Ký hiệu định thức

Định thức là một hàm số gán cho mỗi ma trận vuông A, trả về một số vô hướng, ký hiệu là det(A). Về mặt hình học, định thức thể hiện tỷ lệ tỷ lệ thể tích khi A được xem là một phép biến đổi tuyến tính. Định thức đóng vai trò quan trọng trong việc giải và phân tích các hệ phương trình đại số tuyến tính.

Định thức chỉ áp dụng cho ma trận vuông. Nếu định thức của ma trận bằng 0, ma trận đó được gọi là ma trận suy biến; nếu định thức bằng 1, ma trận đó được gọi là ma trận đơn môđula.

Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính

Khái niệm về định thức lần đầu tiên được sử dụng để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn. Một hệ phương trình có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu định thức của ma trận tương ứng khác 0.

Ví dụ về hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn:

$\{\begin{array}{c}a.x+b.y=e,\\ c.x+d.y=f,\end{array}$

các hệ số của các ẩn tạo nên một ma trận vuông:

và định thức của nó là:

det(A)=ad−bc.

Nếu det(A) khác 0, hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất

$x=\frac{ed-bf}{ad-bc};y=\frac{af-ce}{ad-bc}$.

Nếu det(A) = 0, hệ phương trình có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

Khi e = f = 0, hệ phương trình trở thành hệ tuyến tính đồng nhất, và luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Hệ phương trình sẽ có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu định thức của hệ khác không.

Định thức của ma trận vuông bậc n

Xét ma trận vuông bậc n:

Khái niệm về định thức

Định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm về dấu của các hoán vị.

Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là sản phẩm của n phần tử được chọn từ các hàng và cột khác nhau trong ma trận A, với mỗi sản phẩm được nhân với dấu +1 hoặc -1 tùy theo phép hoán vị của các chỉ số hàng và cột. Gọi Sn là tập hợp các hoán vị của n phần tử 1,2,...,n, công thức Leibniz cho định thức là:

$det\left(A\right)=\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->S_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\right)\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{a}_{i,\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(i\right)}$

Một cách khác để viết định thức của ma trận vuông là như sau

Khi áp dụng cho các ma trận vuông cấp 1, 2, và 3, ta có các kết quả sau:

$det\left[\begin{array}{c}a\end{array}\right]=a$

Các ứng dụng thực tế

Định thức được sử dụng để xác định ma trận có khả năng nghịch đảo hay không (một ma trận chỉ nghịch đảo khi và chỉ khi định thức của nó khác 0) và để giải hệ phương trình tuyến tính theo định lý Cramer. Ngoài ra, chúng còn được dùng để tìm các vectơ riêng của ma trận $A$ thông qua đa thức đặc trưng.

$p\left(x\right)=det(xI-<!--\; -\; -->A)$

Ở đây, I là ma trận đơn vị (identity matrix) có cùng kích thước với ma trận A.

Định thức cũng được xem như một hàm xác định trên các bộ $n$ vectơ trong không gian $R^n$, trong đó toạ độ của n vectơ này tạo thành các cột (hoặc hàng) của một ma trận vuông. Khi đó, dấu của định thức của một cơ sở có thể dùng để xác định hướng của các cơ sở trong không gian Euclide. Nếu định thức của cơ sở là dương, thì các vectơ này tạo thành một cơ sở thuận chiều; ngược lại, nếu định thức âm thì nó tạo thành cơ sở ngược chiều.

Định thức còn được áp dụng để tính thể tích trong giải tích vectơ: Giá trị tuyệt đối của định thức của các vectơ trên trường số thực tương đương với thể tích của khối hộp do các vectơ đó tạo nên. Do đó, nếu một ánh xạ tuyến tính $f:R^n\to <!--\; \to \; -->R^n$ được mô tả bởi ma trận $A$, và $S$ là tập con đo được bất kỳ của $R^n$, thì thể tích của $f\left(S\right)$ được tính bằng $\left|det\left(A\right)\right|\times <!--\; \times \; -->\mathrm{thể\; tích}<!--\; \; -->\left(S\right)$.

Ở một góc độ tổng quát hơn, nếu ánh xạ tuyến tính $f:R^n\to <!--\; \to \; -->R^m$ được biểu diễn qua ma trận $A$_{m x n}, và $S$ là tập con bất kì có thể đo được của $R^n$, thì thể tích n-chiều của $f\left(S\right)$ được tính bằng $\sqrt{det\left(A^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}A\right)}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{thể\; tích}<!--\; \; -->\left(S\right)$. Qua việc tính thể tích của tứ diện với 4 đỉnh, phương pháp này còn có thể ứng dụng để xác định các đường biên.

Thể tích của một tứ diện bất kỳ với 4 đỉnh a, b, c, và d, được tính bằng (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|.

Một ví dụ minh họa

Hãy tìm định thức của ma trận sau:

Cách 1: Áp dụng công thức Leibniz để tính toán

$det\left(A\right)$	$=$	$(-<!--\; -\; -->2)\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->1)+2\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->2+(-<!--\; -\; -->3)\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->0$
		$-<!--\; -\; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->3)-<!--\; -\; -->0\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->2)-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->2$
	$=$	$2+12+0+6-<!--\; -\; -->2=18$

Cách 2: Sử dụng công thức Laplace để khai triển định thức theo hàng hoặc cột. Lựa chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử bằng 0 để dễ tính toán, vì phần tử đó có giá trị định thức bằng 0 ($A_{i,j}x{C}_{i,j}=0x{C}_{i,j}=0$), do đó ta sẽ khai triển theo cột thứ 2.

$det\left(A\right)$	$=$
	$=$	$(-<!--\; -\; -->2)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\right(-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->3)+1\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\right(-<!--\; -\; -->2)\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->3\left)\right)$
	$=$	$(-<!--\; -\; -->2)(-<!--\; -\; -->5)+8=18.$

Cách 3: Sử dụng phương pháp khử Gauss bằng cách áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi các cột hoặc hàng để đơn giản hóa, và sau đó tính định thức.

và định thức có thể tính nhanh chóng khi khai triển theo cột đầu tiên:

$det\left(A\right)$	$=$
	$=$	$2\cdot <!--\; \cdot \; -->(2\cdot <!--\; \cdot \; -->3-<!--\; -\; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->3\left)\right)=2\cdot <!--\; \cdot \; -->9=18.$

…== Tính chất và các phép biến đổi trên hàng và cột của định thức == Với ma trận vuông cấp n A:

1. Định thức của A bằng 0 nếu xảy ra một trong các điều kiện sau:
   1. Tất cả các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của A đều bằng 0;
   2. Hai hàng (hoặc hai cột) của A có tỷ lệ;
   3. Hay tổng quát hơn: Một hàng (hoặc một cột) của A là tổ hợp tuyến tính của các hàng (hoặc cột) khác.
2. Các phép biến đổi có thể thực hiện trên hàng và cột của A:
   1. Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) thì định thức đổi dấu;
   2. Nếu nhân một hằng số a vào một hàng (hoặc một cột) của A, thì định thức của ma trận cuối cùng sẽ là a.det(A);
   3. Nếu nhân một số a ≠ 0 vào một hàng (hoặc cột) của A rồi cộng vào một hàng (hoặc cột) khác, giá trị của định thức không thay đổi.

Định thức và các phép toán trên ma trận.

• $det\left(AB\right)=det\left(A\right)det\left(B\right)=det\left(B\right)det\left(A\right)$ Áp dụng cho mọi ma trận khả tích n-n $A$ và $B$.

Do đó, $det\left(r{I}_n\right)=r^n$ và

$det\left(rA\right)=det(r{I}_n\cdot <!--\; \cdot \; -->A)=r^{n}det\left(A\right)$ với mọi ma trận $n$-$n$ $A$ và mọi số $r$.

• Ma trận $A$ trên một trường là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của A khác 0. Trong trường hợp này, ta có:

$det\left(A^{-<!--\; -\; -->1}\right)=det(A{)}^{-<!--\; -\; -->1}$

• Đối với ma trận vuông A và ma trận chuyển vị của nó A, định thức của chúng là giống nhau:

$det\left(A^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}\right)=det\left(A\right)$.

• Nguyễn Hữu Việt Hưng, 1999, Sách về Đại số tuyến tính