còn lại), mặc dù không có dấu hiệu rõ ràng về mối liên hệ. (Tuy nhiên, ký hiệu '±' thường được ưu tiên hơn, vì vậy nếu cả hai ký hiệu đều xuất hiện trong một phương trình, tốt nhất là nên giả định chúng có liên kết. Ngược lại, nếu một biểu thức có hai ký hiệu '±', không thể phân biệt liệu đây có phải là hai hoặc bốn biểu thức khác nhau). Biểu thức có thể được viết lại thành 'x ± (y − z)' để tránh nhầm lẫn, nhưng trường hợp như đẳng thức lượng giác

$\cos <!--\; \; -->(A\pm <!--\; \pm \; -->B)=\cos <!--\; \; -->\left(A\right)\cos <!--\; \; -->\left(B\right)\mp <!--\; \mp \; -->\sin <!--\; \; -->\left(A\right)\sin <!--\; \; -->\left(B\right)$

được viết một cách rõ ràng nhất bằng ký hiệu '∓'. Phương trình lượng giác này thể hiện hai phương trình:

$\cos <!--\; \; -->(A+B)=\cos <!--\; \; -->\left(A\right)\cos <!--\; \; -->\left(B\right)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\left(A\right)\sin <!--\; \; -->\left(B\right)$

$\cos <!--\; \; -->(A-<!--\; -\; -->B)=\cos <!--\; \; -->\left(A\right)\cos <!--\; \; -->\left(B\right)+\sin <!--\; \; -->\left(A\right)\sin <!--\; \; -->\left(B\right)$

không phải là

$\cos <!--\; \; -->(A+B)=\cos <!--\; \; -->\left(A\right)\cos <!--\; \; -->\left(B\right)+\sin <!--\; \; -->\left(A\right)\sin <!--\; \; -->\left(B\right)$

$\cos <!--\; \; -->(A-<!--\; -\; -->B)=\cos <!--\; \; -->\left(A\right)\cos <!--\; \; -->\left(B\right)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\left(A\right)\sin <!--\; \; -->\left(B\right)$

bởi vì các ký hiệu được sử dụng một cách luân phiên và độc quyền.

Một ví dụ khác là $x^3\pm <!--\; \pm \; -->1=(x\pm <!--\; \pm \; -->1)(x^2\mp <!--\; \mp \; -->x+1)$ cho hai phương trình.

Mã hóa

• Trong mã Unicode: U+00B1 ± PLUS-MINUS SIGN (HTML ± · ±)
• Trong các tiêu chuẩn ISO 8859-1, -7, -8, -9, -13, -15 và -16, ký hiệu cộng-trừ có mã thập lục phân 0xB1_hex. Do 256 điểm mã đầu tiên của Unicode tương thích với ISO-8859-1, ký hiệu này cũng có mã Unicode là U+00B1.
• Ký hiệu này cũng có một phiên bản mã HTML là ±.
• Ký hiệu trừ-cộng hiếm hơn (∓) thường không có trong các bảng mã cũ và không có một thực thể HTML cụ thể, nhưng có trong Unicode với mã U+2213 và có thể được sử dụng trong HTML bằng ∓ hoặc ∓.
• Trong TeX, ký hiệu 'cộng-trừ' và 'trừ-cộng' được định nghĩa là pm và mp.
• Các ký tự này cũng có thể được tạo ra bằng cách sử dụng một gạch dưới hoặc gạch trên với dấu cộng ( +  hoặc + ), nhưng cần chú ý rằng định dạng có thể bị mất đi, làm thay đổi ý nghĩa của ký hiệu.

Đánh máy

• Trên hệ điều hành Windows, ký hiệu có thể được nhập bằng cách sử dụng mã Alt, bằng cách giữ phím ALT trong khi gõ các số 0177 hoặc 241 trên bàn phím số.
• Trên các hệ thống Unix, ký hiệu có thể được nhập bằng cách gõ chuỗi compose + -.
• Trên hệ điều hành Macintosh, ký hiệu có thể được nhập bằng cách nhấn phím tùy chọn shift = (trên phần bàn phím không phải số).

Các ký hiệu tương tự

Ký hiệu cộng-trừ có hình dạng tương tự như các ký tự Trung Quốc 士 và 土, trong khi ký hiệu trừ-cộng lại giống như 干.

• Các ký hiệu cộng và trừ
• Danh mục các ký hiệu toán học
• ≈ (xấp xỉ bằng)
• Độ chính xác kỹ thuật