Lập phương của một hiệu: Công thức và Bài tập - Phần 5 trong loạt hằng đẳng thức

Công thức lập phương của một hiệu được áp dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách cực kỳ hiệu quả. Vì vậy, trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức này, cùng với ví dụ minh họa và các bài tập có đáp án chi tiết. Hãy tham khảo thêm tài liệu: bài tập về hằng đẳng thức, bài tập về bình phương của một tổng, cũng như các bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Lập phương của một hiệu

1. Khái niệm về Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu là phép tính bằng cách lấy lập phương của số thứ nhất, trừ ba lần tích giữa bình phương của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với ba lần tích giữa số thứ nhất và bình phương của số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ ba.

2. Công thức Lập phương của một hiệu

Với M, N là một biểu thức hoặc một số bất kỳ, ta có:

(M – N)³ = M³ – 3M²N + 3MN² – N³

Ví dụ: ( M – 2)² = M³ – 3.M².2 + 3M.2² – 2³ = M³ – 6M² + 12M – 8

* Công thức mở rộng của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

(M – N )³ = M³ – N³ – 3MN(M-N)

Ví dụ: (2 – N)³ = 2³ – N³ – 3.2.N(2 - N) = 8 – N³ – 6N(2-N) = 8 – 12N + 6N² – N³

3. Các dạng bài tập lập phương của một hiệu

a. Dạng 1: Chuyển biểu thức thành hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

*Phương pháp giải: Sử dụng công thức của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để giải bài toán

Ví dụ: Chuyển biểu thức sau thành dạng lập phương của một hiệu

729 – 243n + 27n² – n³

Gợi ý đáp án 

Ta có: 729 – 243n + 27n² – n³ = 9³ – 3.9².n + 3.9.n² – n³ = (9 – n)³

Bài tập luyện tập

Bài 1: Chuyển biểu thức sau thành dạng lập phương của một hiệu

a) 8n³ – 36n² + 54n – 27

b) m³ – 21m

c) 27 – 27m + 9m² – n³

d) (m + 2 )³ – 3a(m+2)² + 3a²(m+2) – a³

Gợi ý đáp án 

a) 8n³ – 36n² + 54n – 27

Ta có: 8n³ – 36n² + 54n – 27 = (2n)³ - 3.(2n)².3 + 3.2n.3² - 3³ = (2n - 3)³

b) m³ – 21m² + 147m - 343

Ta có: m³ – 21m² + 147m - 243 = m³ - 3.m².7 + 3.m.7² - 7³ = (m - 7)³

c) 27 – 27m + 9m² – n³

Ta có: 27 – 27m + 9m² – n³ = 3³ - 3.3².n + 3.3.n² - n³ = (3 - n)³

d) (m + 2)³ – 3a(m+2)² + 3a²(m+2) – a³

Ta có: (m + 2)³ – 3.(m+2)².a + 3.(m+2).a² – a³ = (m + 2 - a)³

b. Dạng 2: Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

*Phương pháp giải: Sử dụng công thức của hằng đẳng thức đáng nhớ để giải bài toán

Ví dụ: Khai triển hằng đẳng thức sau

(2 – 2m)³

Giải

Có: (2 – 2m)³ = 2³ – 3.2².2m + 3.2.(2m)² - (2m)³ = 8 – 24m + 24m² - 8m³

Bài tập luyện tập

Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu sau

a) (1 – 4m)³

b) (2m – 5)³

c) (n + 2 – a)³

d) (3n – 2a)³

Gợi ý đáp án

a) (1 – 4m)³

= 1³ - 3.1².4m + 3.1.(4m)² - (4m)³

= 1 - 12m + 48m² - 64m³

b) (2m – 5)³

= (2m)³ - 3.(2m)².5 + 3.2m.5² - 5³

= 8m³ - 60m² + 150m - 125

c) (n + 2 – a)³

= [(n + 2) – a]³

= (n + 2)³ - 3.(n+2)².a + 3.(n+2).a² - a³

d) (3n – 2a)³

= (3n)³ - 3.(3n)².2a + 3.3n.(2a)² - (2a)³

= 27n³ - 54n²a + 36na² - 8a³

c. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức nhanh chóng dựa vào hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

*Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và điều kiện trong đề bài để giải quyết vấn đề

Ví dụ: Cho m = 2. Tính giá trị của biểu thức

X = m³ – 3m² + 3m – 1

Gợi ý đáp án 

Thay m bằng 2 vào phép tính, ta thu được kết quả là 1.

Biểu thức m³ – 3m² + 3m – 1 có thể đổi thành dạng một hiệu lập phương. Điều này giúp cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn và tránh được sự nhầm lẫn.

Khi thay mình một cách thông minh, biểu thức X trở nên rất đơn giản.

Đặt m = 2 vào biểu thức X, ta thu được kết quả.

X = (2 – 1)³ = 1³ = 1

Do đó, khi m = 2, giá trị của X là 1.