Lũy thừa

Lũy thừa (từ Hán-Việt: 累乘 có nghĩa là 'nhân chồng chất lên') là một phép toán trong toán học, được viết dưới dạng a, bao gồm cơ số a và số mũ hoặc lũy thừa n, và được đọc là 'a lũy thừa n'. Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp lại của cơ số, nghĩa là a là tích của n lần nhân cơ số với nhau:

$a^n=\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->a}}.$

Số mũ thường được thể hiện dưới dạng chỉ số phía trên bên phải của cơ số. Trong trường hợp này

• a được gọi là 'lũy thừa bậc n của a', 'a lũy thừa n', hoặc ngắn gọn là 'a mũ n'
• $a^2$ còn được gọi là 'a bình phương' hoặc 'bình phương của a'
• $a^3$ còn được gọi là 'a lập phương' hoặc 'lập phương của a'

Giả sử ta có a = a, và đối với mọi số nguyên dương m và n, có a ⋅ a = a. Để mở rộng định nghĩa này cho số mũ nguyên không dương, ta quy định a (với a khác 0) là 1, và a (với n là số nguyên dương và a khác 0) được định nghĩa là 1/a. Đặc biệt, a bằng 1/a, là nghịch đảo của a.

Khái niệm lũy thừa có thể được mở rộng để bao gồm cả số mũ thực và phức. Lũy thừa với số mũ nguyên cũng có thể áp dụng cho nhiều cấu trúc đại số khác, chẳng hạn như ma trận.

Lũy thừa được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học, hóa học, vật lý và khoa học máy tính, với các ứng dụng như lãi suất kép, tăng trưởng dân số, động học phản ứng hóa học, hiện tượng sóng và mã hóa khóa công khai.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa của 0 và 1

$0^n=0$$(n>0)$

$1^n=1$

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Lũy thừa bậc n của a là tích của n yếu tố giống nhau, mỗi yếu tố đều là a:

$a^n=\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->a}}$

Các đặc điểm quan trọng nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

$a^{m+n}=a^m\times <!--\; \times \; -->a^n$

$a^{m-<!--\; -\; -->n}=\frac{a^m}{a^n}$ $(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\ne <!--\; \ne \; -->0)$

$(a^m{)}^n=a^{mn}$

$a^{m^n}=a^{\left(m^n\right)}$

$(ab{)}^n=a^n\cdot <!--\; \cdot \; -->b^n$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Đặc biệt, ta có:

$a^1=a$

Khi thực hiện các phép cộng và nhân, ta có tính chất giao hoán, nhưng đối với phép lũy thừa thì không có tính chất này.

Tương tự như các phép cộng và nhân có tính chất kết hợp, phép lũy thừa không tuân theo quy tắc kết hợp. Trong trường hợp không có dấu ngoặc, thứ tự thực hiện các phép lũy thừa là từ trên xuống dưới, không phải ngược lại:

$a^{m^n}=a^{\left(m^n\right)}\ne <!--\; \ne \; -->(a^m{)}^n=a^{\left(mn\right)}=a^{mn}$

Khi lũy thừa có số mũ chẵn, kết quả luôn là số dương ngay cả khi số cơ bản là âm.

Khi lũy thừa có số mũ lẻ, kết quả sẽ là số âm nếu số cơ bản là âm.

Lũy thừa với số mũ bằng 0

Theo quy ước, bất kỳ số nào a khác 0 khi lũy thừa với số mũ 0 đều bằng 1.

$a^0=1$

Chứng minh rằng:

$1=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-<!--\; -\; -->n}=a^0$

Lũy thừa với số mũ âm nguyên

Lũy thừa của a với số mũ âm -n, với a khác 0 và n là số nguyên dương, được tính như sau:

$a^{-<!--\; -\; -->n}=\frac{1}{a^n}$

Ví dụ minh họa

$3^{-<!--\; -\; -->4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{3\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->3}=\frac{1}{81}$

Cách suy luận lũy thừa với số mũ âm từ lũy thừa với số mũ 0:

$a^0=a^{n-<!--\; -\; -->n}=\frac{a^n}{a^n}=a^n\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{a^n}=a^n\cdot <!--\; \cdot \; -->a^{-<!--\; -\; -->n}$

Trường hợp đặc biệt: Khi số a khác 0 và lũy thừa của a với số mũ −1, kết quả là số nghịch đảo của a.

$a^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{a}.$

Lũy thừa của số dương với số mũ hữu tỷ

Căn n-th của một số dương

Một căn bậc n của số a là số x sao cho x lũy thừa bậc n bằng a.

Nếu a là số thực dương và n là số nguyên dương, thì tồn tại duy nhất một số thực dương x sao cho x = a.

Số thực dương x này được gọi là căn số học bậc n của a, ký hiệu là √a, với √  là ký hiệu căn.

Lũy thừa hữu tỷ của số thực dương

Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ b/c (b, c là số nguyên và c dương) được xác định như sau

$a^{\frac{b}{c}}=(a^b{)}^{\frac{1}{c}}=\sqrt[c]{a^b}$

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ không có nghĩa khi cơ số là số âm.

Lũy thừa với số mũ là số thực

Lũy thừa của số e

Số e là một hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ bằng 2.718, và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được xác định qua giới hạn dưới đây:

$e=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.$

Hàm số e mũ, được định nghĩa như sau

$e^x=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n,$

Tại đây, x được thể hiện dưới dạng số mũ vì nó đáp ứng định lý cơ bản của lũy thừa.

$e^{x+y}=e^x\cdot <!--\; \cdot \; -->e^y.$

Hàm số e mũ có giá trị xác định cho tất cả các giá trị nguyên, hữu tỉ, thực và cả số phức của x.

Có thể dễ dàng chứng minh rằng hàm số e mũ với x là một số nguyên dương k sẽ tương đương với e qua phép biến đổi sau:

$(e{)}^k={\left[\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right]}^k=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left[{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right]}^k=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{k}{n\cdot <!--\; \cdot \; -->k}\right)}^{n\cdot <!--\; \cdot \; -->k}$

$=\underset{n\cdot <!--\; \cdot \; -->k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{k}{n\cdot <!--\; \cdot \; -->k}\right)}^{n\cdot <!--\; \cdot \; -->k}=\underset{m\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{k}{m}\right)}^m=e^k.$

Chứng minh này cũng cho thấy rằng e thỏa mãn định lý lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này có thể được mở rộng cho mọi loại số không phải số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thực

Vì mọi số thực có thể được xấp xỉ bởi các số hữu tỉ, nên lũy thừa với số mũ thực x có thể được định nghĩa thông qua giới hạn.

$b^x=\underset{r\to <!--\; \to \; -->x}{lim}{b}^r,$

trong đó, giá trị của r tiếp cận x chỉ được xét trên các số hữu tỷ.

Ví dụ, nếu

$x\approx <!--\; \approx \; -->1,732$

thì

$5^x\approx <!--\; \approx \; -->5^{1,732}=5^{433/250}=\sqrt[250]{5^{433}}\approx <!--\; \approx \; -->16,241.$

Lũy thừa với số mũ thực có thể được định nghĩa qua logarit thay vì dùng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $\ln <!--\; \; -->\left(x\right)$ là hàm nghịch đảo của hàm số mũ với cơ số e. Do đó, $\ln <!--\; \; -->x$ là số b sao cho x = e.

Nếu a là một số thực dương và x là bất kỳ số thực nào, thì a = e

vì vậy, khi định nghĩa a^x bằng hàm logarit tự nhiên, chúng ta cần có

$a^x=(e^{\ln <!--\; \; -->a}{)}^x=e^{x\cdot <!--\; \cdot \; -->\ln <!--\; \; -->a}.$

Điều này dẫn đến định nghĩa

$a^x=e^{x\cdot <!--\; \cdot \; -->\ln <!--\; \; -->a}$

đối với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này về lũy thừa với số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực qua giới hạn đã nêu và cũng áp dụng cho lũy thừa với số mũ phức sau đây.

Lũy thừa với số mũ phức

Lũy thừa với số mũ phức của số e

Dựa vào cách biểu diễn lượng giác của các số phức, lũy thừa với số mũ phức của số e được định nghĩa như sau. Trước tiên, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e được định nghĩa qua công thức Euler:

$e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->x$

Với số phức $z=x+y\cdot <!--\; \cdot \; -->i$, chúng ta có

$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{iy}=e^x(\cos <!--\; \; -->y+i\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->y)$

Lũy thừa với số mũ phức của số thực dương

Khi a là một số thực dương và z là số phức, lũy thừa của a được định nghĩa như sau:

$a^z={(e^{\ln <!--\; \; -->a})}^z=e^{z\cdot <!--\; \cdot \; -->\ln <!--\; \; -->a}$

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình e = a.

Nếu $z=x+y\cdot <!--\; \cdot \; -->i$, ta có

$a^z=e^{\ln <!--\; \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->(x+iy)}=$ $e^{x\ln <!--\; \; -->a+i\cdot <!--\; \cdot \; -->y\ln <!--\; \; -->a}$

$=e^{x\cdot <!--\; \cdot \; -->\ln <!--\; \; -->a}\cdot <!--\; \cdot \; -->[\cos <!--\; \; -->(y\ln <!--\; \; -->a)+i\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->(y\ln <!--\; \; -->a)]$

$=a^x\cdot <!--\; \cdot \; -->[\cos <!--\; \; -->(y\ln <!--\; \; -->a)+i\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->(y\ln <!--\; \; -->a)]$

Đặc điểm của lũy thừa

Các tính chất cơ bản

1) $a^n=a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->a$ (n lần nhân a)

2) $a^{-<!--\; -\; -->n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->...\times <!--\; \times \; -->a}$

3) $0^n=0(n\ne <!--\; \ne \; -->0)$

4) $1^n=1$

5) $a^0=1(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$

6) $a^1=a$

7) $a^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{a}$

Các đặc điểm thường gặp

1) $a^{m+n}=a^m\times <!--\; \times \; -->a^n$

2) $a^{m-<!--\; -\; -->n}=\frac{a^m}{a^n}$ $(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\ne <!--\; \ne \; -->0)$

3) $a^{m\cdot <!--\; \cdot \; -->n}=(a^m{)}^n$

4) $a^{m^n}=a^{\left(m^n\right)}$

5) $(a\times <!--\; \times \; -->b{)}^n=a^n\times <!--\; \times \; -->b^n$

6) ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

7) $a^{\frac{b}{c}}={\left(a^b\right)}^{1/c}=\sqrt[c]{a^b}$

8) $a^x=e^{x\cdot <!--\; \cdot \; -->\ln <!--\; \; -->a}$

9) $e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->x$

Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa có dạng $y=x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ với $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->R$

Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số phụ thuộc vào số mũ $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

• Nếu $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ là số nguyên dương, thì tập xác định là $D=R$
• Nếu $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0$ hoặc $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ là số nguyên âm, thì tập xác định là $D=R\setminus <!--\; \setminus \; -->\left\{0\right\}$
• Nếu $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ không phải là số nguyên, thì tập xác định là $D=(0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$

Đạo hàm

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ có đạo hàm tại mọi x > 0 và đạo hàm cấp 1 của f(x) là $y^{\prime }=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}$

Chiều biến thiên của hàm số lũy thừa với biến số dương

Xem xét hàm số $y=x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ khi x > 0:

• Trong trường hợp $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$, hàm số sẽ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$
• Trong trường hợp , hàm số sẽ nghịch biến trên $(0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$

Đồ thị

Đồ thị của hàm số lũy thừa với số mũ thực và biến số dương

Đồ thị của hàm số $y=x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ khi x > 0 có những đặc điểm sau:

• Đồ thị luôn đi qua điểm I(1;1)
• Trong trường hợp , đồ thị có trục Ox là tiệm cận ngang và trục Oy là tiệm cận đứng
• Đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

Đồ thị của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên

Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=x^n$ với $n\in <!--\; \in \; -->Z$ có những đặc điểm tương tự như trên với x > 0. Ngoài ra, phần đồ thị với x < 0 có sự đối xứng với phần đồ thị khi x > 0 phụ thuộc vào giá trị của n:

• Nếu n là số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy vì f(x) là hàm số chẵn
• Nếu n là số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O vì f(x) là hàm số lẻ

Hàm số mũ

Hàm số $y=f\left(x\right)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Đạo hàm

Hàm số $y=f\left(x\right)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 có đạo hàm tại mọi giá trị x và đạo hàm cấp 1 được tính bằng $y^{\prime }=a^x\ln <!--\; \; -->\left(a\right)$.

Đặc biệt, hàm số $y=e^x$ có đạo hàm cấp 1 là $y^{\prime }=e^x$

Chiều biến thiên

Hàm số $y=f\left(x\right)=a^x$ là đồng biến trên R nếu a>1 và nghịch biến trên R nếu 0<a<1.

Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=a^x$ có các đặc điểm sau đây:

• Đồ thị luôn đi qua hai điểm I(0;1) và J(1;a)
• Đồ thị nằm trên trục Ox và có trục Ox là tiệm cận ngang

Xác định chữ số cuối cùng

Xác định chữ số cuối cùng của lũy thừa

Để xác định chữ số cuối cùng, bạn có thể tạo bảng để theo dõi cách chữ số cuối cùng thay đổi.

Ví dụ: Xác định chữ số cuối cùng của 7

Phân tích:

Giải:

Chữ số cuối cùng lặp lại theo chu kỳ: 7, 9, 3, 1, 7,... (chu kỳ lặp lại 4 số)

2004 ÷ 4 = 501, dư 0

Vậy chữ số cuối cùng của 7 là 1.

(hay nói cách khác: 7 = (7); vì chữ số tận cùng của 7 là 1 nên chữ số tận cùng của (7) cũng là 1)

Đếm số chữ số 0 ở cuối của một tích

Do 2 × 5 = 10, để xác định số lượng chữ số 0 cuối cùng, ta phân tích tích ban đầu thành các thừa số nguyên tố và đếm số cặp thừa số {2, 5} để có số lượng chữ số 0.

Ví dụ: Xác định số lượng chữ số 0 ở cuối của 12! (12 giai thừa)

Giải:

Ta có: 12! = 1 × 2 × 3 × ... × 12

Phân tích thành các thừa số nguyên tố: 12! = 2 × 3 × 5 × 7 × 11

Vì có 10 số 2 và 2 số 5, ta có thể tạo 2 cặp {2, 5}.

Do đó, 12! có 2 chữ số 0 ở cuối.