Lực quán tính hướng tâm

Buzz

Nội dung bài viết

Ví dụ cơ bản: chuyển động tròn đều

Nguồn gốc của lực quán tính hướng tâm

Phân tích các tình huống

Chuyển động tròn đều

Chuyển động tròn không đều

Chú thích và tài liệu tham khảo

Đọc thêm

Các liên kết ngoài

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Hình ảnh minh họa chuyển động tròn đều với quả bóng trên trục và vận tốc góc ω.
- Lực hướng về tâm tạo ra lực quán tính hướng tâm, mô tả bởi Isaac Newton.
- Các loại lực khác có thể trở thành lực quán tính hướng tâm.
- Ví dụ về chuyển động tròn đều và công thức tính lực hướng tâm.
- Nguồn gốc lực quán tính hướng tâm và ứng dụng trong các tình huống khác nhau.
- Phân tích chuyển động tròn đều và không đều, bao gồm ví dụ về yo-yo và mặt phẳng nghiêng.
- Sự thay đổi vận tốc và gia tốc trong chuyển động tròn không đều.
- Các công thức và lực tác động trong chuyển động tròn và ứng dụng trong cơ học.

Hình ảnh minh họa đơn giản về chuyển động tròn đều. Một quả bóng được gắn vào một trục và quay ngược chiều kim đồng hồ trên một quỹ đạo cố định với vận tốc góc ω. Vận tốc của quả bóng là một vector tiếp tuyến với quỹ đạo và liên tục thay đổi hướng, do lực luôn hướng về tâm. Lực này được tạo ra bởi dây, dưới dạng lực căng dây.

Lực quán tính hướng tâm là lực cần thiết để duy trì một vật di chuyển theo quỹ đạo cong. Isaac Newton đã mô tả loại lực này trong tác phẩm Principia của ông. Bất kỳ loại lực nào (như trọng lực, lực điện từ, v.v.) hoặc sự kết hợp của các lực đều có thể trở thành lực quán tính hướng tâm. Ví dụ về chuyển động tròn đều có thể thấy trong hình bên phải.

Ví dụ cơ bản: chuyển động tròn đều

Vector vận tốc được định nghĩa là tốc độ của vật kèm theo hướng chuyển động. Những vật có tổng lực tác động cân bằng sẽ không thay đổi tốc độ và di chuyển theo đường thẳng với vận tốc không đổi; tức là, vận tốc là một hằng số. Tuy nhiên, một vật chuyển động theo quỹ đạo tròn, mặc dù vận tốc không đổi, vẫn có sự thay đổi về hướng. Sự thay đổi trong vector vận tốc này được gọi là gia tốc hướng tâm.

Gia tốc hướng tâm thay đổi tùy thuộc vào bán kính của quỹ đạo (R) và tốc độ (v) của vật thể. Gia tốc này sẽ gia tăng khi tốc độ tăng lên hoặc bán kính giảm xuống. Nếu một vật chuyển động theo đường tròn với tốc độ thay đổi, gia tốc của nó có thể phân thành hai phần: gia tốc hướng tâm (gia tốc làm thay đổi hướng của vận tốc) và gia tốc tiếp tuyến (gia tốc làm thay đổi độ lớn của vận tốc).

Công thức tính độ lớn của lực hướng tâm là:

F_{h t} = \frac{m v^{2}}{r} = m ω^{2} r

Trong đó m là khối lượng, v là vận tốc tuyến tính, là vận tốc góc và r là bán kính của quỹ đạo.

Nguồn gốc của lực quán tính hướng tâm

Đối với một vệ tinh đang quay quanh trái đất, lực quán tính hướng tâm được tạo ra bởi lực trọng trường giữa vệ tinh và trái đất, và lực này hướng về trung tâm của hệ thống hai vật thể. Khi một vật được gắn vào sợi dây quay quanh một trục đứng, lực quán tính hướng tâm chính là thành phần ngang của lực căng dây, kéo vật về phía tâm giữa trục quay và vật thể. Đối với một vật xoay quanh chính nó, lực căng bên trong tạo ra lực quán tính hướng tâm, giữ cho vật duy trì cấu trúc đồng nhất.

Phân tích các tình huống

Dưới đây là ba ví dụ với mức độ phức tạp ngày càng tăng, áp dụng các công thức liên quan đến vận tốc và gia tốc.

Chuyển động tròn đều

Chuyển động tròn đều là tình huống trong đó vật thể quay với tốc độ không thay đổi. Dưới đây là hai phương pháp để giải quyết vấn đề này.

Phương pháp hình học

Hình tròn bên trái: quỹ đạo của một chất điểm – chất điểm di chuyển trên một đường tròn với vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo; Hình bên phải: 'vòng tròn vận tốc'; các vector vận tốc được đưa về cùng một gốc: do vận tốc là hằng số trong chuyển động tròn đều, đầu của vector vận tốc tạo thành một vòng tròn, và gia tốc là tiếp tuyến với vòng tròn vận tốc. Điều này có nghĩa là gia tốc hướng về tâm của đường tròn bên trái trong hình quỹ đạo.

Trong hình bên phải, vòng tròn bên trái thể hiện một vật di chuyển trên đường tròn với tốc độ không thay đổi tại hai thời điểm khác nhau trên quỹ đạo. Vị trí của vật được chỉ bởi vector R và vận tốc là vector v.

Vector vận tốc luôn vuông góc với vector vị trí (vì vector vận tốc luôn tiếp tuyến với quỹ đạo tròn). Khi R quay quanh đường tròn, v cũng di chuyển theo hình tròn. Chuyển động tròn của vận tốc được thể hiện trong vòng tròn ở hình bên phải, cùng với gia tốc a. Vận tốc biểu thị mức độ thay đổi vị trí, trong khi gia tốc là mức độ thay đổi của vận tốc.

Vì vị trí và vận tốc di chuyển đồng bộ, chúng xoay quanh vòng tròn với chu kỳ T. Thời gian này được tính bằng khoảng cách đi được chia cho vận tốc.

T = \frac{2 π | R |}{| v |}

và tương tự,

T = \frac{2 π | v |}{| a |}

Đặt hai phương trình này bằng nhau và giải để tìm |a|, ta có

| a | = \frac{| v |^{2}}{| R}

Vận tốc quay tính theo radian mỗi giây là:

ω = \frac{2 π}{T}

Khi so sánh hai vòng tròn trong hình, ta thấy vận tốc hướng tâm của vòng tròn R. Ví dụ, trong vòng tròn bên trái, vector vị trí R chỉ vào vị trí 12 giờ, trong khi vector vận tốc v chỉ vào vị trí 9 giờ. Ngược lại, trong hình bên phải, vector gia tốc a chỉ vào vị trí 6 giờ. Do đó, vector gia tốc hướng ngược với R và về phía tâm của vòng tròn R.

Sử dụng vector

Mối quan hệ giữa vector và chuyển động tròn đều: vector Q, đại diện cho chuyển động quay, là vector pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo. Chiều của nó được xác định theo quy tắc bàn tay phải và độ lớn là dθ /dt.

Hình bên minh họa mối quan hệ vector trong chuyển động tròn đều. Quá trình quay được đại diện bởi vector Q, là vector pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo (theo quy tắc bàn tay phải) và có độ lớn được tính bằng công thức:

| Ω | = \frac{d θ}{d t} = ω

với θ là góc tại thời điểm t. Trong phần này, dθ/dt được giả định là không thay đổi theo thời gian. Độ dịch chuyển ℓ trong khoảng thời gian vi phân dt trên quỹ đạo tròn là

d ℓ = Ω \times r (t) d t

trong đó, theo tính chất của tích có hướng của hai vector, độ lớn của nó là rdθ và phương của nó vuông góc với quỹ đạo.

Do vậy,

\frac{d r}{d t} = \frac{r (t + d t) - r (t)}{d t} = \frac{d ℓ}{d t}

Nói cách khác,

v \overset{d e f}{=} \frac{d r}{d t} = \frac{d ℓ}{d t} = Ω \times r (t)

Đạo hàm theo thời gian,

a \overset{d e f}{=}

d v d t = Ω × d r ( t ) d t = Ω × [ Ω × r ( t ) ] {displaystyle mathbf {a} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {rac {mathrm {d} mathbf {v} }{dmathrm {t} }}=mathbf {Omega } imes {rac {mathrm {d} mathbf {r} (t)}{mathrm {d} t}}=mathbf {Omega } imes left[mathbf {Omega } imes mathbf {r} (t) ight]}

Công thức của Lagrange chỉ ra rằng:

a \times (b \times c) = b \times (a \cdot c) - c \times (a \cdot b)

Khi áp dụng công thức Lagrange, lưu ý rằng Ω • r(t) = 0 tại mọi thời điểm,

a = - {| Ω |}^{2} r (t)

Nói một cách đơn giản, gia tốc luôn hướng ngược với vector xuyên tâm r, và có độ lớn tính bằng:

| a | = | r (t) | {(\frac{d θ}{d t})}^{2} = R ω^{2}

Trong đó, ký hiệu |...| chỉ độ lớn của vector, với r(t) chính là bán kính R của quỹ đạo. Kết quả này hoàn toàn đồng nhất với phần trước nếu thay tốc độ góc bằng chu kỳ T:

\frac{d θ}{d t} = ω = \frac{2 π}{T} = \frac{| v |}{R}

Khi tốc độ quay giữ hằng số như trong chuyển động tròn không đều, phân tích này cũng hoàn toàn phù hợp.

Điểm mạnh của phương pháp sử dụng vector là tính độc lập với bất kỳ hệ tọa độ nào.

Ví dụ: Rẽ cua trên mặt phẳng nghiêng

Hình bên trái: Một trái banh đang di chuyển trên một đường cong nghiêng với vận tốc không đổi v; hình bên phải: các lực tác động lên trái banh. Lực tổng hợp tác động lên trái banh được tính bằng cách cộng vector của phản lực mặt đường và lực thẳng đứng, đó là trọng lực, cần phải cân bằng với lực hướng tâm để trái banh di chuyển theo đường cong.

Hình minh họa bên cho thấy một trái banh chuyển động trên mặt phẳng cong nghiêng. Mặt cong nghiêng một góc θ so với mặt phẳng ngang, và mặt đường được coi là trơn. Mục tiêu của chúng ta là xác định góc nghiêng cần thiết của mặt phẳng để tránh việc trái banh trượt ra ngoài. Nếu mặt đường nằm ngang, trái banh sẽ ngay lập tức trượt khỏi mặt đường; nếu mặt đường quá dốc, trái banh sẽ trượt về trung tâm trừ khi nó di chuyển với vận tốc rất cao.

Khung hình bên phải cho thấy các lực tác động lên trái banh. Có hai lực chính: một là trọng lực hướng thẳng xuống qua khối tâm của trái banh mg, với m là khối lượng và g là gia tốc trọng trường; lực thứ hai là phản lực từ mặt đường hướng lên trên, vuông góc với mặt phẳng đường, ký hiệu là ma_n. Lực hướng tâm trong hình bên là tổng hợp của lực phản lực và trọng lực, không phải là lực thứ ba tác động lên trái banh.

Lực tổng hợp nằm ngang tác động lên trái banh chính là thành phần ngang của lực từ mặt đường, có độ lớn là |F_h| = m|a_n|sinθ. Thành phần lực thẳng đứng từ mặt đường phải cân bằng với trọng lực, tức là |F_v| = m|a_n|cosθ = m|g|. Từ đó, hợp lực có thể được tính như sau:

| F_{h} | = m | g | \frac{\sin θ}{\cos θ} = m | g | \tan θ

Ngược lại, với vận tốc |v| trên đường cong có bán kính R, lực cần thiết để giữ trái banh di chuyển theo quỹ đạo là lực hướng tâm F_c, có độ lớn là:

| F_{c} | = m | a_{c} | = \frac{m | v |^{2}}{R}

Như vậy, để trái banh duy trì trên quỹ đạo ổn định, góc nghiêng của mặt đường phải đáp ứng điều kiện sau:

m | g | \tan θ = \frac{m | v |^{2}}{R}

hoặc là

\tan θ = \frac{| v |^{2}}{| g | R}

Khi góc nghiêng θ đạt tới 90°, giá trị của hàm tan sẽ tiến đến vô cùng, nghĩa là tỷ số |v|/R trở nên rất lớn. Điều này có nghĩa là tốc độ càng cao (|v| càng lớn), mặt đường cần phải nghiêng càng lớn (góc θ cao hơn), và đường cong càng gắt (bán kính R nhỏ) thì mặt đường càng cần phải dốc. Nếu góc θ không đáp ứng yêu cầu trên, thành phần lực nằm ngang của lực từ mặt đường không tạo ra đủ lực hướng tâm, và lực ma sát sẽ cần phải bù đắp sự thiếu hụt đó. Nếu ma sát không đủ để làm việc này (hệ số ma sát thấp), trái banh sẽ trượt để tìm một bán kính mới để đạt sự cân bằng.

Những nguyên lý này cũng áp dụng trong lĩnh vực hàng không. Tham khảo hướng dẫn của FAA dành cho phi công để biết thêm chi tiết.

Trái: Ba giai đoạn của chuyển động yo-yo cho thấy chuyển động xoay, Phải: quỹ đạo tròn của yo-yo được lý tưởng hóa thành một hình ê-líp cực kỳ mảnh mai.

Ví dụ: yo-yo

Một ví dụ thú vị về lực hướng tâm là yo-yo. Khi sợi dây được thả, yo-yo xoay xuống theo một bên của sợi dây. Khi sợi dây hoàn toàn tự do, yo-yo tiếp tục xoay và thực hiện một cú lộn ngược 180 độ theo hướng tịnh tiến của nó. Sau đó, nó quay ngược trở lại phía bên kia của sợi dây, đồng thời cuộn lại sợi dây một lần nữa. Trong hình bên trái, hành vi này được minh họa qua ba giai đoạn của chuyển động; các mũi tên chỉ ra hướng quay của yo-yo. Thế năng tại điểm cao nhất của chuyển động sẽ chuyển hóa thành động năng xoay khi yo-yo rơi xuống, rồi chuyển lại thành thế năng trọng trường khi nó quay lên.

Hình bên phải thể hiện quỹ đạo lý tưởng của khối tâm yo-yo, tạo thành một hình ê-líp. Chuyển động trên quỹ đạo này yêu cầu một lực hướng tâm, đạt giá trị cao nhất ở cuối quỹ đạo khi góc cong lớn. Mũi tên xanh chỉ ra lực hướng tâm, hướng thẳng đứng ở cuối quỹ đạo. Lực căng của sợi dây, sau khi đã bung ra hoàn toàn, tạo ra sự đảo chiều trong chuyển động, kéo theo khối tâm của yo-yo. Lực này tiếp tục hướng từ điểm nối của sợi dây đến khối tâm, gây ra sự xoay quanh đầu cuối của sợi dây.

Chuyển động tròn không đều

Hình: Trong chuyển động tròn không đều, vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo trong khi gia tốc không hoàn toàn hướng tâm, do có thêm thành phần tiếp tuyến a_θ làm gia tăng tốc độ quay: dω / dt = | a_θ| / R.

Để mở rộng khái niệm chuyển động tròn không đều, giả sử vận tốc góc không phải là hằng số. Trong trường hợp này, gia tốc bao gồm một thành phần tiếp tuyến, như minh họa trong Hình bên. Tình huống này giúp mô tả một chiến thuật suy diễn theo hệ tọa độ cực.

Gọi r(t) là vector mô tả vị trí của khối tâm theo thời gian. Vì chuyển động là tròn, ta có r(t) = R·u_r, với R là bán kính của đường tròn và u_r là vector đơn vị chỉ hướng từ điểm chuyển động đến khối tâm. Vị trí của u_r được mô tả theo θ, góc giữa trục x và vector đơn vị đo theo chiều ngược kim đồng hồ từ trục x. Vector đơn vị khác trong hệ tọa độ cực là u_θ, vuông góc với u_r và theo hướng θ tăng dần. Những vector đơn vị này có thể được biểu diễn bằng các vector đơn vị trong hệ tọa độ Decartes, ký hiệu là i và j:

u_r = cosθ i + sinθ j

và

u_θ = sinθ i + cosθ j.

Chúng ta sẽ lấy đạo hàm để xác định vận tốc:

v = R \frac{d u_{r}}{d t} = R \frac{d}{d t} (\cos θ i + \sin θ j)

= R \frac{d θ}{d t} (- \sin θ i + \cos θ j)

= R \frac{d θ}{d t} u_{θ}

= ω R u_{θ}

trong đó ω đại diện cho vận tốc góc dθ/dt.

Kết quả vận tốc phù hợp với dự đoán rằng vận tốc sẽ luôn vuông góc với vòng tròn, và độ lớn của vận tốc sẽ là ωR. Tiếp tục lấy đạo hàm và chúng ta thấy rằng

\frac{d u_{θ}}{d t} = - \frac{d θ}{d t} u_{r} = - ω u_{r}

ta có thể tính được gia tốc, a như sau:

a = R (\frac{d ω}{d t} u_{θ} - ω^{2} u_{r})

Vì vậy, thành phần gia tốc theo hướng tâm và tiếp tuyến được tính như sau:

a_{r} = - ω^{2} R u_{r} = - \frac{| v |^{2}}{R} u_{r}

và

a_{θ} = R \frac{d ω}{d t} u_{θ} = \frac{d | v |}{d t} u_{θ}

trong đó |v| = Rω là độ lớn của vận tốc (tốc độ).

Các công thức này cho thấy rằng, khi một vật chuyển động trên đường tròn với vận tốc thay đổi, gia tốc của nó có thể được phân chia thành hai thành phần: một thành phần hướng tâm làm thay đổi hướng chuyển động và một thành phần tiếp tuyến thay đổi tốc độ.

Lực

Lực tưởng tượng
Lực ly tâm
Chuyển động tròn
Lực Coriolis
Phản lực ly tâm

Ví dụ: chuyển động tròn
Công thức Frenet-Serret
Hệ tọa độ trực giao
Tĩnh học
Động học

Chuyển động học
Cơ học ứng dụng
Cơ học phân tích
Động lực học
Cơ học cổ điển

Chú thích và tài liệu tham khảo

Đọc thêm

Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Vật lý cho Khoa học gia và Kỹ sư (ấn bản 6). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
Tipler, Paul (2004). Vật lý cho Khoa học gia và Kỹ sư: Cơ học, Dao động và Sóng, Nhiệt động lực học (ấn bản 5). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
So sánh lực hướng tâm Lưu trữ 2018-08-04 tại Wayback Machine và Lực ly tâm Lưu trữ 2018-08-04 tại Wayback Machine, từ một bài học trực tuyến của Quận Học Oswego

Các liên kết ngoài

Ghi chú từ Đại học Winnipeg Lưu trữ 2018-09-23 tại Wayback Machine
Ghi chú từ HyperPhysics thuộc Khoa Vật lý và Thiên văn học, Đại học Georgia State; xem thêm trang chủ
Ghi chú từ Britannica
Ghi chú từ PhysicsNet Lưu trữ 2010-06-05 tại Wayback Machine
Ghi chú của NASA bởi David P. Stern
Ghi chú từ Đại học Texas.

Theovi.wikipedia.org

Copy link

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]