Lý thuyết về căn bậc hai và phương pháp tính căn bậc hai

Căn bậc hai là một lý thuyết quan trọng mà các bạn học sinh sẽ gặp trong những năm học cuối cấp 2. Nếu không thành thạo phương pháp tính căn bậc hai, bạn sẽ gặp khó khăn khi giải các bài toán phức tạp hơn trong lĩnh vực này. Vậy, căn bậc hai là gì? Công thức tính căn bậc hai? Hãy cùng Mytour khám phá qua bài viết được chia sẻ dưới đây!

Lý thuyết

Trước khi đi vào các phương pháp tính căn bậc hai, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về định nghĩa của lý thuyết này.

Định nghĩa căn bậc hai

Dưới đây là một số lý thuyết cơ bản về căn bậc hai: 

Khái niệm căn bậc hai

Căn bậc hai của một số a (a là số không âm) là số x thỏa điều kiện x² = a. 

Mở rộng hơn, nếu A là một biểu thức đại số bất kỳ, thì căn bậc hai của A (√A) là căn bậc hai của biểu thức đó và A được hiểu là số dưới căn. Điều này chỉ có ý nghĩa khi A là một biểu thức không âm. 

Đối với a ≥ 0, ta có: 

• Nếu: x = √a ⇔ x > 0 và x² = a
• Nếu: x ≥ 0 và x² = a ⇔ x = √a

Do đó, cách tính căn bậc hai: x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = a.

So sánh căn bậc hai

Trong trường hợp bạn có hai số a và b đều là các số không âm và a < b thì: √a < √b

Lưu ý, với A là một biểu thức ⇔ √(A²) = |A|: 

• √(A²) = A nếu A ≥ 0 
• √(A²) = –A với A < 0

Dưới đây là một số biến đổi quan trọng bạn cần chú ý để giải các bài toán có liên quan đến căn bậc hai: 

• √A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B²
• √(A²) = B ⇔ |A| = B
• √(A²) = √(B²) ⇔ |A| = |B| ⇔ A = B hoặc –B
• √(A) = √(B) ⇔ A ≥ 0 (B ≥ 0) và A = B.

Tính chất của căn bậc hai

Để áp dụng cách tính căn bậc hai, bạn cần lưu ý một số tính chất quan trọng như: 

• Không tồn tại căn bậc hai của các số âm, tức là chỉ có căn bậc hai của các số không âm, các số âm không có căn bậc hai.
• Căn bậc hai của 0 là chính nó: √0 = 0.
• Mọi số không âm (≥0) đều có duy nhất một căn bậc hai không âm.
• Mỗi số dương có đúng 2 căn bậc hai, bao gồm một căn bậc hai dương (√a) và một căn bậc hai âm (-√a).
• Căn bậc hai cũng có thể được biểu thị dưới dạng lũy thừa: a^(½) đối với số dương. 

Khái niệm căn bậc hai trong toán học

Dưới đây là một vài lý thuyết liên quan đến căn bậc hai trong số học:

Khái niệm căn bậc hai

Với một số dương bất kỳ (ký hiệu là a), căn bậc hai của a được biểu thị bằng √a. Trong toán học, trường hợp đặc biệt là căn bậc hai của số 0 là chính nó. 

Với a ≥ 0:

• x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = a.
• x ≥ 0 và x² = a ⇔ x = √a

Khi so sánh, ta có: a và b là 2 số không âm: a > b ⇔ √a > √b

Ví dụ về cách tính căn bậc hai số học:

• Căn bậc hai của 25 là √25 = √5² = 5
• Tính căn bậc hai của 25, 64, 100, 121 và 10000: √25 = 5, √64 = 8, √100 = 10, √121 = 11, √10000 = 100. 

Căn bậc hai của số nguyên dương

Một số nguyên dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (ví dụ như √a và -√a). Tuy nhiên, khi nói đến căn bậc hai của số nguyên dương, chúng ta thường hiểu là căn bậc hai dương. 

Căn bậc hai của số nguyên dương sẽ bằng căn bậc hai của tích các thừa số nguyên tố: √(a x b) = √a x √b (ví dụ: √12 = √(6 x 2) = √6 x √2

Dưới đây là bảng căn bậc hai của các số tự nhiên từ 0 đến 10: 

Căn bậc hai của số phức và số âm

Mọi số (dương hay âm) khi bình phương đều cho ra một số dương, chỉ có 0 bình phương vẫn là 0, và trên thực tế không có số âm nào có căn bậc hai, mà chỉ tồn tại trong tập số phức. 

Phép khai căn

Để sử dụng cách tính căn bậc hai, bạn cần hiểu rõ về phép khai căn. Phép khai căn là phép tính tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 0 (≥0 hoặc số không âm). 

Ví dụ: Cho a ≥ 0 và (a)² = 25, ta có thể tính được a = ±√25

Những lưu ý quan trọng khi áp dụng phép tính căn bậc hai

Các dạng bài tập lớp 9 liên quan đến cách tính căn bậc hai 

Dưới đây là một số bài tập liên quan đến căn bậc hai mà học sinh sẽ gặp trong chương trình Đại số lớp 9. Thường, cách giải quyết sẽ dựa vào lý thuyết, tính chất của căn bậc hai và một số phương pháp so sánh tương đương. Điều quan trọng là bạn phải hiểu rõ những kiến thức cơ bản để có thể giải được các bài toán phức tạp hơn:

Dạng bài toán đầu tiên: Tìm và so sánh hai căn bậc hai

Với dạng bài toán này, thường đề yêu cầu bạn tìm một trong hai số hoặc so sánh hai phía trong biểu thức. Để làm được điều này, bạn chỉ cần hiểu rõ biểu thức sau:

a > b ⇔ √a > √b

Ở đây, a và b đều là hai số không âm (≥ 0).

Dạng thứ hai: Tìm giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Trong loại bài này, bạn cần áp dụng phép tính căn bậc hai với các công thức căn bậc hai cơ bản sau đây:

Chúng ta có:

• Nếu A ≥ 0 => √A² = |A| = A
• Nếu A < 0 => √A² = |A| = – A 

Dạng thứ ba: Rút gọn biểu thức

Dạng này yêu cầu bạn rút gọn phần biểu thức chứa căn bậc 2. Đây là một dạng bài tương đối khó trong toán lớp 9 và bạn cần áp dụng một số hằng đẳng thức để giải toán như sau: 

• a² + 2ab + b² = (a + b)²
• a² – 2ab + b² = (a – b)² 
• Nếu A ≥ 0 => √A² = |A| = A hoặc A < 0 => √A² = |A| = – A 

Dạng thứ tư: Tìm điều kiện để phần biểu thức chứa căn bậc 2 có nghĩa

Dạng này yêu cầu tìm điều kiện để phần biểu thức dưới căn bậc 2 có giá trị không âm. Điều kiện này quan trọng để biểu thức dưới căn có nghĩa là: √A có nghĩa khi và chỉ khi A ≥ 0.

Dạng thứ năm: Giải phương trình (biểu thức) chứa căn bậc hai

Dạng này yêu cầu bạn giải phương trình có chứa biểu thức căn bậc hai. Để giải thành công, bạn cần vận dụng thành thạo các kiến thức cơ bản về căn bậc hai và các phép tính liên quan.

• √A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B².
• √(A²) = B ⇔ |A| = B. 
• √A = √B ⇔ A ≥ 0 (B ≥ 0) và A = B.
• √(A) = √(B) ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ± B.

Mẹo tìm căn bậc 2 đơn giản, không cần máy tính

Ngoài những lý thuyết và cách tính căn bậc 2 với một số dạng quen thuộc trên, bạn cũng có thể áp dụng các mẹo hay dưới đây để tìm căn bậc 2 mà không cần đến máy tính. Đây là cách rèn tư duy khá hiệu quả, giúp bạn phản ứng nhanh hơn với các con số và thực hiện tính toán một cách đơn giản, dễ dàng nhất.

Mẹo tính căn bậc 2 của 1 số nguyên

Tính căn bậc 2 của số nguyên thường đơn giản và dễ thực hiện hơn rất nhiều so với số không nguyên. Để tìm căn bậc 2 của số nguyên mà không cần dến máy tính, bạn có thể áp dụng một trong 2 cách sau:

Cách tính căn bậc 2 bằng cách nhân

Được biết, căn bậc 2 của a là một số b, mà khi bạn dùng số đó nhân với chính nó (tức là b x b) sẽ bằng với số a ban đầu. Chẳng hạn như: √25 = √(5 x 5) = 5. Lúc này, bạn có thể tự hỏi chính mình, liệu có một số nào mà bạn có thể nhân với chính nó để ra số mình đang có hay không.

Ví dụ như: Căn bậc 2 của 1 = 1 (vì 1 x 1 = 1), nhưng căn bậc 2 của 25 lại là 5 (vì 5 x 5 = 25). Tương tự, căn bậc 2 của 4 là 2, của 9 là 3, của 16 là 4, của 36 là 6, của 49 là 7… 

Cách tính căn bậc 2 bằng cách chia

Tương tự, bạn cũng có thể sử dụng phép chia để tìm căn bậc 2 bằng cách chia lần lượt số nguyên mà mình có cho các số khác cho đến khi có được kết quả là 1 số thương bằng với chính số chia. Chẳng hạn như 16/4 = 4, 25/5 = 5, 4/2 = 2…

Mẹo tìm căn bậc 2 của các số khác

Không phải lúc nào bạn cũng sẽ nhận được đề bài là một số nguyên. Vậy nếu đó là số không nguyên thì sao? Các bước thực hiện sẽ khó hơn chút, nhưng bạn vẫn có thể làm được bằng cách: 

Cách tính căn bậc 2 bằng phương pháp loại trừ

Bạn có thể hình dung qua ví dụ sau:

Bạn cần tìm căn bậc 2 của 20. Trong đó, ta có căn bậc 2 của 20 có giá trị nằm giữa căn bậc 2 của 25 và 16 với giá trị lần lượt là 5, 4. Vậy, ước chừng căn bậc 2 của 20 có thể bằng 4.5. Bây giờ, bạn lấy 4.5 x 4.5, đáp án sẽ lớn hơn 20, vậy bạn có thể giảm xuống thành 4.4. Đối với trường hợp kết quả ra số nhỏ hơn, bạn cũng có thể tăng lên một chút là được.

4.4 x 4.4 sẽ được 19.36, lúc này phạm vi sẽ được thu hẹp trong khoảng 4.5 – 4.4. Khi bạn ước chừng khoảng 4.445, ta nhân chúng với nhau sẽ ra đáp án gần bằng 20. Cứ tiếp tục cho đến khi đạt được con số gần bằng 20 nhất là 4.475 (ra kết quả 20.03), đây là kết quả gần đúng sau khi làm tròn. 

Cách tính căn bậc 2 với phương pháp trung bình

Để tính căn bậc 2 với phương pháp trung bình, bạn cần chọn 2 số chính phương gần nhất với số được cho, sau đó lấy số được cho (gọi là x) chia cho căn bậc 2 của số chính phương được chọn (gọi là y). Lúc này, bạn sẽ thu được một số z, hãy tính trung bình cộng của y và z để cho ra một số n, sau đó lặp lại quá trình trên cho đến khi tìm được 1 số (gọi là h) mà khi ta lấy h x h sẽ cho ra một số gần bằng với x.

Cách này khá rắc rối, nhưng bạn có thể dễ hình dung hơn với ví dụ sau:

Chẳng hạn như để tìm căn bậc 2 của số 10, ta thực hiện theo cách tính sau:

• Chọn số chính phương gần với 10 là số 9.
• Ta sẽ chia 10 cho căn bậc 2 của 9 và thu được kết quả là 3.33.
• Tiếp tục tìm trung bình cộng giữa 3 và 3.33, ta có 3.1667.
• Lặp lại quá trình bên trên bằng cách chia 10 cho 3.1667 và tìm trung bình cộng.
• Bây giờ, bạn kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy 3.1667 x 3.1667 sẽ ra 10.001 => đây là kết quả cuối cùng. 

Lời kết

Đó là lý thuyết và cách tính căn bậc 2 mà bạn có thể tham khảo. Trong chương trình toán học cấp 2, đây là dạng bài tập khá khó và có nhiều bài toán nâng cao. Vậy nên, hãy nắm chắc kiến thức cơ bản để dễ dàng chinh phục nội dung kiến thức này, bạn nhé!