Lãi suất cộng dồn

Lãi suất cộng dồn là phương pháp cộng lãi vào số tiền gốc của khoản vay hoặc gửi, tức là lãi trên lãi, khác với lãi đơn chỉ tính trên số vốn gốc. Kết quả của việc tái đầu tư lãi suất thay vì chi trả nó, làm cho lãi suất trong kỳ tiếp theo được tính trên tổng số tiền gốc cộng với lãi đã tích lũy trước đó. Lãi suất cộng dồn có thể dẫn đến sự gia tăng hoặc giảm sút đáng kể số vốn. Lãi suất cộng dồn còn được gọi là 'lãi mẹ đẻ lãi con', 'lãi tích lũy theo cấp số nhân', hoặc lãi suất cực cao khi cho vay nặng lãi. Ví dụ, một tài khoản ngân hàng với lãi suất cộng dồn hàng năm 20% sẽ có số dư 1200 đô-la sau năm đầu tiên, 1440 đô-la sau năm thứ hai, và tiếp tục như vậy.

Để tính toán lãi suất đầy đủ và so sánh với các lãi suất khác, cần cung cấp lãi suất và tần suất tính lãi cộng dồn. Do nhiều người thường quan tâm đến tỷ lệ phần trăm hàng năm, nhiều chính phủ yêu cầu các tổ chức tài chính cung cấp lãi suất cộng dồn hàng năm tương đương cho tiền gửi hoặc khoản vay.

Ví dụ, lãi suất hàng năm cho một khoản vay với lãi suất 1% mỗi tháng tương đương khoảng 12,68% mỗi năm (1.01 − 1).

Lãi suất hàng năm tương đương có thể được gọi bằng nhiều thuật ngữ khác nhau như tỷ lệ phần trăm hàng năm (APR), lãi suất tương đương hàng năm (AER), lãi suất hiệu quả, hay lãi suất hàng năm hiệu quả. Khi một khoản phí được tính trước cho việc vay mượn, APR thường bao gồm cả chi phí và lãi suất cộng dồn để chuyển đổi sang lãi suất tương đương. Những yêu cầu của chính phủ giúp người tiêu dùng dễ dàng so sánh chi phí thực sự của khoản vay hơn.

Mỗi lãi suất và tần suất tính lãi kép có một lãi suất 'tương đương' có thể được chuyển đổi sang tần suất tính lãi kép khác.

Lãi kép có thể được so sánh với lãi đơn, trong đó lãi không được cộng vào vốn gốc (không có lãi kép). Lãi kép là chuẩn mực trong tài chính và kinh tế, trong khi lãi đơn thường được sử dụng (mặc dù một số sản phẩm tài chính có thể kết hợp cả lãi đơn và lãi kép).

Thuật ngữ

Ảnh hưởng của lãi kép phụ thuộc vào tần suất tính lãi và mức lãi suất định kỳ áp dụng. Để xác định chính xác số tiền cần trả theo hợp đồng, phải xác định tần suất tính lãi kép (như hàng năm, nửa năm, hàng quý, hàng tháng, hàng ngày, vv) và lãi suất. Mặc dù các quy ước có thể khác nhau giữa các quốc gia, các tập quán phổ biến trong tài chính và kinh tế thường là những gì được nêu dưới đây:

Lãi suất định kỳ: là số tiền lãi tính theo từng kỳ hạn, sau đó cộng vào số gốc và chia cho số tiền gốc. Lãi suất định kỳ chủ yếu được dùng cho các phép toán, ít khi được sử dụng để so sánh.

Lãi suất danh nghĩa hàng năm: là lãi suất định kỳ nhân với số lần tính lãi kép trong một năm. Ví dụ, lãi suất hàng tháng 1% tương đương với lãi suất danh nghĩa hàng năm 12%.

Lãi suất hiệu quả hàng năm: phản ánh lãi suất như thể lãi kép được tính hàng năm, tức là tổng lãi cộng dồn vào cuối năm chia cho số gốc.

Các nhà kinh tế thường ưa chuộng lãi suất hiệu quả hàng năm để so sánh. Trong tài chính và thương mại, lãi suất danh nghĩa hàng năm cũng có thể được trích dẫn, nhưng cần lưu ý rằng nó không thể so sánh trực tiếp với các khoản vay có tần suất tính lãi kép khác nhau. Khi trích dẫn cùng với tần suất tính lãi kép, lãi suất danh nghĩa giúp xác định ảnh hưởng chính xác của lãi suất trong các tình huống cho vay cụ thể.

Các khoản vay và tài trợ có thể bao gồm các khoản phí 'không lãi' khác, và các thuật ngữ như tỷ lệ phần trăm hàng năm và lợi suất phần trăm hàng năm có thể có các định nghĩa pháp lý khác nhau và có thể không thể so sánh được, tùy thuộc vào thẩm quyền quy định.

Việc sử dụng các thuật ngữ trên (và những thuật ngữ tương tự) có thể không hoàn toàn phù hợp và thay đổi tùy theo quy định địa phương, mục đích tiếp thị, hoặc vì các lý do khác.

Các ngoại lệ

• Tín phiếu T của Mỹ và Canada (nợ ngắn hạn của Chính phủ) có quy ước tính lãi khác. Lãi suất được tính bằng công thức (100 − P)/Pbnm, với P là giá thanh toán. Thay vì chuẩn hóa theo năm, lãi suất được tính theo số ngày t: (365/t)×100. (Xem quy ước tính ngày).
• Lãi suất trên trái phiếu doanh nghiệp và trái phiếu chính phủ thường được thanh toán hai lần mỗi năm. Số lãi thanh toán (mỗi sáu tháng) là lãi suất công bố chia đôi (nhân với số tiền gốc). Lãi suất hàng năm thực tế thường cao hơn mức công bố.
• Cho vay thế chấp tại Canada thường tính lãi kép nửa năm với các khoản thanh toán hàng tháng (hoặc thường xuyên hơn).
• Cho vay thế chấp tại Mỹ sử dụng phương thức trả góp, không tính lãi kép. Trong các khoản vay này, lịch trình trả góp xác định cách thanh toán cho số gốc và lãi suất. Lãi suất không cộng dồn vào số gốc, mà được thanh toán hàng tháng theo các khoản thanh toán được áp dụng.
• Đôi khi, để đơn giản hóa các phép toán, chẳng hạn như trong định giá phái sinh, người ta sử dụng lãi kép liên tục, tức là giới hạn khi số kỳ tính lãi tiến tới vô hạn. Lãi kép liên tục trong định giá công cụ là hệ quả tự nhiên của tính toán Itō, nơi giá trị của phái sinh được tính theo tần suất ngày càng tăng, cho đến khi đạt tới giới hạn và phái sinh có giá trị liên tục.

Tính toán

Đơn giản hóa

Công thức được mô tả chi tiết hơn trong khái niệm giá trị thời gian của tiền.

Trong các công thức dưới đây, i đại diện cho lãi suất hiệu quả trong mỗi kỳ. FV và PV là các giá trị tương lai và hiện tại của một khoản tiền. n là số giai đoạn.

Dưới đây là những công thức cơ bản nhất:

$FV=PV(1+i{)}^n$

Công thức trên tính giá trị tương lai (FV) của số tiền hiện tại (PV) khi lãi suất là i trong n giai đoạn.

Công thức này cho biết giá trị hiện tại (PV) cần thiết để đạt được một giá trị tương lai nhất định (FV) khi lãi suất (i) được tính cho n giai đoạn.

Công thức này tính toán lãi suất kép cần đạt được nếu số tiền đầu tư ban đầu PV tạo ra giá trị FV sau n giai đoạn.

Công thức này xác định số thời gian cần thiết để đạt được FV từ PV với lãi suất (i) đã cho. Hàm lô-ga-rít có thể là bất kỳ cơ số nào, chẳng hạn như lô-ga-rít tự nhiên (ln), miễn là sử dụng cơ số đó nhất quán trong các phép toán.

Lãi suất kép

Công thức tính lãi suất kép hàng năm là

Tại đây,

• A = giá trị tương lai
• P = số tiền gốc (số tiền đầu tư ban đầu)
• r = lãi suất danh nghĩa hàng năm
• n = số lần lãi suất được cộng vào vốn mỗi năm
• t = số năm mà tiền được vay

Ví dụ: Một khoản tiền 1500 đô-la được gửi vào ngân hàng với lãi suất hàng năm 4.3%, và lãi suất được cộng vào vốn mỗi quý. Tính số dư sau 6 năm.

A. Áp dụng công thức trên, với P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, và t = 6:

Vì vậy, số dư sau 6 năm là khoảng 1,938.84 đô-la. Để tính lãi kép, bạn có thể lấy số dư này trừ đi số tiền gốc.

Tính lãi kép theo định kỳ

Hàm mô tả lãi kép là một hàm mũ theo thời gian.

• $t$ = Tổng thời gian tính bằng năm
• $n$ = Số lần lãi suất được cộng vào vốn mỗi năm (lưu ý rằng tổng số lần cộng lãi là $n\cdot <!--\; \cdot \; -->t$)
• $r$ = Lãi suất hàng năm danh nghĩa biểu thị dưới dạng thập phân, ví dụ: 6% = 0.06
• $\lfloor <!--\; \lfloor \; -->nt\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$ có nghĩa là giá trị nt được làm tròn xuống số nguyên gần nhất.

Khi n tăng lên, tỷ lệ này tiếp cận giới hạn của e. Tỷ lệ này được gọi là lãi kép liên tục, xem thêm chi tiết bên dưới.

Vì số tiền gốc A(0) chỉ là một yếu tố hệ số, thường được loại bỏ để đơn giản hóa, và hàm tích lũy được sử dụng trong lý thuyết tiền lãi để thay thế. Dưới đây là các hàm tích lũy cho lãi đơn và lãi kép:

$a\left(t\right)=1+tr$

Lưu ý: A(t) đại diện cho hàm số lượng, trong khi a(t) là hàm tích lũy.

Một cách hiểu khác là: Khi gửi tiền vào ngân hàng, bên cạnh lãi đơn (trong đó lãi của kỳ trước không được cộng vào vốn cho kỳ tiếp theo, nếu người gửi không rút lãi), còn có phương pháp lãi kép. Theo phương pháp này, nếu người gửi không rút tiền khi đến kỳ hạn thì lãi sẽ được cộng vào vốn của kỳ tiếp theo. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kỳ, thì sau N kỳ, tổng số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là:

$C=A(1+n{)}^N$

(Có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp với N).

Bài toán: Một người gửi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng là r. Tính số tiền tổng cộng, bao gồm cả vốn lẫn lãi, mà người đó nhận được sau n tháng?

Giải: https://www.mathvn.com/2017/08/cong-thuc-lai-kep-trong-bai-toan-lai.html#google_vignette

[1]

Ví dụ áp dụng:

Theo phương pháp lãi kép theo định kỳ, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng.

a. Nếu với kỳ hạn 1 năm và lãi suất 7,56%/năm, sau 2 năm người đó sẽ nhận được số tiền là:

$10.(1+0,0756{)}^2\approx <!--\; \approx \; -->11,569$ (triệu đồng).

b. Nếu lãi suất được áp dụng theo kỳ hạn 3 tháng với tỷ lệ 1,65% mỗi quý, sau 2 năm người đó sẽ nhận được số tiền là:

$10.(1+0,0165{)}^8\approx <!--\; \approx \; -->11,399$ (triệu đồng).

Nếu $N_0$ là dân số ban đầu của một quốc gia và tỷ lệ tăng trưởng dân số hàng năm là r% thì dân số sau n năm được tính theo công thức: $N=N_0(1+r{)}^n$.

Sự gia tăng dân số cũng có thể được tính theo phương pháp lãi kép liên tục.

Một tài sản với giá trị ban đầu là $H_0$, nếu giá trị của tài sản giảm r% mỗi năm, thì sau n năm, giá trị còn lại của tài sản được tính bằng công thức: $H=H_0(1-<!--\; -\; -->r{)}^n$.

Một khu rừng có diện tích ban đầu là $T_0$, nếu diện tích của khu rừng tăng thêm (hoặc giảm đi) r% mỗi năm, thì sau n năm, diện tích khu rừng được tính theo công thức: $T=T_0(1\pm <!--\; \pm \; -->r{)}^n$.

Khi tính toán diện tích rừng thay đổi hàng năm, nếu diện tích tăng thì dùng dấu '+', còn nếu giảm thì dùng dấu '-'.

Nếu mỗi tháng một người gửi vào ngân hàng số tiền m triệu đồng và lãi suất tiết kiệm ổn định là r%, thì sau n tháng, tổng số tiền người đó nhận được được tính theo công thức:

$T=m(1+r)\frac{(1+n{)}^n-<!--\; -\; -->1}{r}$.

Nếu một người vay số tiền T và trả mỗi tháng là m, sau đúng 1 tháng từ ngày vay, thì số tiền còn nợ sau n tháng được tính như sau:

Số tiền còn nợ sau n tháng là: $T(1+r{)}^n-<!--\; -\; -->m.\frac{(1+r{)}^n-<!--\; -\; -->1}{r}$.

Để số nợ được trả hết sau n tháng, số tiền còn nợ phải bằng 0, tức là: $T(1+r{)}^n-<!--\; -\; -->m.\frac{(1+r{)}^n-<!--\; -\; -->1}{r}=0$, tương đương với: $m=\frac{T.(1+r{)}^n.r}{(1+r{)}^n-<!--\; -\; -->1}$.

Vì vậy, số tiền cần trả mỗi tháng để hoàn thành trả nợ sau n tháng được tính bằng công thức:

$m=\frac{T.(1+r{)}^n.r}{(1+r{)}^n-<!--\; -\; -->1}$.

Tính toán lãi kép liên tục

Lãi kép liên tục có thể được hiểu là việc áp dụng lãi kép trong điều kiện lãi suất cực kỳ nhỏ; để đạt được điều này, cần phải tính giới hạn của n khi

$A\left(t\right)=A_0{e}^{rt}$

hoặc:

$A=P{e}^{rt}$

hoặc:

$S=A{e}^{Nr}$; (*)

Chi tiết hơn: Nếu gửi vào ngân hàng một số tiền A với lãi suất hàng năm là r theo hình thức lãi kép, thì sau N năm, số tiền nhận được bao gồm cả vốn lẫn lãi sẽ là $A(1+r{)}^N$ (lãi kép định kỳ).

Nếu chia mỗi năm thành m kỳ để tính lãi và giữ nguyên lãi suất hàng năm là r, thì lãi suất cho mỗi kỳ sẽ là $r÷<!--\; ÷\; -->m$ và số tiền thu được sau N năm (hay sau Nm kỳ) sẽ là $A[1+r÷<!--\; ÷\; -->m{]}^{Nm}$.

Rõ ràng, khi số kỳ m trong một năm tăng lên, số tiền nhận được sau N năm (tức Nm kỳ) cũng sẽ gia tăng. Tuy nhiên, sự gia tăng này không thể tiếp tục vô hạn.

Nhiều hiện tượng tự nhiên và xã hội, như sự gia tăng dân số, được mô tả bằng công thức (). Bên cạnh tên gọi công thức lãi kép liên tục, công thức () còn được gọi là công thức tăng trưởng mũ.

Ví dụ thực tế: Sự gia tăng dân số có thể được tính bằng công thức (*), trong đó A là dân số tại thời điểm bắt đầu, S là dân số sau N năm, và r là tỷ lệ tăng trưởng dân số hàng năm. Giả sử tỷ lệ tăng trưởng dân số toàn cầu hàng năm là 1,32% và vào năm 1998, dân số thế giới là khoảng 5926,5 triệu người. Dự đoán dân số thế giới vào năm 2008 (sau 10 năm) sẽ là:

$5926,5.e^{10.0,0132}\approx <!--\; \approx \; -->6762,8$ (triệu người).

Ví dụ áp dụng công thức: Nếu gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8% mỗi năm theo thể thức lãi kép liên tục, sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: $100.e^{2.0,08}\approx <!--\; \approx \; -->117,351087$ (triệu đồng).

Trong thực tế, nhiều hiện tượng tự nhiên và xã hội có sự tăng trưởng (hoặc suy giảm) tương tự như lãi kép liên tục, chẳng hạn như tăng trưởng dân số, sự sinh sản của vi khuẩn, sự phân hủy của các chất phóng xạ, v.v. Các hiện tượng này được gọi là tăng trưởng (hoặc suy giảm) mũ.

Thực chất, tăng trưởng (hoặc suy giảm) mũ được đặc trưng bởi một hàm số có đạo hàm tại mỗi điểm tỉ lệ với giá trị của hàm số tại điểm đó với một hệ số tỉ lệ không đổi, tức là hàm số: $y=f\left(x\right)$ phải thỏa mãn điều kiện:

$f^{\prime }\left(x\right)=kf\left(x\right)$; (1)

(Xét trong một khoảng nào đó) với k là một hằng số khác 0. Nếu k > 0 thì k gọi là tỉ lệ tăng trưởng, và nếu k < 0 thì gọi là tỉ lệ suy giảm.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn điều kiện (1) khi và chỉ khi nó có dạng:

$y=C{e}^{kx}$; (với C là hằng số bất kỳ); (2)

Chứng minh:

Rõ ràng $C$ là giá trị của hàm số $f$ tại $x=0$, nên $C$ còn được gọi là giá trị ban đầu. Trong công thức lãi kép liên tục, giá trị ban đầu chính là số vốn gửi vào ngân hàng $(C=A)$, $k$ là lãi suất hàng năm $(k=r)$ và $x$ là số năm gửi $(x=N).$

Khi k < 0 trong công thức (2), hàm số $y=C{e}^{kx}$ mô tả sự giảm dần theo quy luật mũ. Ví dụ điển hình về sự giảm mũ là phân hủy của các chất phóng xạ.

Giả sử ta có một khối lượng phóng xạ ban đầu là $u_0$, thì lượng phóng xạ còn lại sau thời gian t sẽ được tính như sau:

$u\left(t\right)=u_0{e}^{kt}$

Trong đó, k < 0 đại diện cho hệ số suy giảm (trong vật lý, giá trị được gọi là hằng số phóng xạ)

Chúng ta đặt $u_1=u\left(t_1\right)$ và $u_2=u\left(t_2\right)$ và xét tỷ lệ giữa chúng.

$\frac{u_2}{u_1}=\frac{u_0.e^{k{t}_2}}{u_0.e^{k{t}_1}}=e^{k(t_2-<!--\; -\; -->t_1)}$.

Kết quả này chứng minh rằng tỷ số giữa lượng phóng xạ còn lại tại hai thời điểm $t_2$ và $t_1$ chỉ phụ thuộc vào hiệu số $t_2-<!--\; -\; -->t_1$. Điều này dẫn đến khái niệm chu kỳ bán rã của chất phóng xạ, là khoảng thời gian mà lượng chất phóng xạ còn lại chỉ còn một nửa. Nói cách khác, chu kỳ bán rã chính là khoảng thời gian $s=t_2-<!--\; -\; -->t_1$ sao cho

$\frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{2}=e^{ks}$; (3)

Từ (3) ta có $s=\frac{-<!--\; -\; -->ln2}{k}$ hay $k=\frac{-<!--\; -\; -->ln2}{s}$. Do đó, biết chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ, ta có thể tính được hệ số suy giảm của nó. Ví dụ, với chu kỳ bán rã của radium là 1550 năm, hệ số suy giảm của radium sẽ là: $k=\frac{-<!--\; -\; -->ln2}{1550}\approx <!--\; \approx \; -->-<!--\; -\; -->0,000447$

Giả sử lượng bèo ban đầu là $T_0$ và mỗi giờ lượng bèo tăng gấp đôi, thì sau n giờ, lượng bèo sẽ là: $T=T_0{.2}^n$.

Một cách tổng quát, nếu mỗi giờ lượng bèo tăng k lần thì sau n giờ, lượng bèo sẽ là: $T=T_o.k^n$

Giả sử số lượng vi khuẩn ban đầu là A và số lượng vi khuẩn sau thời gian t là s(t), với tỷ lệ tăng trưởng của vi khuẩn là r (r > 0). Vậy, sau thời gian t, số lượng vi khuẩn sẽ được tính bằng công thức:

$S\left(t\right)=A.e^{rt}$.

Ảnh hưởng của lãi suất

Trong toán học, các hàm tích lũy thường được diễn tả bằng số e, cơ số của lô-ga-rít tự nhiên. Điều này giúp đơn giản hóa việc áp dụng các phương pháp tính toán vào công thức lãi suất.

Đối với một hàm tích lũy khả vi liên tục bất kỳ a(t), ảnh hưởng của lãi suất hay hoàn vốn kép liên tục được định nghĩa như sau:

Đây là tỷ lệ thay đổi theo thời gian của lô-ga-rít tự nhiên trong hàm tích lũy.

Đảo ngược: $a\left(n\right)=e^{{\int <!--\; \int \; -->}_0^n{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{t}dt}$ (vì $a\left(0\right)=1$)

Khi viết công thức trên dưới dạng phương trình vi phân, ảnh hưởng của lãi suất đơn giản là hệ số của số lượng thay đổi: $da\left(t\right)={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{t}a\left(t\right)dt$

Với lãi kép và lãi suất hàng năm không thay đổi r, ảnh hưởng của lãi suất là một hằng số, và hàm tích lũy của lãi kép về ảnh hưởng của lãi suất là lũy thừa đơn giản của số e: $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\ln <!--\; \; -->(1+r)$ hoặc $a\left(t\right)=e^{t\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$

Một cách để mô hình hóa tác động của lạm phát là sử dụng công thức Stoodley: ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_t=p+\frac{s}{1+rs{e}^{st}}$ trong đó p, r và s là các giá trị ước tính.

Nguyên tắc tính lãi kép

Để chuyển đổi giữa hai cơ sở lãi kép khác nhau, sử dụng công thức dưới đây:

Trong đó, r₁ là lãi suất áp dụng với tần suất lãi kép n₁ và r₂ là lãi suất áp dụng với tần suất lãi kép n₂.

Khi tiền lãi được tính theo lãi kép liên tục:

$R=n\ln <!--\; \; -->\left(1+r/n\right)$

Trong đó, R là lãi suất tính theo cơ sở lãi kép liên tục và r là lãi suất áp dụng với tần suất lãi kép n.

Thanh toán tiền vay thế chấp hàng tháng

Lãi suất cho vay thế chấp thường được tính theo lãi kép hàng tháng. Công thức tính các khoản thanh toán hàng tháng có thể được xác định dựa trên các yếu tố sau đây.

• I = Lãi suất theo tài liệu (biểu thị dưới dạng thập phân, ví dụ 12% là 0.12)
• i = Lãi suất hàng tháng = I/12 (do đó APR = (1+i)^12 - 1)
• T = Thời gian vay tính theo năm
• Y = I•T
• X = ½ I•T = ½ Y
• n = 12•T = thời gian tính theo tháng
• L = Số tiền vay gốc
• P = Khoản thanh toán hàng tháng

Công thức chính xác để tính khoản thanh toán hàng tháng là

hoặc tương đương

Phương trình này có thể được suy ra bằng cách xem số tiền còn lại sau mỗi tháng thanh toán. Sau tháng đầu tiên, số tiền còn lại là $L_1=(1+i)L-<!--\; -\; -->P$, tức là số tiền vay ban đầu đã giảm đi số tiền đã trả. Nếu toàn bộ khoản vay được thanh toán sau một tháng thì $L_1=0$, vì vậy . Sau tháng thứ hai, số tiền còn lại là $L_2=(1+i)L_1-<!--\; -\; -->P$, tức là $L_2=(1+i)\left(\right(1+i)L-<!--\; -\; -->P)-<!--\; -\; -->P$. Nếu toàn bộ khoản vay được thanh toán sau hai tháng thì $L_2=0$ và phương trình trở thành . Công thức này tổng quát cho một thời gian n tháng là . Đây là tổng của một chuỗi số học, cụ thể là chuỗi số hình học (geometric series) hoặc cấp số nhân (arithmetic sequence).

Vậy, chúng ta có thể viết lại phương trình này như sau:

Công thức này được áp dụng cho việc trả nợ hàng tháng trong các khoản vay thế chấp ở Hoa Kỳ và là công thức chính xác mà các ngân hàng thường sử dụng.

Để tìm công thức gần đúng, ta có thể nhận thấy rằng đối với các lãi suất hàng năm điển hình ở Hoa Kỳ ( và kỳ hạn T=10–30 năm), lãi suất hàng tháng rất nhỏ so với 1: $i\ll <!--\; \ll \; -->1$ do đó $\ln <!--\; \; -->(1+i)\approx <!--\; \approx \; -->i$ sẽ dẫn đến công thức đơn giản hóa cho

Điều này cho thấy cách xác định các biến phụ trợ.

$Y\equiv <!--\; \equiv \; -->ni=TI$

.

$P_0$ là số tiền phải trả hàng tháng để thanh toán hết khoản vay nếu lãi suất bằng không trong $n$ kỳ hạn. Trong các điều kiện của các biến này, công thức xấp xỉ có thể được viết

Hàm cho thấy hàm này thậm chí còn đơn giản hơn: $f\left(Y\right)=f(-<!--\; -\; -->Y)$ cho thấy rằng nó có thể mở rộng dễ dàng với các lũy thừa của $Y$.

Ngay lập tức, có thể được mở rộng đến các lũy thừa của $Y$ cộng với kỳ hạn đơn: $Y/2$

Điều này sẽ cho phép xác định một cách tiện lợi

Vì vậy, có thể được mở rộng thành:

với dấu ba chấm cho thấy các số mũ cao hơn và các lũy thừa của $X$. Biểu thức

để đạt được độ chính xác hơn 1%, yêu cầu $X\le <!--\; \le \; -->1$.

Với một khoản vay thế chấp kỳ hạn 30 năm và lãi suất giấy tờ là 4.5%, chúng ta có thể tính được:

$T=30$

$I=0.045$

cho thấy phương trình xấp xỉ như sau

là chính xác hơn 1% cho các điều kiện thế chấp tiêu chuẩn ở Mỹ vào tháng 1 năm 2009. Công thức này sẽ giảm độ chính xác với lãi suất cao hơn và thời gian vay dài hơn.

Với một khoản vay 120.000 đô-la và kỳ hạn 30 năm, cùng với lãi suất giấy tờ 4.5%, chúng ta tính được:

$L=120000$

do đó:

Số tiền thanh toán thực tế là $P=\mathrm{\$<!--\; \$\; -->}608.02$, do đó ước lượng này có sự chênh lệch khoảng 6%.

Lịch sử

Lãi kép từng bị xem là hình thức cho vay lãi suất cao nhất và đã bị chỉ trích nặng nề trong luật pháp La Mã, cũng như trong nhiều hệ thống pháp luật khác.

Một đoạn trong Thánh Kinh mô tả cách tính lãi như sau:

“ Đừng thu lãi nặng hoặc lãi vay từ người khác; hãy kính sợ Thiên Chúa của bạn để anh em của bạn có thể sống cùng bạn. Bạn không được cho anh ta vay tiền với lãi cao, cũng như không cho anh ta vay thực phẩm để kiếm lời. ”

— Leviticus 25:36-37   

Qur'an nêu rõ lãi kép là một tội nặng. Cho vay nặng lãi, hay còn gọi là 'riba' trong tiếng Ả Rập, bị coi là hành vi sai trái:

“ Hỡi những tín đồ! Đừng tích lũy lãi suất, gấp đôi hay gấp bốn số tiền vay. Hãy thực hiện nghĩa vụ của mình trước Allah để anh em có thể thành công.  ”

— Qur'an 3:130   

Cuốn sách của Richard Witt, Những câu hỏi số học, xuất bản năm 1613, đã đánh dấu một bước ngoặt quan trọng trong lịch sử lãi kép. Nó hoàn toàn tập trung vào chủ đề này (trước đây gọi là anatocism), trong khi các tác giả trước đó thường chỉ đề cập lãi kép trong một chương ngắn trong sách giáo khoa toán học. Cuốn sách của Witt cung cấp các bảng dựa trên lãi suất 10% (mức lãi suất tối đa cho các khoản vay hợp pháp) và các mức lãi suất khác cho các mục đích khác nhau, như xác định giá trị hợp đồng thuê tài sản. Witt, một học giả toán học đến từ London, đã tạo nên cuốn sách nổi bật nhờ sự rõ ràng, độ sâu và chính xác của tính toán, với 124 ví dụ thực tế.

Ngược lại, nhiều người trong lĩnh vực tài chính và học thuật lại coi lãi kép là một điều kỳ diệu và là một phép màu của thế giới:

Lãi kép là kỳ quan thứ tám của thế giới.

— Albert Einstein.

• Lãi suất thẻ tín dụng
• Tăng trưởng hàm mũ
• Phương trình Phi-sơ
• Tỷ suất hoàn vốn đầu tư
• Đường cong lợi suất