Logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên (hay còn gọi là logarit Nêpe) là logarit với cơ số e, được phát minh bởi nhà toán học John Napier. Ký hiệu của nó là: ln(x) hoặc log_e(x).

Logarit tự nhiên của một số x là số mũ mà e cần phải được nâng lên để có giá trị bằng x. Nói cách khác, ln(x)=a có nghĩa là e^a=x. Ví dụ, ln(7.389) bằng 2 vì e^2=7.389... Trong đó, logarit tự nhiên của e bằng 1 và logarit tự nhiên của 1 bằng 0.

Logarit tự nhiên được định nghĩa cho mọi số thực a (trừ số 0) là diện tích dưới đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{x}$ từ 1 đến a. Định nghĩa đơn giản này so với các công thức khác của logarit tự nhiên đã dẫn đến cái tên “tự nhiên”. Định nghĩa này cũng có thể được mở rộng cho số phức, được giải thích dưới đây.

Hàm số logarit tự nhiên, khi được xem như hàm số với biến thực, là một hàm số mũ. Điều này dẫn đến mối quan hệ đồng nhất sau đây:

$e^{\ln <!--\; \; -->\left(x\right)}=x\text{khi }x>0$

$\ln <!--\; \; -->\left(e^x\right)=x$

Giống như tất cả các loại logarit, logarit tự nhiên chuyển phép nhân thành phép cộng:

$\ln <!--\; \; -->\left(xy\right)=\ln <!--\; \; -->\left(x\right)+\ln <!--\; \; -->\left(y\right)$

Vì vậy, hàm số logarit là một hàm đơn điệu biến tập hợp số thực dương theo phép nhân thành tập hợp số thực theo phép cộng. Được mô tả như sau:

$\ln :R^{+}\to <!--\; \to \; -->R$

Logarit có thể được định nghĩa cho bất kỳ cơ số dương nào khác ngoài 1, không chỉ riêng số e. Tuy nhiên, logarit của các cơ số khác chỉ khác biệt về hàm số nhân liên tục so với logarit tự nhiên và thường được chỉ định bằng thuật ngữ này. Logarit rất hữu ích trong việc giải các phương trình có số mũ là biến số, chẳng hạn như tính chu kỳ phân rã, hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trong các bài toán phân rã chứa số mũ. Trong toán học, khoa học, và tài chính, logarit đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến lãi suất kép.

Lịch sử

Nicholas Mercator là người đầu tiên nhắc đến logarit tự nhiên trong tác phẩm Logarithmotechnia xuất bản vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell cũng đã soạn thảo một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu, thuật ngữ này được gọi là logarit hyperbol vì nó tương ứng với diện tích dưới một hyperbol. Nó cũng đôi khi được gọi là logarit Nêpe, dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này có phần khác biệt.

Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên

Khi mới ra đời, logarit tự nhiên từng được coi là logarit cơ số 10, vì cơ số này được cho là 'tự nhiên' hơn cơ số e. Tuy nhiên, về mặt toán học, số 10 không có tính đặc biệt hơn cơ số e. Cơ số 10 có thể được sử dụng nhiều trong các hệ thống đánh số văn hóa, có thể do sự phù hợp với số ngón tay của con người. Các nền văn hóa khác có thể chọn các cơ số như 5, 8, 12, 20, hoặc 60.

Log_e là logarit tự nhiên bởi vì nó xuất hiện và có ứng dụng rộng rãi trong toán học. Ví dụ, hãy xem xét một số vấn đề về hàm logarit:

Khi cơ số b bằng e, đạo hàm đơn giản trở thành $\frac{1}{x}$, và khi x=1 thì đạo hàm bằng 1. Logarit với cơ số e là logarit tự nhiên vì nó có thể được định nghĩa dễ dàng thông qua tích phân đơn giản hoặc dãy Taylor, điều mà không phải logarit với cơ số khác có thể làm được.

Một số khía cạnh của logarit tự nhiên không có ứng dụng trong tính toán hiện tại. Ví dụ, có những dãy số đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên. Pietro Mengoli và Nicholas Mercator đã sử dụng thuật ngữ logarithmus naturalis trước khi Isaac Newton và Gottfried Leibniz phát triển phép tính.

Các định nghĩa

ln(x) chính là diện tích dưới đường cong f(x) = $\frac{1}{x}$ từ 1 đến x, tương tự như một tích phân.

Định nghĩa này của logarit đáp ứng các đặc tính cơ bản cần có của một logarit.

$\ln <!--\; \; -->\left(ab\right)=\ln <!--\; \; -->\left(a\right)+\ln <!--\; \; -->\left(b\right)$

Điều này có thể chứng minh được bằng cách cho phép: $t=\frac{x}{a}$ như sau:

Số e sau đó được xác định là số duy nhất mà tại đó ln(a) = 1.

Hơn nữa, nếu hàm mũ được định nghĩa qua chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên chính là hàm ngược của nó, tức là ln là hàm số sao cho $e^{\ln <!--\; \; -->\left(x\right)}=x$. Vì hàm mũ áp dụng cho tất cả các số thực dương và vì nó luôn tăng, nên logarit tự nhiên có thể áp dụng cho tất cả số dương x.

Các tính chất

• $\ln <!--\; \; -->\left(1\right)=0$
• $\ln <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->1)=i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$

Logarit tự nhiên trong giải tích

Logarit tự nhiên có thể được biểu diễn đơn giản trong giải tích bằng cách sử dụng dạng: g(x) = f '(x)/f(x): một nguyên hàm của g(x) được cho bởi ln(|f(x)|). Điều này là nhờ vào các quy tắc chuỗi và tính chất sau đây:

$\frac{d}{dx}\left(\ln <!--\; \; -->\left|x\right|\right)=\frac{1}{x}$

cách khác

$\int <!--\; \int \; -->\frac{1}{x}dx=\ln <!--\; \; -->\left|x\right|+C$

và

Ví dụ cụ thể là với g(x) = tan(x):

$\int <!--\; \int \; -->\tan <!--\; \; -->\left(x\right)dx=\int <!--\; \int \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->\left(x\right)}{\cos <!--\; \; -->\left(x\right)}dx$

Gọi f(x) = cos(x) và đạo hàm của f là f'(x) = - sin(x):

$\int <!--\; \int \; -->\tan <!--\; \; -->\left(x\right)dx=-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\left|\cos <!--\; \; -->\left(x\right)\right|+C$

với C là hằng số tùy ý trong kết quả tích phân.

Logarit tự nhiên có thể được tích phân bằng cách áp dụng phương pháp phân tích từng phần.

$\int <!--\; \int \; -->\ln <!--\; \; -->\left(x\right)dx=x\ln <!--\; \; -->\left(x\right)-<!--\; -\; -->x+C.$

Giá trị cụ thể

Để tính giá trị cụ thể của logarit tự nhiên một số, dãy số Taylor có thể được viết lại như sau:

Để cải thiện tốc độ hội tụ, có thể áp dụng phương pháp đồng nhất sau đây:

$\ln <!--\; \; -->\left(x\right)=\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1+y}{1-<!--\; -\; -->y}\right)$	$=2y\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}{y}^2+\frac{1}{5}{y}^4+\frac{1}{7}{y}^6+\frac{1}{9}{y}^8+\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)$
	$=2y\left(\frac{1}{1}+y^2\left(\frac{1}{3}+y^2\left(\frac{1}{5}+y^2\left(\frac{1}{7}+y^2\left(\frac{1}{9}+\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)\right)\right)\right)\right)$

với $y=\frac{x-<!--\; -\; -->1}{x+1}$ và x>0

Khi áp dụng ln(x) với x>1, giá trị của x càng gần 1 thì sự hội tụ càng nhanh. Các đồng nhất kết hợp với logarit tự nhiên có thể được điều chỉnh để khai thác đặc điểm này:

$\ln <!--\; \; -->\left(123.456\right)$	$=\ln <!--\; \; -->(1.23456\times <!--\; \times \; -->{10}^2)$
	$=\ln <!--\; \; -->\left(1.23456\right)+\ln <!--\; \; -->\left({10}^2\right)$
	$=\ln <!--\; \; -->\left(1.23456\right)+2\times <!--\; \times \; -->\ln <!--\; \; -->\left(10\right)$
	$\approx <!--\; \approx \; -->\ln <!--\; \; -->\left(1.23456\right)+2\times <!--\; \times \; -->2.3025851$

Kỹ thuật này đã được sử dụng từ trước khi có máy tính, thông qua việc tham khảo bảng số và thực hiện các phép toán tương tự.

Độ chính xác cao

Để tính logarit tự nhiên với độ chính xác cao, dãy số Taylor không hiệu quả do tốc độ hội tụ rất chậm. Do đó, các nhà toán học đã chuyển sang sử dụng phương pháp Newton để đảo ngược hàm mũ, từ đó cải thiện tốc độ hội tụ của dãy số.

Một phương pháp khác để đạt được kết quả với độ chính xác cao là sử dụng công thức sau:

$\ln <!--\; \; -->x\approx <!--\; \approx \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2M(1,4/s)}-<!--\; -\; -->m\ln <!--\; \; -->2$

trong đó, M là giá trị trung bình cộng và trung bình nhân giữa 1 và 4/s, và:

$s=x{2}^m>2^{p/2},$

với m được chọn để đạt được độ chính xác mong muốn. (Thường thì giá trị m = 8 là phù hợp.) Khi áp dụng phương pháp này, có thể tính toán logarit tự nhiên hiệu quả hơn bằng cách sử dụng phép nghịch đảo Newton đối với hàm mũ. (Hằng số ln2 và π có thể được tính toán trước với độ chính xác cao để sử dụng cho nhiều dãy số một cách nhanh chóng.)

• John Napier - người phát minh ra logarit
• Logarit
• hàm số
• số e
• Nicholas Mercator - người đầu tiên dùng thuật ngữ lôgarit tự nhiên
• Leonhard Euler

Liên kết ngoài

• Khám phá Logarit Tự Nhiên (ln) | BetterExplained