Kỹ thuật phần tử hữu hạn

Kỹ thuật phần tử hữu hạn là một phương pháp số hóa để xấp xỉ các bài toán mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền có hình dạng và điều kiện biên tùy ý, nơi nghiệm chính xác không thể đạt được bằng các phương pháp giải tích.

Phương pháp này dựa trên việc phân chia miền xác định của bài toán thành nhiều phần tử nhỏ hơn, kết nối tại các điểm nút chung. Trong mỗi phần tử, nghiệm được chọn là một hàm xấp xỉ được xác định qua các giá trị chưa biết tại các điểm nút. Các phần tử phải đảm bảo sự liên tục của biến dạng và chuyển vị tại các điểm nút. Kết quả là một hệ phương trình đại số tuyến tính, với các ẩn số là giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút. Giải hệ phương trình này sẽ cho các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút của mỗi phần tử.

Về mặt lý thuyết, kỹ thuật phần tử hữu hạn (KTHH) được áp dụng để giải gần đúng các bài toán phương trình vi phân từng phần (PVTPTP) và phương trình tích phân, như phương trình truyền nhiệt. Giải pháp gần đúng được xây dựng bằng cách loại bỏ phương trình vi phân hoàn toàn (cho các vấn đề trạng thái ổn định) hoặc chuyển PVTPTP sang phương trình vi phân thường tương đương để giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn.

KTHH không tìm giá trị xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định mà chỉ trong các phần tử con của miền đó. Miền được chia thành một số phần tử hữu hạn, liên kết tại các điểm gọi là nút. Các hàm xấp xỉ được thể hiện qua giá trị của hàm (hoặc đạo hàm) tại các điểm nút, được coi là các bậc tự do và là các ẩn số của bài toán.

Khi giải các phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là xây dựng một phương trình xấp xỉ mà vẫn đảm bảo sự ổn định số học, tức là lỗi trong dữ liệu đầu vào và tính toán không làm kết quả trở nên không chính xác. Có nhiều phương pháp khác nhau để thực hiện điều này, mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Phương pháp phần tử hữu hạn là lựa chọn tối ưu cho các bài toán phương trình vi phân từng phần trên các miền phức tạp (như trong các cấu trúc kỹ thuật hoặc đường ống dẫn dầu) hoặc khi yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền. Ví dụ, khi mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, dự báo thời tiết trên đất liền thường quan trọng hơn so với vùng biển rộng, điều này có thể được giải quyết bằng kỹ thuật phần tử hữu hạn.

Ứng dụng

Kỹ thuật phần tử hữu hạn thường được áp dụng trong các bài toán cơ học (như cơ học kết cấu và cơ học môi trường liên tục) để xác định các trường ứng suất và biến dạng của các vật thể.

Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được sử dụng trong vật lý học để giải các phương trình sóng, chẳng hạn như trong vật lý plasma, truyền nhiệt, động lực học chất lỏng và trường điện từ.

Lịch sử

Phương pháp phần tử hữu hạn (PPTHH) ra đời nhằm giải quyết các bài toán phức tạp trong lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu xây dựng và kỹ thuật hàng không. Được Alexander Hrennikoff phát triển vào năm 1941 và Richard Courant vào năm 1942, PPTHH phân chia các miền liên tục thành những phần nhỏ hơn. Hrennikoff sử dụng lưới để phân tách miền, trong khi Courant chia thành các hình tam giác để giải phương trình vi phân elliptic. Đóng góp của Courant là mở rộng phương pháp này, với sự phát triển thêm từ Rayleigh, Ritz, và Galerkin. Vào cuối những năm 1950, PPTHH được ứng dụng chính thức trong phân tích kết cấu máy bay và công trình xây dựng, đạt được nhiều kết quả đáng kể tại Berkeley trong thập niên 1960. Đến năm 1973, phương pháp này được định hình với cuốn sách của Strang và trở thành một phần quan trọng trong toán ứng dụng, với ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như điện từ học và động lực học chất lỏng.

Sự tiến bộ của PPTHH trong cơ học kết cấu cung cấp nền tảng cho các nguyên lý năng lượng, chẳng hạn như nguyên lý công khả dĩ. Điều này tạo ra một cơ sở tổng quát và trực quan theo quy luật tự nhiên, là yêu cầu quan trọng đối với các kỹ sư kết cấu.

Ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ minh họa việc áp dụng PPTHH thông qua hai ví dụ mà phương pháp chung có thể được áp dụng. Giả sử người đọc đã quen thuộc với tính toán và đại số tuyến tính. Chúng ta sẽ giải bài toán một chiều, trong đó hàm f được xác định bởi u, và u là hàm phụ thuộc vào x, với u’’ là đạo hàm bậc hai của u theo x.

Một ví dụ điển hình cho bài toán hai chiều là bài toán Dirichlet.

$\text{P2 }:\{\begin{array}{}\end{array}$

Miền Ω trong ví dụ này là một miền liên tục mở trong mặt phẳng (x, y), với biên ∂Ω có hình dạng 'đẹp' như đa tạp trơn hoặc đa giác. Các đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và y được ký hiệu lần lượt là $u_{xx}$ và $u_{yy}$.

Trong ví dụ P1, chúng ta có thể giải bài toán trực tiếp bằng cách tích phân. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ hiệu quả trong không gian một chiều và không áp dụng được cho không gian nhiều hơn hai chiều hoặc bài toán u + u’’ = f. Do đó, chúng ta sẽ phát triển PPTHH để áp dụng cho trường hợp P1 và mở rộng phương pháp cho trường hợp P2.

Giải bài toán bao gồm hai bước chính. Bước đầu tiên là chuyển đổi bài toán biên thành dạng gần đúng hoặc dạng biến phân, thường được thực hiện bằng tay trên giấy. Bước thứ hai là rời rạc hóa, trong đó dạng gần đúng được chuyển đổi thành không gian hữu hạn chiều. Kết quả cuối cùng là bài toán được giải bằng máy tính, nhưng chỉ là giải gần đúng cho bài toán biên trong không gian hữu hạn chiều.

So sánh giữa phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) và phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH)

PPSPHH là một kỹ thuật khác để giải phương trình vi phân từng phần. Sự khác biệt chính giữa PPPTHH và PPSPHH là:

• PPSPHH chỉ xấp xỉ bài toán phương trình vi phân, trong khi PPPTHH xấp xỉ lời giải của bài toán này.
• PPPTHH đặc biệt ở chỗ có thể áp dụng cho các bài toán hình học và bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Ngược lại, PPSPHH chủ yếu áp dụng trong trường hợp hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, và việc áp dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản về lý thuyết.
• Phương pháp sai phân hữu hạn dễ thực hiện hơn.
• Trong một số trường hợp, PPSPHH có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của PPPTHH với các xấp xỉ. Cả hai phương pháp đều thực hiện xấp xỉ trên toàn miền, nhưng miền này không cần phải liên tục. Có thể chọn một hàm trên miền rời rạc, kết quả là toán tử vi phân liên tục không làm tăng độ dài, nhưng đây không phải là PPPTHH.
• Có lý do để ưu tiên cơ sở toán học của xấp xỉ phần tử hữu hạn, chẳng hạn như vì trong PPSPHH, các điểm lưới bị hạn chế.
• Xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH, nhưng điều này còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác và có thể dẫn đến kết quả trái ngược trong một số trường hợp.

Nói chung, PPPTHH là phương pháp phù hợp để phân tích các bài toán kết cấu (như biến dạng và ứng suất của vật thể khối hoặc động lực học kết cấu), trong khi PPSPHH hoặc các phương pháp khác (như phương pháp khối lượng hữu hạn) thường được sử dụng trong động lực học chất lỏng. Các bài toán về động lực học chất lỏng thường yêu cầu rời rạc hóa thành hàng triệu 'ô vuông' hoặc điểm lưới, vì vậy cần phương pháp giải đơn giản hơn cho các 'ô vuông'. Điều này đặc biệt đúng cho các bài toán như dòng không khí xung quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc mô phỏng thời tiết ở diện rộng. Có nhiều phần mềm cho phương pháp phần tử hữu hạn, bao gồm cả phần mềm miễn phí và phần mềm bán thương mại.

• Wikipedia tiếng Anh
• Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 1997.

Các liên kết bên ngoài

Danh sách các phần mềm mã nguồn mở cho phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm CAST3M, Z88, SLFFEA, YADE, FEniCS, deal.II, getFEM, libMesh, freeFEM, Elmer và Code-Aster.

• CAST3M
• Diffpack
• Z88
• SLFFEA
• YADE
• FEniCS Lưu trữ 2008-05-18 trên Wayback Machine
• deal.II
• getFEM Lưu trữ 2006-11-23 trên Wayback Machine
• libMesh
• freeFEM
• Code-Aster
• Impact
• IMTEK Mathematica Supplement (IMS)
• Calculix
• Elmer
• OOFEM—a phần mềm FEM miễn phí, hướng đối tượng và đa năng
• IFER Lưu trữ 2020-07-20 trên Wayback Machine—Danh sách tài nguyên Phần tử hữu hạn trên Internet - một danh sách được chú thích về các liên kết và chương trình FEA
• Workshop 'Phương pháp phần tử hữu hạn trong Kỹ thuật y sinh, Cơ học sinh học và các lĩnh vực liên quan' Lưu trữ 2006-07-17 trên Wayback Machine

Các phần mềm thương mại cho phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm ABAQUS, ANSYS, LS-DYNA, Nastran, Marc, COMSOL Multiphysics, SAP2000, MIDAS, STAAP PRO, ETABS.

• ABAQUS, Inc. Lưu trữ 2007-02-04 trên Wayback Machine
• Analysis3D
• ANSYS, Inc.
• COMSOL, Inc. - Cung cấp COMSOL Multiphysics (trước đây là FEMLAB)
• COSMOS/M và COSMOSWorks - Xác thực thiết kế tích hợp trong SolidWorks
• CUBIT - Công cụ lưới Hex/Tet (Sandia National Laboratories)
• ESI Pam-Crash - Phần mềm mô phỏng va chạm tiên tiến
• FEMPRO Lưu trữ 2008-09-13 trên Wayback Machine - Cung cấp Algor
• GLView Inova Lưu trữ 2007-09-27 trên Wayback Machine
• Infolytica Corp. Lưu trữ 2008-04-08 trên Wayback Machine
• Livermore Software Technology Corporation, LSTC - Cung cấp LS-DYNA và LS-PrePost
• MEGA Lưu trữ 2006-07-06 trên Wayback Machine - Điện từ
• Moldflow - Cung cấp phần mềm phân tích dòng chảy Moldflow Plastics Insight
• MSC Software - Cung cấp Nastran và Marc
• NAFEMS - Hiệp hội Quốc tế cho Cộng đồng Phân tích Kỹ thuật
• NEiNastran Lưu trữ 2008-09-13 trên Wayback Machine
• NISA Cranes Software International Ltd.
• Plaxis - Phần mềm phần tử hữu hạn cho phân tích đất và đá
• GEO5 - Mô hình hóa các vấn đề địa kỹ thuật khác nhau bằng phương pháp phần tử hữu hạn
• Pro/MECHANICA
• Quickfield - Phiên bản miễn phí (giới hạn 255 nút lưới)
• SOFiSTiK - Phần mềm FEA cấu trúc dựa trên AutoCAD
• Strand7 (còn gọi là Straus7 ở Châu Âu ngoài Vương quốc Anh)
• StressCheck - Phần mềm FEA phiên P
• UGS NX Nastran
• VisualFEA
• Visual-Mesh - Công cụ lưới tiên tiến cho ứng dụng va chạm, nhiệt và từ trường
• SAMCEF Lưu trữ 2008-05-14 trên Wayback Machine