Lý thuyết xác suất

Lý thuyết xác suất là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về xác suất.

Xác suất là các số trong khoảng từ 0 đến 1, đại diện cho khả năng của một biến cố xảy ra hoặc không xảy ra ngẫu nhiên. Ký hiệu xác suất $P\left(E\right)$ được sử dụng cho biến cố $E$ theo lý thuyết xác suất.

Xác suất của biến cố $E$ xảy ra khi biết rằng biến cố $F$ đã xảy ra là xác suất có điều kiện của $E$ khi biết $F$; giá trị của nó được tính bằng công thức $P(E\cap <!--\; \cap \; -->F)/P\left(F\right)$ (với điều kiện là $P\left(F\right)$ khác 0). Nếu xác suất có điều kiện của $E$ khi biết $F$ bằng với xác suất không có điều kiện của $E$, thì các biến cố $E$ và $F$ được coi là độc lập. Do mối quan hệ đối xứng giữa $E$ và $F$, ta có thể kết luận rằng $P(E\cap <!--\; \cap \; -->F)=P\left(E\right)P\left(F\right)$.

Hai khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất là biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên; chi tiết xem tại các bài viết liên quan.

Một cái nhìn trừu tượng về xác suất

Các nhà toán học thuần túy thường coi lý thuyết xác suất là nghiên cứu về biến ngẫu nhiên và không gian xác suất, được Kolmogorov đưa ra vào những năm 1930. Một không gian xác suất bao gồm tập hợp Ω, một σ-đại số F của các tập con của Ω, và một độ đo P.

Ω là tập không rỗng gọi là không gian mẫu, F là σ-đại số của các biến cố trong Ω, ví dụ như tất cả các dãy gồm 100 cử tri California, và P là một độ đo xác suất trên Ω.

Do đó, trong không gian rời rạc, ta có thể định nghĩa (Ω, P) là một cách trừu tượng hơn.

Nếu Ω không đếm được và F = P(Ω), việc định nghĩa độ đo xác suất P có thể gặp khó khăn khi F quá lớn, ví dụ như Bài toán Banach-Tarski. Do đó, ta cần một σ-đại số nhỏ hơn như đại số Borel để giải quyết vấn đề này.

Một biến ngẫu nhiên là một hàm có thể đo trên tập Ω. Ví dụ, số người bầu cho Schwarzenegger trong mẫu 100 người là một biến ngẫu nhiên.

Nếu X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ, P(X ≥ 60), viết tắt của P({ω ∈ Ω | X(ω) ≥ 60}), là xác suất của biến cố X ≥ 60.

Đối với các phương pháp đại số khác với cách tiếp cận của Kolmogorov, xem bài về đại số của các biến ngẫu nhiên.

Triết lý trong ứng dụng của xác suất

Một số nhà thống kê chỉ gán xác suất cho các biến cố ngẫu nhiên như các thử nghiệm thực tế hoặc lý thuyết; đó là các nhà tần suất học. Một số khác gán xác suất với những mệnh đề không chắc chắn, dựa trên mức độ chủ quan tin vào tính đúng đắn của chúng; họ là các nhà Bayes.

• Thuật ngữ xác suất và thống kê
• Các chủ đề về xác suất
• Các chủ đề về thống kê
• Các bài viết về thống kê
• Mô hình dự báo
• Lý thuyết đo độ mờ
• Xác suất
• Tiền đề xác suất
• Phân phối xác suất
• Kỳ vọng
• Hàm hợp lý
• Biến ngẫu nhiên
• Không gian mẫu
• Phương sai
• Độc lập thống kê
• Các khái niệm trong xác suất
• Lý thuyết khả năng

• Pierre Simon de Laplace (1812) Lý thuyết xác suất phân tích

Tác phẩm đầu tiên kết hợp vi phân với lý thuyết xác suất, ban đầu viết bằng tiếng Pháp: Theorie Analytique des Probabilités.

• Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1933) Nền tảng lý thuyết xác suất

Nền móng hiện đại về lý thuyết xác suất dựa trên đo lường, ban đầu viết bằng tiếng Đức: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung.

• Harold Jeffreys (1939) Lý thuyết xác suất

Một phương pháp Baysian, kinh nghiệm để đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất.

• Edward Nelson (1987) Lý thuyết xác suất cơ bản một cách triệt để

Nền tảng rời rạc của lý thuyết xác suất, dựa trên phân tích phi tiêu chuẩn và lý thuyết tập hợp nội tại. Tải xuống tại: http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

• Patrick Billingsley: Xác suất và đo lường, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.